角平分線 同步練習(xí)題 北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《1.4角平分線》同步練習(xí)題（附答案）一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于點(diǎn)G，若CG＝1，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．1 B． C．2 D．無法確定2．如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝10，DE＝4，則△BCE的面積等于（）A．16 B．20 C．28 D．403．如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F(xiàn)為BC的延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE交AD的延長線于G，AC的延長線交FG于H，連接BG，下列結(jié)論：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，BC＝7，BD＝4，則點(diǎn)D到AB的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③7．如圖，Rt△ABC的兩直角邊AB、BC的長分別是9、12．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：48．如圖，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分線AP，BP相交于點(diǎn)P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列結(jié)論：（1）PE＝PF；（2）點(diǎn)P在∠COD的平分線上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二．填空題9．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD＝2，BC＝6，則△BDC的面積是．10．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面積為16，則△CBD的面積為．11．如圖所示，∠AOB＝45°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，若CD＝3cm，則S△ABD＝cm2．13．將兩塊完全相同的三角尺在∠AOB的內(nèi)部如圖擺放，兩塊三角尺較短的直角邊分別與∠AOB的兩邊重合，且含30°角的頂點(diǎn)恰好也重合于點(diǎn)C，則射線OC即為∠AOB的平分線，理由是．14．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA＝8，則PQ的最小值為．15．如圖，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，若DE＝3，則S△BDC＝，AF＝．16．如圖，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，則AB的長是．三．解答題17．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．△ABC的面積為70，AB＝16，BC＝12．求DE的長．18．如圖，△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．（1）線段AD與CE是否垂直？說明理由．（2）求△BDE的周長；（3）求四邊形AEDC的面積．19．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE平分∠DCB交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的長．20．如圖，OP平分∠AOB，∠AOB＝40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交邊OA于點(diǎn)C，E為邊OB上的一點(diǎn)，且滿足PC＝PE．求∠EPN的度數(shù)？21．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，分別交BD、BC于點(diǎn)G、E，過點(diǎn)B作AE的垂線BF，分別交AE、AC于點(diǎn)H、F．（1）求證：BF平分∠DBC；（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度數(shù)．22．在△ABC中，AE、BF是角平分線，交于O點(diǎn)．（1）如圖1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．（2）如圖2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度數(shù)．（3）如圖3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．23．如圖①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠A＝α．（1）如圖①，若∠A＝50°，求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC．（3）如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，求證OC⊥PC．

參考答案一．選擇題1．解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H．∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，∴GH＝GC＝1，根據(jù)垂線段最短可知，GP的最小值為1，故選：A．2．解：過E作EM⊥BC于M，∵CD⊥AB，EM⊥BC，BE平分∠ABC，DE＝4，∴EM＝DE＝4，∵BC＝10，∴△BCE的面積是＝＝20，故選：B．3．解：如圖，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，∴∠DEA＝∠AGH，故①正確；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝∠BAC，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正確；③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正確；④∵AE平分∠BAC交BC于E，∴點(diǎn)E到AB和AC的距離相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故③正確；故選：D．4．解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂線段最短得，DP⊥BC時(shí)DP最小，此時(shí)，DP＝AD＝3．故選：C．5．解：∵BC＝7，BD＝4，∴CD＝7﹣4＝3，由角平分線的性質(zhì)，得點(diǎn)D到AB的距離＝CD＝3，故選：B．6．解：∵BE是AC邊的中線，∴AE＝CE，∵△ABE的面積＝，△BCE的面積＝AB，∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯(cuò)誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正確；根據(jù)已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯(cuò)誤；即正確的為①③，故選：D．7．解：過O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，∴OD＝OE＝OF，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∴AC＝，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝，故選：C．8．解：（1）證明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分線，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正確；（2）與（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴點(diǎn)P在∠COD的平分線上，∴（2）正確；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）錯(cuò)誤；故選：C．二．填空題9．解：過D作DE⊥BC于E，∵∠ABC的平分線是BD，∠A＝90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，∴AD＝DE，∵AD＝2，∴DE＝2，∵BC＝6，∴S△BDC＝＝＝6，故答案為：6．10．解：過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，設(shè)DE＝DF＝a，∵△ABD的面積為16，AB＝8，∴＝16，∵AB＝8，∴DE＝4，∴DF＝4，∵BC＝12，∴＝＝24，故答案為：24．11．解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AO于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，∴PD＝PE，∵PC∥OB，∴∠ECP＝∠AOB＝45°，在Rt△ECP中，PE＝PC＝×6＝3，所以，PD＝3．故答案為：3．12．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面積＝?AB?DE＝×10×3＝15．故答案為：1513．解：∵將兩塊完全相同的三角尺在∠AOB的內(nèi)部如圖擺放，∴CE＝CF，∠CEO＝∠CFO＝90°，即CE⊥OA，CF⊥OB，∴射線OC為∠AOB的平分線（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上），故答案為：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．14．解：過P作PE⊥OM于E，當(dāng)Q和E重合時(shí)，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，∴PE＝PA＝8，即PQ的最小值是8，故答案為：8．15．解：過D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DH＝DE＝3，∵BC＝10，∴S△BDC＝BC?DH＝×10×3＝15；∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴AF?BC＝AB?DE+15，∴×10AF＝×8×3+15，∴AF＝，故答案為：15，．16．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，DF＝3，∴DE＝DF＝3，∵S△ABC＝15，∴S△ADB+S△ADC＝15，∴×AB×DE+×AC×DF＝15，∴×5×3+AB×3＝15，解得：AB＝5，故答案為：5．三．解答題17．解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF，S△ABC＝×16?DE+×12?DF＝70，所以，14DE＝70，解得DE＝5．18．解：（1）在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC＝6，DE＝DC，∴AD是CE的垂直平分線，∴線段AD與CE垂直；（2）∵∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，BE＝AB﹣AE＝4，△BDE的周長＝BD+BE+DE＝BC+BE＝12cm；（3）△ABC的面積＝×BC×AC＝24cm2，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，∴△BED∽△BCA，又＝，∴△BDE的面積＝6cm2，∴四邊形AEDC的面積為＝18cm2．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．20．解：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM＝PN，在Rt△PMC和Rt△PNE中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNE（HL），∴∠EPN＝∠CPM，∵PC∥OB，∴∠PCM＝∠AOB＝40°，∵PM⊥AO，∴∠CPM＝90°﹣40°＝50°，∴∠EPN＝50°．21．（1）證明：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE，∵BF⊥EG，∴BF平分∠DBC．（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，∴5∠C＝90°，∴∠C＝18°．22．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）連接OC，∴AE、BF