2022年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷（3月份）

2022年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷（3月份）1.已知全集，集合，，則?（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)方程與對(duì)數(shù)不等式的解法集合的混合運(yùn)算答案：A解析：因?yàn)椋?/p>

又集合，所以.

所以

故選2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的除法答案：A解析：由復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，

則，

則，

故選3.某市政府部門(mén)為了解該市的全國(guó)文明城市創(chuàng)建情況，在該市的個(gè)區(qū)縣市中隨機(jī)抽查到了甲、乙兩縣，考核組對(duì)他們的創(chuàng)建工作進(jìn)行量化考核．在兩個(gè)縣的量化考核成績(jī)(均為整數(shù))中各隨機(jī)抽取個(gè)，得到如圖數(shù)據(jù)(用頻率分布直方圖估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，每個(gè)區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值)關(guān)于甲乙兩縣的考核成績(jī)，下列結(jié)論正確的是（

）

?

?A.

甲縣平均數(shù)小于乙縣平均數(shù)B.

甲縣中位數(shù)小于乙縣中位數(shù)C.

甲縣眾數(shù)不小于乙縣眾數(shù)D.

不低于的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，甲縣多于乙縣知識(shí)點(diǎn)：頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)答案：C解析：由條形圖可知，甲樣本的平均數(shù)：，

中位數(shù)：，眾數(shù)：，不低于的數(shù)據(jù)共個(gè)；

由頻率分布直方圖可知，乙樣本的平均數(shù)：

，

中位數(shù)：設(shè)中位數(shù)為，由，，

故中位數(shù)

解得，眾數(shù)且，即，

不低于的數(shù)據(jù)共，

所以，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選4.若是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用答案：B解析：是上的減函數(shù)，

?，

??，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，，

實(shí)數(shù)的取值范圍是.

故選B5.已知，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用二倍角的正弦、余弦、正切公式不等式比較大小答案：C解析：，

，

故選C.6.已知，是雙曲線(xiàn)：的兩個(gè)焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)在上，，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的離心率向量坐標(biāo)與向量的數(shù)量積雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的范圍答案：D解析：設(shè)的焦距為，離心率為，

當(dāng)時(shí)，由平面幾何知識(shí)得，

解得，

，，

根據(jù)雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍以及平面向量?jī)?nèi)積的幾何意義可知，

當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，

故選7.勾股定理被稱(chēng)為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱(chēng)商高定理．漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖又稱(chēng)趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖，證明了商高結(jié)論的正確性．現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度如將延長(zhǎng)至得到圖.在圖中，若，，，兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：等式與不等式中的數(shù)學(xué)文化方程的解集答案：C解析：設(shè)中間小正方形的邊長(zhǎng)為，，

在中，，①

在中，，②

①②相減可得，代入②，解得，，

中間小正方形的邊長(zhǎng)為.

故選8.設(shè)函數(shù)?圖象在點(diǎn)處切線(xiàn)為，則的傾斜角的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程（斜率）正弦（型）函數(shù)的定義域和值域利用基本不等式求最值直線(xiàn)的傾斜角答案：D解析：由?，

得，

則，

，，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

，又，

則的傾斜角的最小值是；

故選D.9.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A.

是以為周期的函數(shù)B.

是區(qū)間上的增函數(shù)C.

是上的奇函數(shù)D.

是的極值點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值正弦（型）函數(shù)的周期性函數(shù)奇、偶性的定義答案：B；C解析：，，

對(duì)于，因?yàn)?，，所以錯(cuò)；

對(duì)于，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，?，所以是區(qū)間上的增函數(shù)，所以對(duì)；

對(duì)于，因?yàn)椋詫?duì)；

對(duì)于，由知，錯(cuò).

故選10.已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量單位：.，?，，則下面結(jié)論正確的是（

）A.

B.

C.

隨機(jī)抽取袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約袋D.

隨機(jī)抽取袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于的不多于袋知識(shí)點(diǎn)：正態(tài)分布及概率密度函數(shù)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)答案：A；C；D解析：對(duì)于，，則，解得，故正確，

對(duì)于，，故錯(cuò)誤，

對(duì)于，，

故隨機(jī)抽取袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約袋，故正確，

對(duì)于，，

則隨機(jī)抽取袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于有，故正確．

故選11.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為，在這些不同數(shù)列中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（

）A.

是等差數(shù)列的概率為

B.

是遞增數(shù)列的概率為C.

是遞減數(shù)列的概率為

D.

的概率為知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列的函數(shù)特征答案：A；B解析：，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

若是等差數(shù)列，則，解得，

在數(shù)集中取到即可，概率為，故正確；

若是遞增數(shù)列，則，且，即，解得，

或，

是遞增數(shù)列的概率為，故正確；

與證明的結(jié)論同理得到錯(cuò)誤；

由已知得，

若，則，滿(mǎn)足，概率為，

若，是的最小值，則，概率為，

的概率為，故錯(cuò)誤.

故選12.在三棱柱中，平面平面，分別是線(xiàn)段，上的點(diǎn)．下列結(jié)論成立的是（

）A.

若，則存在唯一直線(xiàn)，使得B.

若，則存在唯一線(xiàn)段，使得四邊形的面積為C.

若，則存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，使得D.

若，則存在線(xiàn)段，使得四邊形的面積為知識(shí)點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面平行的判定定理答案：B；C；D解析：如圖所示：

因?yàn)?，則平行四邊形是菱形，則，

作，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，則

過(guò)作的平行線(xiàn)，與交于點(diǎn)，則，又?則平面，

在上取一點(diǎn)，作?分別交線(xiàn)段上于點(diǎn)

易得平面??平面又，

所以平面平面，則平面，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，所以有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，使得，故錯(cuò)誤；?

如圖所示：

若，則是正三角形，

設(shè)是中點(diǎn)，與重合，則，且四邊形的面積為，平面平面，平面，平面，

平面，當(dāng)不是中點(diǎn)，或不與重合時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度將增加，

四邊形的面積不再等于，故正確；

如圖所示：

若，設(shè)是中點(diǎn)，記中點(diǎn)為，則，

由結(jié)論知，平面，

由于，，即，

直線(xiàn)與確定的平面就是平面為線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，都有，故正確；

如圖所示：

設(shè)是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

記中點(diǎn)為，則.又，

，，四邊形是平行四邊形，，，

根據(jù)結(jié)論，，，

平行四邊形的面積為，即四邊形的面積為，所以正確．

故選.13.已知向量與的夾角為，，，則

?知識(shí)點(diǎn)：數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的定義答案：解析：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，，，

所以，所以，，即，

解得

故答案為：總結(jié)：本題主要考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，則

?知識(shí)點(diǎn)：展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)答案：解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，

令，解得，

則的系數(shù)為，解得，

故答案為.15.已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

?知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題答案：解析：由題意得：當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增函數(shù)，

關(guān)于的不等式的解集是，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以要使的解集滿(mǎn)足，

則必須，解得，

故實(shí)數(shù)的取值范圍，

故答案為.16.已知橢圓：的離心率為，和是的左、右焦點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，點(diǎn)的軌跡方程是

?，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則的最小值是

?知識(shí)點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)中求軌跡方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓錐曲線(xiàn)的最值（范圍）問(wèn)題答案：；解析：先求出橢圓的方程，再求出點(diǎn)的軌跡的方程，再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.

由條件得，，橢圓的方程是，

，由于點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，

所以，

是以為圓心，以為半徑的圓，方程為

因?yàn)榈淖钚?，所以圓心到弦的距離最大，

即當(dāng)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值在圓的方程中取，，

且最小值為

故答案為：；17.記正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，若，求數(shù)列前項(xiàng)的和知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用答案：(1)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，，，

，解得

.(2)等比數(shù)列滿(mǎn)足，，

，，

公比，，

，，解得，

數(shù)列前項(xiàng)的和.解析：(1)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，即可得出(2)由等比數(shù)列滿(mǎn)足，，可得，，可得公比及其，根據(jù)，解得，即可得出數(shù)列前項(xiàng)的和.18.已知函數(shù)?的部分圖象如圖，將該函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．設(shè).

(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，，是的中點(diǎn)，，設(shè)，，，求的面積．知識(shí)點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用三角恒等變換綜合應(yīng)用由圖象（表）求三角函數(shù)的解析式正弦（型）函數(shù)的周期性三角形的面積（公式）答案：(1)由圖知，，解得，

，

，，，，

??，

，

.(2)?

，即，，

設(shè)，，

，，

，，

分別在和中，由余弦定理得，

，

在中，由余弦定理得，

，舍，或，即，

的面積為：解析：(1)根據(jù)圖象求出，進(jìn)而求出，利用恒等變換得到，由此能求出函數(shù)的最小正周期.(2)先求出的度數(shù)，利用余弦定理求出，再利用面積公式能求出答案．19.如圖，已知是正三角形，，平面，，，，

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．知識(shí)點(diǎn)：平面與平面垂直的判定定理用空間向量研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角答案：(1)證明：設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，分別連接，

由條件可得，，，又，

三個(gè)四邊形，，都是平行四邊形，

，，，，

是正三角形，是正三角形．

，，

由得是線(xiàn)段中點(diǎn)，所以是中點(diǎn)．

平面，平面，平面，

，，，

，是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，平面

平面，

，是平面兩條相交直線(xiàn)，平面

平面，

，，

，是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，平面

平面，

平面平面(2)由知直線(xiàn)兩兩垂直，分別以直線(xiàn)為軸和軸，以過(guò)點(diǎn)平行的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直線(xiàn)坐標(biāo)系

設(shè)，則，，，

，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，

不妨取得，，

，

由知是平面的法向量，

所以，平面與平面角所成銳二面角的余弦值為解析：(1)設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，分別連接，，則可得四邊形，，都是平行四邊形，再由是正三角形，可得是正三角形，結(jié)合已知條件可得是中點(diǎn)，則，由線(xiàn)面垂直的判定可得平面，則，得平面，再由面面垂直的判定可得結(jié)論，(2)由知直線(xiàn)，，兩兩垂直，分別以直線(xiàn)，為軸和軸，以過(guò)點(diǎn)平行的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直線(xiàn)坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可．20.已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)?為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，這樣的直線(xiàn)有兩條，它們分別交該拋物線(xiàn)于，異于點(diǎn)兩點(diǎn)．若直線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.知識(shí)點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用直線(xiàn)和圓相切答案：(1)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，

，

設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為，

，，

，

解得，.

所以，拋物線(xiàn)的方程是；(2)直線(xiàn)與圓相切，

，

即，

若，

則過(guò)點(diǎn)和圓相切的一條直線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸軸，不滿(mǎn)足條件，所以，

，①

設(shè)這兩切線(xiàn)對(duì)應(yīng)的分別是，，則有，

設(shè)，，

由方程組得，，

②，

不妨令，，

則，，

，

即，

設(shè)圓的圓心為，

，

直線(xiàn)與的斜率存在，且都不為零，，

由，得，，

即，

，

即，

解得，，

經(jīng)檢驗(yàn)，及相應(yīng)的和滿(mǎn)足①②，

所以，實(shí)數(shù)的值為解析：(1)由拋物線(xiàn)的定義可得，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為，則由題意可得，從而可求出p，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)方程；(2)由直線(xiàn)與圓相切可求得，當(dāng)不滿(mǎn)足，則，設(shè)這兩切線(xiàn)對(duì)應(yīng)的分別是，，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，，將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程中，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)圓的圓心為，由題意可得，從而由斜率關(guān)系列方程求解即可.21.隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場(chǎng)石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)?shù)卣疀Q定有序開(kāi)發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會(huì)破壞生態(tài)，該縣決定石料開(kāi)發(fā)走開(kāi)發(fā)治理結(jié)合，人類(lèi)生態(tài)友好的路線(xiàn)．當(dāng)?shù)卣?qǐng)國(guó)家環(huán)保機(jī)構(gòu)每年對(duì)該縣與石料開(kāi)發(fā)相關(guān)的生態(tài)以下簡(jiǎn)稱(chēng)生態(tài)進(jìn)行評(píng)估．若生態(tài)開(kāi)始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)本問(wèn)題中，時(shí)間以整數(shù)年為單位，生態(tài)友好后復(fù)產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入以下簡(jiǎn)稱(chēng)生態(tài)投入將逐年減少是常數(shù)，億元．該縣從年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于時(shí)，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束．(1)若年該縣生態(tài)變差的概率為，求該縣年生態(tài)友好的概率；(2)若年該縣生態(tài)變差概率為，生態(tài)投入是億元，為何值時(shí)，從年開(kāi)始到生態(tài)投入結(jié)束，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最?。坎⑶蟪銎渥钚≈担R(shí)點(diǎn)：互斥事件的概率加法公式相互獨(dú)立事件的概率導(dǎo)數(shù)與最值等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用答案：(1)設(shè)“該縣年生態(tài)友好“，“該縣年生態(tài)友好”，

年該縣生態(tài)變差的概率為，即，，

如果該縣年生態(tài)友好，則它年生態(tài)友好的概率為，

該縣年變差，那么它年友好的概率為，

“該縣年生態(tài)友好，那么它年生態(tài)友好”與“該縣年生態(tài)變差，而年生態(tài)友好”是互斥事件，

，

故該縣年生態(tài)友好的概率為(2)設(shè)該縣年生態(tài)變差的概率為，

由可得，該縣年生態(tài)友好的概率為，

該縣年生態(tài)變差的概率為，

該縣年生態(tài)變差的概率為，

該縣從年開(kāi)始的第年生態(tài)變差的概率為，，

若從年開(kāi)始到生態(tài)投入結(jié)束共有年，則，即，

，

對(duì)該縣總生態(tài)投入額，

求導(dǎo)可得，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為億元，

故當(dāng)時(shí)，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最小，最小值為億元．解析：(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨(dú)立的概率乘法公式，以及互斥事件的概率公式，即可求解．(2)根據(jù)題意，推出該縣從年開(kāi)始的第年生態(tài)變差的概率，列出不等式求得，再求出該縣總生態(tài)總投入額的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可求解．22.已知.(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍