2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊重點題型全歸納 2.1認(rèn)識一元二次方程【過關(guān)練習(xí)】含解析

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2.1認(rèn)識一元二次方程【過關(guān)練習(xí)】

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會根據(jù)具體問題列出一元二次方程。通過“花邊有多寬”，“梯子的底端滑動多少米”等問題的分析，列出方程，體會方程的模型思想，培養(yǎng)把文字?jǐn)⑹龅膯栴}轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力。

2.通過分析方程的特點，抽象出一元二次方程的概念，培養(yǎng)歸納分析的能力。

3.會說出一元二次方程的一般形式，會把方程化為一般形式。

學(xué)習(xí)重難點

重點:一元二次方程的概念

難點:如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程

一．選擇題

1．將一元二次方程化成一般形式時，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為

A．2，，1B．2，，C．，3，D．，，1

2．若方程的兩根也是方程的根，則的值為

A．B．C．6D．0

3．方程的一般形式是

A．B．C．D．

4．若是方程的一個根，則的值為

A．B．C．3D．

5．下列方程中，是一元二次方程的是

A．B．C．D．

6．若是關(guān)于的一元二次方程的根，則的值為

A．2B．4C．D．

7．若是方程的一個根，則代數(shù)式的值是

A．B．2C．或2D．與2

8．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是

A．B．C．D．

9．已知下面三個關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個相同的實數(shù)根，則的值為

A．0B．1C．3D．不確定

10．已知3是關(guān)于的方程的一個解，則的值是

A．11B．12C．13D．14

二．填空題

11．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為．

12．當(dāng)時，關(guān)于的方程是一元二次方程．

13．已知是方程的根，則．

14．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為．

15．已知為一元二次方程的一個根，且，為有理數(shù)，則，．

16．方程的二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是．

17．若是關(guān)于的一元二次方程的一個解，則的值是．

18．若關(guān)于的一元二次方程是一元二次方程，則．

三．解答題

19．已知是關(guān)于的方程的一個根，求的值．

20．已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．

21．定義：如果關(guān)于的一元二次方程中常數(shù)項是該方程的一個根，則該一元二次方程就叫做常數(shù)根一元二次方程．

（1）已知關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，則的值為；

（2）如果關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，求的值．

22．已知關(guān)于的方程的常數(shù)項為0，

（1）求的值；

（2）求方程的解．

23．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是1，且、滿足，求關(guān)于的方程的根．

24．試說明關(guān)于的方程無論取何值，該方程都是一元二次方程．

25．已知是關(guān)于的多項式，記為．

我們規(guī)定：的導(dǎo)出多項式為，記為．

例如：若，則的導(dǎo)出多項式．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）若，則；

（2）若，求關(guān)于的方程的解；

（3）已知是關(guān)于的二次多項式，為的導(dǎo)出多項式，若關(guān)于的方程的解為整數(shù)，求正整數(shù)的值．

26．已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．

2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊重點題型全歸納

2.1認(rèn)識一元二次方程【過關(guān)練習(xí)】

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會根據(jù)具體問題列出一元二次方程。通過“花邊有多寬”，“梯子的底端滑動多少米”等問題的分析，列出方程，體會方程的模型思想，培養(yǎng)把文字?jǐn)⑹龅膯栴}轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力。

2.通過分析方程的特點，抽象出一元二次方程的概念，培養(yǎng)歸納分析的能力。

3.會說出一元二次方程的一般形式，會把方程化為一般形式。

學(xué)習(xí)重難點

重點:一元二次方程的概念

難點:如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程

一．選擇題

1．將一元二次方程化成一般形式時，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為

A．2，，1B．2，，C．，3，D．，，1

【答案】

【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數(shù)項．其中，，分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．

【解答】解：化成一元二次方程一般形式是，

它的二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是．

故選：．

2．若方程的兩根也是方程的根，則的值為

A．B．C．6D．0

【分析】設(shè)是方程的一個根．根據(jù)方程解的意義知，既滿足方程，也滿足方程，將代入這兩個方程，并整理，得．從而可知：方程的兩根也是方程的根，

這兩個方程實質(zhì)上應(yīng)該是同一個一元二次方程，然后根據(jù)同一個一元二次方程的定義找出相對應(yīng)的系數(shù)間的關(guān)系即可．

【解答】解：設(shè)是方程的一個根，則，所以．

由題意，也是方程的根，所以，

把代入此式，得，整理得．

從而可知：方程的兩根也是方程的根，

這兩個方程實質(zhì)上應(yīng)該是同一個一元二次方程，

從而有（其中為常數(shù)），

所以，．

因此，．

故選：．

3．方程的一般形式是

A．B．C．D．

【分析】一元二次方程的一般形式：，是常數(shù)）．根據(jù)一元二次方程的一般形式解答：先去括號，然后移項、合并同類項．

【解答】解：由原方程，得

，

移項、合并同類項，得

，即；

化簡得：

故選：．

4．若是方程的一個根，則的值為

A．B．C．3D．

【分析】將代入得到關(guān)于的方程，解之可得．

【解答】解：根據(jù)題意，將代入，得：，

解得：，

故選：．

5．下列方程中，是一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：．等號左邊是分式，不屬于一元二次方程，不符合題意；

．化簡以后不含二次項，不屬于二元二次方程，不符合題意；

．是一元二次方程，符合題意；

．含有兩個未知數(shù)，不符合題意．

故選：．

6．若是關(guān)于的一元二次方程的根，則的值為

A．2B．4C．D．

【答案】

【分析】將代入方程后得到，根據(jù)，求出，可得結(jié)論．

【解答】解：把代入方程得，．

又，

方程兩邊同除以得，，

，

．

故選：．

7．若是方程的一個根，則代數(shù)式的值是

A．B．2C．或2D．與2

【答案】

【分析】根據(jù)方程的解的定義，是方程的解，則的值一定適合方程，將代入方程中，然后利用整體思想即可求出代數(shù)式的值．

【解答】解：把代入方程，

可得：，

．

故選：．

8．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個選項中的方程，即可得出結(jié)論．

【解答】解：．當(dāng)時，原方程為一元一次方程，選項不符合題意；

．方程是分式方程，選項不符合題意；

．是一元一次方程，選項不符合題意；

．是一元二次方程，選項符合題意．

故選：．

9．已知下面三個關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個相同的實數(shù)根，則的值為

A．0B．1C．3D．不確定

【分析】把代入3個方程得出，，，3個方程相加即可得出，即可求出答案．

【解答】解：把代入，，得：

，，，

相加得：，

，

，

，

故選：．

10．已知3是關(guān)于的方程的一個解，則的值是

A．11B．12C．13D．14

【答案】

【分析】根據(jù)方程解的定義，將代入方程，得到關(guān)于的方程，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)，對等式進(jìn)行變形，即可得出答案．

【解答】解：是方程的解，

，

整理，得．

故選：．

二．填空題

11．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為．

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解，未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0，由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．

【解答】解：由題意，得

，且，

解得，

故答案為：．

12．當(dāng)時，關(guān)于的方程是一元二次方程．

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到：且．由此求得的值．

【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，

且．

解得．

故答案為：．

13．已知是方程的根，則2023．

【答案】2023．

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，即，把代入原式，化簡得，再通分得到原式，然后再把代入化簡即可．

【解答】解：是方程的根，

，

，

．

故答案為：2023．

14．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為1．

【分析】把代入方程求出，把化成代入求出即可．

【解答】解：把代入方程得：，

，

．

故答案為：1．

15．已知為一元二次方程的一個根，且，為有理數(shù)，則2，．

【答案】2，．

【分析】可得，代入得到，則，可得方程組，解方程組即可求解．

【解答】解：因為，

代入得，

則，

可得方程組，

解得．

故答案為：2，．

16．方程的二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是．

【分析】先化成一元二次方程的一般系數(shù)，再找出系數(shù)即可．

【解答】解：，

，

二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為7，

故答案為：2，7．

17．若是關(guān)于的一元二次方程的一個解，則的值是2．

【答案】2．

【分析】根據(jù)是已知方程的解，將代入方程即可求出的值．

【解答】解：將代入方程得：，

解得：．

故答案為：2．

18．若關(guān)于的一元二次方程是一元二次方程，則2．

【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．

【解答】解：因為是關(guān)于的一元二次方程，這個方程一定有一個二次項，則一定是此二次項．

所以得到，解得．

三．解答題

19．已知是關(guān)于的方程的一個根，求的值．

【分析】把代入方程可得到關(guān)于的方程，可求得，然后整體代入求值．

【解答】解：是關(guān)于的方程的一個根，

．

．

．

20．已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．

【分析】根據(jù)方程解的定義，把代入得出關(guān)于的方程，求得的值，再代入即可得出答案．

【解答】解：是方程的一個根，

．

．

．

或

解：是方程的一個根，

．

．

解方程得．

把代入得得．

21．定義：如果關(guān)于的一元二次方程中常數(shù)項是該方程的一個根，則該一元二次方程就叫做常數(shù)根一元二次方程．

（1）已知關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，則的值為0或；

（2）如果關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，求的值．

【答案】（1）0或；

（2）或．

【分析】（1）根據(jù)常數(shù)根一元二次方程的定義，把代入方程，解關(guān)于的方程即可；

（2）根據(jù)常數(shù)根一元二次方程的定義，把代入方程，解關(guān)于的方程即可．

【解答】解：（1）關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，

方程的一個根為，

代入方程得，，

解得或；

故答案為：0或；

（2）關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，

方程的一個根為，

代入方程得，，

整理得，，

解得或．

22．已知關(guān)于的方程的常數(shù)項為0，

（1）求的值；

（2）求方程的解．

【分析】（1）首先利用關(guān)于的方程的常數(shù)項為0得出，進(jìn)而得出即可；

（2）分別將的值代入原式求出即可．

【解答】解：（1）關(guān)于的方程的常數(shù)項為0，

，

解得：，，

的值為1或2；

（2）當(dāng)時，，

解得．

當(dāng)時，代入得出：

，

，

解得：，．

23．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是1，且、滿足，求關(guān)于的方程的根．

【分析】首先根據(jù)、滿足的關(guān)系式，求出、的值，然后解出，最后解的方程．

【解答】解：，滿足，

，，

，

把代入，

得，

一元二次方程的一個根是1，

，又，，

，

關(guān)于的方程，

解得，．

24．試說明關(guān)于的方程無論取何值，該方程都是一元二次方程．

【分析】只要證明二次項系數(shù)不為零即可．

【解答】解：

又，

，

關(guān)于的方程無論取何值，該方程都是一元二次方程．

25．已知是關(guān)于的多項式，記為．

我們規(guī)定：的導(dǎo)出多項式為，記為．

例如：若，則的導(dǎo)出多項式．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）若，則；

（2）若，求關(guān)于的方程的解；

（3）已知是關(guān)于的二次多項式，為的導(dǎo)出多項式，若關(guān)于的方程的解為整數(shù)，求正整數(shù)的值．

【答案】（1）；

（2）；

（3）1，3．

【分析】（1）利用題目已知的規(guī)定：的導(dǎo)出多項式為，記為，即可解答；

（2）根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出導(dǎo)出的多項式，進(jìn)行計算即可；

（3）根據(jù)題目已知的規(guī)