【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊 19.10 兩點(diǎn)的距離公式 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊19.10兩點(diǎn)的距離公式同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八下·河西期中）若有點(diǎn)，點(diǎn)，則的長度為()

A．B．C．D．

2．（2022八下·無為期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)B是直線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，連接PA，PB，則的最小值是（）

A．6B．C．9D．

3．（2022八下·禹州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，6），則點(diǎn)A，B之間的距離是（）

A．2B．2C．3D．5

4．（2023九上·永定期末）如圖，直線y=x+2與反比例函的圖象在第一象限交于點(diǎn)P.若，則k的值為（）

A．6B．8C．10D．12

5．（2023八下·東莞期末）如圖，點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離是（）

A．1B．2C．D．

6．（2023九上·織金期末）如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，與若雙曲線交于點(diǎn)，則為（）

A．B．C．D．

7．（2023八上·鐵西月考）如圖，若點(diǎn)，點(diǎn)，在x軸上找一點(diǎn)P，使最小，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（）

A．（－5，0）B．（－1，0）C．（0，0）D．（1，0）

8．（2023·寧波模擬）已知：、是正數(shù)，且，則的最小值是（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．（2023·鹽田模擬）如圖，A，B是反比例函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，，，，則．

10．（2023·秀洲模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，P是x軸上動點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)，取中點(diǎn)為M.的度數(shù)為，的最小值為.

11．（2023九下·荊州月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為3的線段（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動，點(diǎn)、是y軸上定點(diǎn)，連接，則的最小值為.

12．（2022·河西模擬）如圖，在邊長為4的等邊中，D，E分別為，的中點(diǎn)，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，則的長為．

13．（2022·石景山模擬）如圖，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三個建筑工地，三個工地的水泥日用量分別為a噸，b噸，c噸．有M(1，5)，N(3，1)兩個原料庫供應(yīng)水泥．使用一輛載重量大于(a+b+c)噸的運(yùn)輸車可沿圖中虛線所示的道路運(yùn)送水泥．為節(jié)約運(yùn)輸成本，公司要進(jìn)行運(yùn)輸路線規(guī)劃，使總的“噸千米數(shù)”（噸數(shù)×運(yùn)輸路程千米數(shù)）最小．若公司安排一輛裝有(a+c)噸的運(yùn)輸車向A和C工地運(yùn)送當(dāng)日所需的水泥，且a>c，為使總的“噸千米數(shù)”最小，則應(yīng)從原料庫（填“M”或“N”）裝運(yùn)；若公司計劃從N原料庫安排一輛裝有(a+b+c)噸的運(yùn)輸車向A，B，C三個工地運(yùn)送當(dāng)日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，為使總的“噸千米數(shù)”最小，寫出向三個工地運(yùn)送水泥的順序（按運(yùn)送的先后順序依次排列即可）．

三、解答題

14．（2023八上·廈門開學(xué)考）在平面直角坐標(biāo)系中有四點(diǎn)，其中，.

（Ⅰ）在下圖中描出四點(diǎn)，再連接；

（II）直接寫出線段與線段的位置關(guān)系；

（Ⅲ）若與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得三角形與三角形的面積相等.若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

四、作圖題

15．（2023八下·福州月考）按要求完成作圖：

（1）作出關(guān)于軸對稱的圖形；

（2）在軸上找一點(diǎn)，使得MA+MB的值最小，最小為多少？

五、綜合題

16．（2023八上·長沙期末）設(shè)兩個點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，，則線段AB的長度為：.舉例如下：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是，，則A、B兩點(diǎn)之間的距離.請利用上述知識解決下列問題：

（1）若，，且，求x的值；

（2）已知△ABC，點(diǎn)A為、點(diǎn)B為、點(diǎn)C為，求△ABC的面積；

（3）求代數(shù)式的最小值.

17．（2023八上·長沙月考）先閱讀下列一段文字，再解答問題.已知在平面內(nèi)有兩點(diǎn)P1（，），P2（，），其兩點(diǎn)間的距離公式為，同時，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為或.

（1）已知點(diǎn)A（7，3），B（2，），試求A，B兩點(diǎn)間的距離；

（2）已知點(diǎn)A，B在平行于軸的直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；

（3）應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式的最小值.

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式：AB=；

故選：B

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式計算可得答案。

2．【答案】D

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，如圖所示：

則PA+PB的最小值即為的長，

將點(diǎn)A（3，a）代入y=2x，

得a=2×3=6，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6），

將點(diǎn)A（3，6）代入y=x+b，

得3+b=6，

解得b=3，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3），

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得點(diǎn)A'坐標(biāo)為（3，-6）

∴，

∴PA+PB的最小值為．

故答案為：D．

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出，即可得到PA+PB的最小值為。

3．【答案】B

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：，，

.

故答案為：B.

【分析】若A（x，y），B（m，n）則AB=，據(jù)此計算

4．【答案】B

【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：由題意設(shè)

整理得：

在第一象限，則

故答案為：B.

【分析】根據(jù)直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)P（x，x+2），由坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出OP2，結(jié)合OP的長可列出方程，解之可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再將點(diǎn)P坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出k值即可.

5．【答案】D

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，則四邊形OAPB為矩形．

∵P（1，2），

∴OA＝1，PA＝OB＝2，

在Rt△OPA中，∵∠OAP＝90°，

∴OP＝＝＝．

故答案為：D．

【分析】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，則四邊形OAPB為矩形．根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的定義得出OA＝1，PA＝OB＝2，再利用勾股定理即可求出OP的長。

6．【答案】A

【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：A為直線y=kx﹣3（k≠0）與雙曲線y=﹣（x＜0）的交點(diǎn)，可得A滿足雙曲線的解析式，

可得：，

解得：，

即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），

A點(diǎn)在直線上，可得A點(diǎn)滿足y=kx﹣3（k≠0），

可得：，解得：k=-2，

一次函數(shù)的解析式為：y=-2x﹣3，

B為直線與y軸的交點(diǎn)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3），

∴AB==，

故答案為：A.

【分析】將y=1代入反比例函數(shù)解析式可求出m的值，可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx-3，可求出一次函數(shù)解析式，由x=0求出對應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AB的長.

7．【答案】C

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：根據(jù)題意要使|PAPB|最小，則PA＝PB即可，

設(shè)P（x，0），

∴，解得：x=0，

∴P（0，0）

故答案為：C．

【分析】要使|PAPB|最小，則PA＝PB即可.設(shè)P（x，0），根據(jù)PA=PB及坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可得方程，求出x值即得結(jié)論.

8．【答案】A

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：，均為正數(shù)，，，

設(shè)，

從上式可以看出：第一個根號是表示點(diǎn)到的距離，第二個根號是點(diǎn)到的距離，

最小值為注意取值范圍：，

最小值，

故答案為：A.

【分析】由已知得b=2-a，代入待求式子，根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)來兩點(diǎn)間的距離公式可得題目表示的是x軸上一點(diǎn)C（a，0）到A（0，1）、B（2，-2）的距離之和最小值問題，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，用勾股定理算出最小值A(chǔ)B即可.

9．【答案】

【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；三角形的面積；三角形全等及其性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：設(shè)A（m，）（m>0、k>0）

∵C（-2，0），D（4，0），

∴OC=2，OD=4.

∵△ACO≌△ODB，

∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，

∴OC·|yA|=×OD×|yB|，

∴×2×=×4×yB，

∴yB=.

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴=，

∴x=2m，

∴B（2m，）.

∵AO=BO，

∴AO2=BO2，

∴m2+()2=(2m)2+()2，整理可得4m2=k2，

∴k=2m2，

∴A（m，2m）.

∵AC=4，

∴(m+2)2+4m2=16，

解得m=，

∴A（，），

∴k=×=.

故答案為：.

【分析】設(shè)A（m，）（m>0、k>0），根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可得OC=2，OD=4，由全等三角形的性質(zhì)可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，結(jié)合三角形的面積公式可得yB=，代入反比例函數(shù)解析式中可得x=2m，則B（2m，），根據(jù)AB=BO結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得k=2m2，則A（m，2m），根據(jù)AC=4可得m的值，據(jù)此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出k的值.

10．【答案】135°；

【知識點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：如圖，過A作軸，垂足為C，

∵，，

∴，

∴，

∴；

∵繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，是中點(diǎn)，

∴，，

∴，

過點(diǎn)Q作，垂足為D，

∵，

∴，又，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，則，

∴，

∴，則，

∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上，

∴當(dāng)M在上時，最小，且為，

故答案為：135°，.

【分析】過A作AC⊥x軸，垂足為C，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得AC=BC=2，∠ABC=45°，則∠ABP=135°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAQ=90°，AP=AQ，則AM=PQ，過點(diǎn)Q作DQ⊥AC，垂足為D，由同角的余角相等可得∠DAQ=∠APC，利用AAS證明△ADQ≌△PCA，得到DQ=AC=2，進(jìn)而推出AM=BM，故當(dāng)M在AB上時，AM+BM最小，然后利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計算.

11．【答案】

【知識點(diǎn)】軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題；平移的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：如圖，平移使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，連接，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，即，

∵，，

∴點(diǎn)，

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，此時點(diǎn)，C，在同一條線上時，最小，

∵，

∴，

連接，則的最小值為，

故答案為：.

【分析】平移CD使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，連接B′C，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為B′，即B′C=BD，易得B′（-3，4），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，此時點(diǎn)A′，C，B′在同一條線上時，AC+BD取得最小值，為A′B′，然后利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計算.

12．【答案】

【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)A作AE⊥BC，過點(diǎn)D作DG⊥BC，

由題意，得

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），E的坐標(biāo)為（2，0），

∵等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴AE=AB×sin60°=，

又D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°，

∴△BDE為等邊三角形，

∴DG=BD×sin60°=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，），

∵F為DE的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），

∴AF==．

故答案為：．

【分析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)A作AE⊥BC，過點(diǎn)D作DG⊥BC，先證出△BDE為等邊三角形，求出DG=BD×sin60°=，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可。

13．【答案】M；N-B-A-C

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：∵M(jìn)A+ACc，為使總的“噸千米數(shù)”最小，則應(yīng)從M料庫裝運(yùn)；

∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，

∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，

∵a：b：c=3：2：1，

∴a=3c，b=2c，

當(dāng)按N-A-B-C運(yùn)輸時：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；

按N-B-A-C運(yùn)輸時：2×6c+2×4c+(2+2)c=24c；

按N-B-C-A運(yùn)輸時：2×6c+2×4c+(2+2)×3c=32c；

∵24c0、k>0）

∵C（-2，0），D（4，0），

∴OC=2，OD=4.

∵△ACO≌△ODB，

∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，

∴OC·|yA|=×OD×|yB|，

∴×2×=×4×yB，

∴yB=.

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴=，

∴x=2m，

∴B（2m，）.

∵AO=BO，

∴AO2=BO2，

∴m2+()2=(2m)2+()2，整理可得4m2=k2，

∴k=2m2，

∴A（m，2m）.

∵AC=4，

∴(m+2)2+4m2=16，

解得m=，

∴A（，），

∴k=×=.

故答案為：.

【分析】設(shè)A（m，）（m>0、k>0），根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可得OC=2，OD=4，由全等三角形的性質(zhì)可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，結(jié)合三角形的面積公式可得yB=，代入反比例函數(shù)解析式中可得x=2m，則B（2m，），根據(jù)AB=BO結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得k=2m2，則A（m，2m），根據(jù)AC=4可得m的值，據(jù)此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出k的值.

10．（2023·秀洲模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，P是x軸上動點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)，取中點(diǎn)為M.的度數(shù)為，的最小值為.

【答案】135°；

【知識點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：如圖，過A作軸，垂足為C，

∵，，

∴，

∴，

∴；

∵繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，是中點(diǎn)，

∴，，

∴，

過點(diǎn)Q作，垂足為D，

∵，

∴，又，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，則，

∴，

∴，則，

∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上，

∴當(dāng)M在上時，最小，且為，

故答案為：135°，.

【分析】過A作AC⊥x軸，垂足為C，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得AC=BC=2，∠ABC=45°，則∠ABP=135°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAQ=90°，AP=AQ，則AM=PQ，過點(diǎn)Q作DQ⊥AC，垂足為D，由同角的余角相等可得∠DAQ=∠APC，利用AAS證明△ADQ≌△PCA，得到DQ=AC=2，進(jìn)而推出AM=BM，故當(dāng)M在AB上時，AM+BM最小，然后利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計算.

11．（2023九下·荊州月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為3的線段（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動，點(diǎn)、是y軸上定點(diǎn)，連接，則的最小值為.

【答案】

【知識點(diǎn)】軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題；平移的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：如圖，平移使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，連接，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，即，

∵，，

∴點(diǎn)，

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，此時點(diǎn)，C，在同一條線上時，最小，

∵，

∴，

連接，則的最小值為，

故答案為：.

【分析】平移CD使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，連接B′C，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為B′，即B′C=BD，易得B′（-3，4），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，此時點(diǎn)A′，C，B′在同一條線上時，AC+BD取得最小值，為A′B′，然后利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計算.

12．（2022·河西模擬）如圖，在邊長為4的等邊中，D，E分別為，的中點(diǎn)，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，則的長為．

【答案】

【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)A作AE⊥BC，過點(diǎn)D作DG⊥BC，

由題意，得

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），E的坐標(biāo)為（2，0），

∵等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴AE=AB×sin60°=，

又D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°，

∴△BDE為等邊三角形，

∴DG=BD×sin60°=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，），

∵F為DE的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），

∴AF==．

故答案為：．

【分析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)A作AE⊥BC，過點(diǎn)D作DG⊥BC，先證出△BDE為等邊三角形，求出DG=BD×sin60°=，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可。

13．（2022·石景山模擬）如圖，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三個建筑工地，三個工地的水泥日用量分別為a噸，b噸，c噸．有M(1，5)，N(3，1)兩個原料庫供應(yīng)水泥．使用一輛載重量大于(a+b+c)噸的運(yùn)輸車可沿圖中虛線所示的道路運(yùn)送水泥．為節(jié)約運(yùn)輸成本，公司要進(jìn)行運(yùn)輸路線規(guī)劃，使總的“噸千米數(shù)”（噸數(shù)×運(yùn)輸路程千米數(shù)）最?。艄景才乓惠v裝有(a+c)噸的運(yùn)輸車向A和C工地運(yùn)送當(dāng)日所需的水泥，且a>c，為使總的“噸千米數(shù)”最小，則應(yīng)從原料庫（填“M”或“N”）裝運(yùn)；若公司計劃從N原料庫安排一輛裝有(a+b+c)噸的運(yùn)輸車向A，B，C三個工地運(yùn)送當(dāng)日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，為使總的“噸千米數(shù)”最小，寫出向三個工地運(yùn)送水泥的順序（按運(yùn)送的先后順序依次排列即可）．

【答案】M；N-B-A-C

【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【解答】解：∵M(jìn)A+ACc，為使總的“噸千米數(shù)”最小，則應(yīng)從M料庫裝運(yùn)；

∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，

∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，

∵a：b：c=3：2：1，

∴a=3c，b=2c，

當(dāng)按N-A-B-C運(yùn)輸時：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；

按N-B-A-C運(yùn)輸時：2×6c+2×4c+(2+2)c=24c；

按N-B-C-A運(yùn)輸時：2×6c+2×4c+(2+2)×3c=32c；

∵24c<24.97c<32c，

∴按N-B-A-C運(yùn)輸時，總的“噸千米數(shù)”最小，

故答案為：M；N-B-A-C．

【分析】關(guān)鍵是求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離，再對行進(jìn)路線的總長度進(jìn)行大小比較即可。

三、解答題

14．（2023八上·廈門開學(xué)考）在平面直角坐標(biāo)系中有四點(diǎn)，其中，.

（Ⅰ）在下圖中描出四點(diǎn)，再連接；

（II）直接寫出線段與線段的位置關(guān)系；

（Ⅲ）若與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得三角形與三角形的面積相等.若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】解：（Ⅰ）先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)，再連接，如圖所示：

（Ⅱ），

軸，軸，

，

即線段與線段的位置關(guān)系是平行；

（III）由題意，畫出圖形如下：

軸于軸于，

，

，

，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，

三角形的面積為，

三角形的面積為，

三角形與三角形的面積相等，

，

解得，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；平行線之間的距離；三角形的面積；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)坐標(biāo)在坐標(biāo)系中分別找出A、B、C、D四點(diǎn)，并把AB、CD連接起來即可；

(II)根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等，而縱坐標(biāo)相等，得出AB∥x軸，同理得出軸，即可推出AB∥CD；

(III)先讀出M、N的坐標(biāo)，求出AB和CD的長，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后把△ABP和△CDP的面積分別用含a的代數(shù)式表示，然后根據(jù)面積相等，列方程求解，即可解答.

四、作圖題

15．（2023八下·福州月考）按要求完成作圖：

（1）作出關(guān)于軸對稱的圖形；

（2）在軸上找一點(diǎn)，使得MA+MB的值最小，最小為多少？

【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：作關(guān)于軸對稱點(diǎn)，僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時值最小，

，，

，

∴MA+MB的最小值.

【知識點(diǎn)】作圖﹣軸對稱；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【分析】（1）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，據(jù)此找出點(diǎn)D、E、F的位置，然后順次連接即可；

（2）作A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A′，僅當(dāng)A′、M、B三點(diǎn)共線時值最小，則MA=MA′，A′（1，-2），MA+MB=MA′+MB=A′B，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計算.

五、綜合題

16．（2023八上·長沙期末）設(shè)兩個點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，，則線段AB的長度為：.舉例如下：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是，，則A、B兩點(diǎn)之間的距離.請利用上述知識解決下列問題：

（1）若，，且，求x的值；

（2）已知△ABC，點(diǎn)A為、點(diǎn)B為、點(diǎn)C為，求△ABC的面積；

（3）求代數(shù)式的最小值.

【答案】（1）解：