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第5章不定積分5.1原函數(shù)與不定積分概念一、原函數(shù)與不定積分通過對求導和微分學習，我們能夠從一種函數(shù)y＝f(x)出發(fā)，去求它導數(shù)f'(x)

那么，我們能不能從一種函數(shù)導數(shù)f’(x)出發(fā)，反過來去求它是哪一種函數(shù)(原函數(shù))導數(shù)呢?[定義]

已知f(x)是定義在某區(qū)間上一種函數(shù)，假如存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上任何一點x處都有F'(x)＝f(x)，那么稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上一種原函數(shù)。1/40例1求下列函數(shù)一種原函數(shù)：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函數(shù)2x一種原函數(shù)⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函數(shù)cosx一種原函數(shù)這里為何要強調是一種原函數(shù)呢?由于一種函數(shù)原函數(shù)不是唯一。例如在上面⑴中，尚有(x2＋1)'＝2x，

(x2－1)'＝2x

因此x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C為任意常數(shù))都是函數(shù)f(x)＝2x原函數(shù)。2/40[定理5.1]

設F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一種原函數(shù)，C是一種任意常數(shù)，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)

在該區(qū)間I上原函數(shù)⑵f(x)該在區(qū)間I上全體原函數(shù)能夠表達為F(x)＋C證明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)原函數(shù)⑵略3/40

這說明函數(shù)f(x)假如有一種原函數(shù)F(x)，那么它就有沒有窮多種原函數(shù)，它們都能夠表達為F(x)＋C形式。[定義5.2]

函數(shù)f(x)全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)不定積分，記作∫f(x)dx，其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量。求函數(shù)f(x)不定積分就是求它全體原函數(shù)，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C

其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。4/40例2求下列不定積分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5一種原函數(shù)∴⑵∵－cosx是sinx一種原函數(shù)∴5/40二、不定積分幾何意義

設F(x)是函數(shù)f(x)一種原函數(shù)，則曲線y＝F(x)稱為f(x)一條積分曲線，曲線y＝F(x)＋C表達把曲線y＝F(x)上下平移所得到曲線族。因此，不定積分幾何意義是指由f(x)全體積分曲線組成積分曲線族。例4求斜率為2x且通過點(1,0)曲線。解：設所求曲線為y＝f(x)，則f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲線過點(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲線為y＝x2－1。6/40三、基本積分公式由于積分運算是求導運算逆運算，因此由基本求導公式反推，可得基本積分公式⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶

⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾7/40說明：冪函數(shù)積分成果能夠這樣求，先將被積函數(shù)指數(shù)加1，再把指數(shù)倒數(shù)放在前面做系數(shù)。[注意]

不能以為arcsinx＝－arccosx，他們之間關系是arcsinx＝π／2－arccosx8/40四、不定積分性質⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)

該性質表白，假如函數(shù)f(x)先求不定積分再求導，所得成果仍為f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C

該性質表白，假如函數(shù)F(x)先求導再求不定積分，所得成果與F(x)相差一種常數(shù)C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k為常數(shù))

該性質表白，被積函數(shù)中不為零常數(shù)因子能夠提到積分號前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx

該性質表白，兩個函數(shù)和或差不定積分等于這兩個函數(shù)不定積分和或差9/40五、基本積分公式應用例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx

＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例11求∫3xexdx10/405.2不定積分計算一、直接積分法對被積函數(shù)進行簡單恒等變形后直接用不定積分性質和基本積分公式即可求出不定積分辦法稱為直接積分法。利用直接積分法能夠求出某些簡單函數(shù)不定積分。11/40

12/40一、第一換元法(湊微分法)

假如被積函數(shù)自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。例如求∫cos2xdx，被積函數(shù)自變量是2x，積分變量是x。這時，我們能夠設被積函數(shù)自變量為u，假如能從被積式中分離出一種因子u’(x)來，那么根據(jù)∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就能夠求出不定積分。這種積分辦法叫做湊微分法。13/40[解說例題]例2求∫2sin2xdx解：設u＝2x，則du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu

＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后成果中不能有u，一定要還原成x。解：設u＝x2＋1，則du＝2xdx14/40

解：設u＝x2，則du＝2xdx

設u＝cosx，則du＝-sinxdx15/40

當計算純熟后，換元過程能夠省去不寫。例求∫sin3xcosxdx

解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C16/40二、第二換元積分法例如，求，把其中最難處理部分換元，令則原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入這就是第二換元積分法。17/40

(1)假如被積函數(shù)具有，能夠用x＝asint換元。

(2)假如被積函數(shù)具有，能夠用x＝atant換元。18/40

(3)假如被積函數(shù)具有，能夠用x＝asect換元。19/40下列成果能夠作為公式使用：⑿∫tanxdx＝ln|secx|＋C⒀∫cotdx＝－ln|cscx|＋C⒁∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C⒂∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C⒃⒄⒅20/405.3分部積分法一、分部積分公式考查函數(shù)乘積求導法則：

[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)兩邊積分得

u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表達成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)這一公式稱為分部積分公式。21/40二、解說例題例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex

則原式為∫u(x)·v'(x)dx形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部積分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，則v(x)＝sin2x

于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx

＝xsin2x＋cos2x＋C22/40

有時，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使用幾次分部積分公式才能夠求出成果。例5：求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，則v(x)＝于是23/40由此可見：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)次數(shù)能夠減少一次。假如所得到積分式還需要用分部積分法解，那么，能夠再用分部積分公式做下去。為了簡化運算過程，下面介紹:三、分部積分法列表解法例如：求∫x2sinxdxx2sinx

求導↓+↓積分

2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx24/40

[分部積分法列表解法]例如：求∫x2sinxdxx2sinx求導↓↓積分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求導↓

２↓積分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求導↓

０↓積分+cosx

＋－

－＋＋25/40例4：求∫xlnxdxxlnx

求導↓↓積分

1?這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解：

lnxx

求導↓+↓積分

-26/40[一般標準]對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應放在左邊，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應放在右邊。有些單獨一種函數(shù)不定積分也要用分部積分法解。例3：求∫lnxdxlnx1

求導↓+↓積分

-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C27/40例6求∫arcsinxdxarcsinx

1

求導↓+↓積分

-x例71

求導↓↓積分

x28/40例8求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx

＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移項得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C5.4有理函數(shù)積分法一、有理函數(shù)定義有理函數(shù)是指分子、分母都是多項式分式函數(shù)，形如29/40二、真分式部分分式分解設分子次數(shù)為n，分母次數(shù)為m。當n＜m時，該分式稱為真分式；當n≥m時，該分式稱為假分式。假分式能夠寫成多項式與真分式和。這里主要解說真分式部分分式分解。例 分解成部分分式解：由于