復數的加、減運算及其幾何意義高一下學期數學人教A（2019）必修第二冊

7.2.1復數的加、減運算及其幾何意義在上一節(jié)，我們把實數集擴充到了復數集。引入新數集后，就要研究其中的數之間的運算。下面就來討論復數集中的運算問題。首先，我們先看復數的加、減運算及其幾何意義。虛數有理數Q整數Z自然數N實數R負整數分數無理數復數C復習引入1.復數的加法我們規(guī)定，復數的加法法則如下：

設

是任意兩個復數，那么

說明:很明顯，兩個復數的和仍然是一個確定的復數。特別地，當

都是實數時，把它看作復數時的和就是這兩個實數的和

。

新課講解1.設z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因為z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

探究

復數的加法滿足交換律、結合律嗎？（2）(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

所以（結合律）(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以（交換律）z1+z2=z2+z1

新課講解思考：

我們知道，實數的減法是加法的逆運算，類比實數減法的意義，你認為該如何定義復數的減法？新課講解1.復數的加法和減法的運算法則P75-77復數加法與減法的運算法則：實部和虛部分別相加/減(1)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數，則z1＋z2＝

，z1－z2＝

___.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(2)對任意z1，z2，z3∈C，有加法交換律：z1＋z2＝______，

加法結合律：(z1＋z2)＋z3＝

__.z2＋z1z1＋(z2＋z3)新課講解由平面向量的坐標運算法則，得

復數與復平面內與原點為起點的向量一一對應。而我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復數加法的幾何意義嗎？xO

設，分別與復數，對應，則,∴向量就是與復數對應的向量.復數的加法可按照向量的加法來進行，這就是復數加法的幾何意義新課講解探究：類比復數加法的幾何意義，你能指出復數減法的幾何意義？yxO復數減法的幾何意義：說明：1.復數的減法可按照向量的減法來進行（三角形法則）。2.由向量的幾何意義可知表示在復平面內復數對應的和兩點之間的距離。

設，分別與復數

，

對應，則,新課講解2.復數的加/減法的幾何意義加法的平行四邊形減法的三角形法則(a,b)(c,d)(a+c,b+d)(a-c,b-d)(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i=z1+z2=z1－z2復數差的模=對應向量差的模=兩點距離新課講解例1.計算：解：例題講解復數加減法→對應向量加減法解：例2.根據復數及其運算的幾何意義，求復平面內兩點

之間的距離因為復平面內的點

對應的復數分別為

，所以點

之間的距離為例題講解(同上)例題講解其對應的復數z=2－3i2復數模的最值問題復數模的最值問題常見結論:在復平面內,z1,z2對應的點分別為A,B,z1+z2對

應的點為C,O為坐標原點,則四邊形OACB:①為平行四邊形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.例：已知復數z對應點A,說明下列各式所表示的幾何意義.(1)|z－(1+2i)|(2)|z+2i|點A到點(1,2)的距離點A到點(0,－2)的距離常見的結論例題講解方法技巧1．復數加減法法則的記憶(1)復數的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減．(2)把i看作一個字母，類比多項式加減