2023年高考真題-數(shù)學(xué)（北京卷）

2023年高考真題——數(shù)學(xué)（北京卷）1.已知集合，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：交集答案：A解析：由題意，，，

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，

故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)數(shù)及平面向量共軛復(fù)數(shù)答案：D解析：在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，

由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，

故選：D.3.已知向量滿(mǎn)足，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用答案：B解析：向量滿(mǎn)足，

所以

故選B.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性答案：C解析：對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D，因?yàn)?，?/p>

顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤

故選C.5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)答案：D解析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，

令得，

所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.

故選：D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義答案：D解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，

所以到準(zhǔn)線的距離為，

又到直線的距離為，

所以，故

故選：D.7.在中，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用正弦定理及其應(yīng)用答案：B解析：因?yàn)椋?/p>

所以由正弦定理得，即，

則，故，

又，所以

故選B.8.若，則是的（

）A.

充分不必要條件

B.

必要不充分條件C.

充要條件

D.

既不充分也不必要條件知識(shí)點(diǎn)：充分、必要條件的判定答案：C解析：解法一：

因?yàn)椋遥?/p>

所以，即，即，所以

所以是的充要條件

解法二：

充分性：因?yàn)椋?，所以?/p>

所以，

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)?，且?/p>

所以，即，即，所以

所以必要性成立

所以是的充要條件

解法三：

充分性：因?yàn)?，且?/p>

所以，

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)椋遥?/p>

所以，

所以，所以，所以，

所以必要性成立

所以是的充要條件

故選C.9.坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：二面角其他多面體的結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定定理答案：C解析：如圖，過(guò)做平面，垂足為，過(guò)分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，

所以

因?yàn)槠矫妫矫?，所以?/p>

因?yàn)?，平面，?/p>

所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?/p>

同理：，又，故四邊形是矩形，

所以由得，所以，所以，

所以在直角三角形中，，

在直角三角形中，，，

又因?yàn)椋?/p>

所有棱長(zhǎng)之和為

故選：C.10.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A.

當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B.

當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C.

當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D.

當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式數(shù)列的函數(shù)特征*數(shù)學(xué)歸納法答案：B解析：因?yàn)?，故?/p>

對(duì)于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，

證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，

則，故成立，

由數(shù)學(xué)歸納法可得成立

而，

，，故，故，

故為減數(shù)列，注意.

故，結(jié)合，

所以，故，故，

若存在常數(shù)，使得恒成立，則，

故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，

故A不成立

對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，

證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，

則，故成立即

由數(shù)學(xué)歸納法可得成立

而，

，，故，故，故為增數(shù)列，

若，則恒成立，故B正確

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，

證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，

則，故成立即

由數(shù)學(xué)歸納法可得成立

而，故，故為減數(shù)列，

又，結(jié)合可得：，所以，

若，若存在常數(shù)，使得恒成立，

則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，

證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，

則，故成立

由數(shù)學(xué)歸納法可得成立

而，故，故為增數(shù)列，

又，結(jié)合可得：，所以，

若存在常數(shù)，使得恒成立，則，

故，故，這與的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤

故選B.11.已知函數(shù)，則

?．知識(shí)點(diǎn)：正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪函數(shù)求值對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)答案：解析：函數(shù)，所以12.已知雙曲線的焦點(diǎn)為和，離心率為，則的方程為

?．知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的離心率雙曲線的頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦點(diǎn)、焦距雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案：解析：令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其半焦距，

由雙曲線的離心率為，得，解得，則，

所以雙曲線的方程為13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明為假命題的一組的值為

?，

?．知識(shí)點(diǎn)：正切（型）函數(shù)的單調(diào)性答案：；解析：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，

取，

則，即，

令，則，

因?yàn)?，則，

即，則

不妨取，即滿(mǎn)足題意

故答案為：.14.我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的環(huán)權(quán)．已知枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，該數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，后項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則

?；數(shù)列所有項(xiàng)的和為

?．知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的前n項(xiàng)和等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題答案：；解析：方法一：設(shè)前項(xiàng)的公差為，后項(xiàng)公比為，

則，且，可得，

則，即，可得，

空：可得，

空：

方法二：空：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，

且，所以；

又因?yàn)?，則；

空：設(shè)后項(xiàng)公比為，則，解得，

可得，

所以

故答案為：15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在區(qū)間上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，存在最大值；

③設(shè)，則；

④設(shè)．若存在最小值，則的取值范圍是．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

?．知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的最大(小)值直線與圓的方程的應(yīng)用分段函數(shù)的圖象答案：②③解析：依題意，，

當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；

當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

對(duì)于①，取，則的圖像如下，

顯然，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，顯然取得最大值；

當(dāng)時(shí)，，

綜上：取得最大值，故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且接近于處，，

此時(shí)，，故③正確；

對(duì)于④，取，則的圖像如下，

因?yàn)椋?/p>

結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在，

同時(shí)的最小值為點(diǎn)到的距離減去半圓的半徑，

此時(shí)，因?yàn)榈男甭蕿椋瑒t，故直線的方程為，

聯(lián)立，解得，則，

顯然在上，滿(mǎn)足取得最小值，

即也滿(mǎn)足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤

故答案為：②③16.如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面；(2)求二面角的大小．知識(shí)點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理用空間向量研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角答案：(1)因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以，同理，

所以為直角三角形，

又因，，

所以，則為直角三角形，故，

又因?yàn)?，?/p>

所以平面.(2)由（）平面，又平面，則，

以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，所以，

所以，

又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，

所以二面角的大小為.解析：(1)略(2)略17.設(shè)函數(shù)?．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．

條件①：；

條件②：；

條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值范圍特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)的性質(zhì)綜合答案：(1)因?yàn)?，?

所以，

因?yàn)?，所?(2)因?yàn)?，，，所以，所以的最大值為，最小值?/p>

若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，所以無(wú)解，故條件①不能使函數(shù)存在；

若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，

所以，所以，，

所以，

又因?yàn)?，所以?/p>

所以，

所以，因?yàn)?，所?/p>

所以，；

若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最小值，即

以下與條件②相同．解析：(1)略(2)略18.為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用表示上漲，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用表示下跌，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用表示不變，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第天到第天第天到第天

用頻率估計(jì)概率．(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這天中天上漲、天下跌、天不變的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲下跌和不變的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）知識(shí)點(diǎn)：古典概型的應(yīng)用用頻率估計(jì)概率相互獨(dú)立事件的概率答案：(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：(2)在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，

于是未來(lái)任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是(3)由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，

因此估計(jì)第次不變的概率最大.解析：(1)略(2)略(3)略19.已知橢圓的離心率為，、分別是的上、下頂點(diǎn)，，分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．知識(shí)點(diǎn)：橢圓的離心率橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直線與橢圓的綜合應(yīng)用答案：(1)依題意，得，則，

又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，

所以，即，則，

所以橢圓的方程為.(2)因?yàn)闄E圓的方程為，所以，

因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，

，則直線的方程為，

聯(lián)立，解得，即，

而，則直線的方程為，

令，則，解得，即，

又，則，，

所以

，

又，即，

顯然，與不重合，所以.解析：(1)略(2)略20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（斜率）導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與極值答案：(1)因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，

所以，，

則，解得，

所以.(2)由（）得，

則，

令，解得，不妨設(shè)，，則，

易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.(3)由（）得，，

由（）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，即

所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

則，故，

所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

則，故，

所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

所以，則單調(diào)遞增，

所以在上無(wú)極值點(diǎn)；

綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn)解析：(1)略(2)略(3)略21.已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為，且，的前項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)(1)若，求的值；(2)若，且，求?；(3)證明：存在，滿(mǎn)足使得．知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式反證法遞推數(shù)列模型數(shù)列中的新定義問(wèn)題答案：(1)由題意可知：，

當(dāng)時(shí)，則，故；

當(dāng)時(shí)，則，故；

當(dāng)時(shí)，則，故；

當(dāng)時(shí)，則，故；

綜上所述：，，，.(2)由題意可知：，且，

因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，

又因?yàn)?，則，即，

可得，

反證：假設(shè)滿(mǎn)足的最小正整數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，

則，

又因?yàn)椋瑒t，

假設(shè)不成立，故，

即數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為