2018屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2018屆高三下學(xué)期第一次模擬考試

數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵集合∴∵集合∴故選D.2.若，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念即運(yùn)算.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算上,經(jīng)常由于疏忽而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).除了加減乘除運(yùn)算外,有時(shí)要結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的相關(guān)知識(shí),綜合起來加以分析.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,只對(duì)加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運(yùn)算.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類似合并同類項(xiàng)；復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,除法類似分母有理化；用類比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中的運(yùn)算問題.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】對(duì)于，函數(shù)是奇函數(shù)，不滿足題意；對(duì)于，，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，故滿足題意；對(duì)于，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增，故不滿足題意；對(duì)于，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，故不滿足題意，故選B.4.執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：，，；，，；，，，故輸出.考點(diǎn)：程序框圖．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的條件結(jié)構(gòu)流程圖，屬于容易題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：（1）不要混淆處理框和輸入框；（2）注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；（3）注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；（4）處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；（5）要注意各個(gè)框的順序.5.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】該幾何體為一個(gè)正方體去掉一個(gè)倒四棱錐，其中正方體棱長(zhǎng)為，倒四棱錐頂點(diǎn)為正方體中心，底面為正方體上底面，因此體積是，選A.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小正值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：只要把的對(duì)稱中心平移到原點(diǎn)，所得圖象就關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.詳解：的圖象在軸左邊最靠近原點(diǎn)的對(duì)稱中心為，因此把圖象向右最小平移個(gè)單位，就滿足題意.故選A.點(diǎn)睛：的圖象的對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸方程為（），是奇函數(shù)，則原點(diǎn)是其一個(gè)對(duì)稱中心，是偶函數(shù)，則軸是其一個(gè)對(duì)稱軸.7.某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各13場(chǎng)比賽得分情況用莖葉圖表示如圖：根據(jù)上圖，對(duì)這兩名運(yùn)動(dòng)員地成績(jī)進(jìn)行比較，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的是A.甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差B.甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)C.甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值D.甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定【答案】D【解析】分析：根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算極差、中位數(shù)、均值、方差可得結(jié)論.詳解：由莖葉圖甲極差為47－18＝29，乙的極差是33－17＝16，A正確；甲中位數(shù)是30，乙中位數(shù)是26，B正確；甲均值為，乙均值為25，C正確，那么只有D不正確，事實(shí)上，甲的方差大于乙的方差，應(yīng)該是乙成績(jī)穩(wěn)定.故選D.點(diǎn)睛：莖葉圖中間是莖，是十位數(shù)字，兩邊是葉，是個(gè)位數(shù)字，由此可寫出所有數(shù)據(jù)，然后根據(jù)各數(shù)字特征計(jì)算比較即可.8.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義，只要計(jì)算出公比即可.詳解：∵成等差數(shù)列，∴，即，解得（－1舍去），∴，故選D.點(diǎn)睛：正整數(shù)滿足，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，若數(shù)列是等比數(shù)列，則，時(shí)也成立，此性質(zhì)是等差數(shù)列（等比數(shù)列）的重要性質(zhì)，解題時(shí)要注意應(yīng)用.9.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：把用表示，再結(jié)合余弦定理可得.詳解：∵，∴，∴，∴，∴，（∵舍去），∴，，故選B.點(diǎn)睛：解三角形問題，主要是確定選用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面積，一般可根據(jù)已知條件和要求的問題確定，象本題,右邊要用到余弦定理，因此左邊選擇公式，這樣才能達(dá)到迅速化簡(jiǎn)的目的.10.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線的中心，是雙曲線的右支上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，且圓與軸相切于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，若為雙曲線的離心率，則（）A.B.C.D.與關(guān)系不確定【答案】C【解析】試題分析：，內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是A，∵，由圓切線長(zhǎng)定理有，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則，即，∴，即A為右頂點(diǎn)，在中，由條件有，在中，有，∴.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的運(yùn)算、圓切線長(zhǎng)定理.11.如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，若（，），且點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的線性運(yùn)算，得出滿足的不等關(guān)系，再利用線性規(guī)劃思想求解.詳解：由題意，當(dāng)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，∴當(dāng)在四邊形內(nèi)（含邊界）時(shí)，（＊），又，作出不等式組（＊）表示的可行域，如圖，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與連線的斜率，由圖形知，，即，∴，，故選C.點(diǎn)睛：在平面向量的線性運(yùn)算中，如圖，的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出，，類比于軸，直角坐標(biāo)系中有四個(gè)象限，類比在（）中也有四個(gè)象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可類比得出其中的直線方程，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等等.12.在實(shí)數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類似的，我們這平面向量集合上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“”．定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)向量，，當(dāng)且僅當(dāng)“”或“且”，按上述定義的關(guān)系“”，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，則；③若，則對(duì)于任意的，；④對(duì)于任意的向量，其中，若，則．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】分析：按照新定義，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行判斷.詳解：①是正確的；②中，滿足已知，則，只要有一個(gè)沒有等號(hào)，則一定，若，則，都滿足，正確；③∵，∴命題正確，④中若，則，但，錯(cuò)誤，因此有①②③正確，故選B.點(diǎn)睛：新定義問題，關(guān)鍵是正確理解新概念，并掌握解決新概念下問題的方法，有一定的難度.本題中新概念關(guān)系“＞”與向量的坐標(biāo)之間的大小關(guān)系聯(lián)系在一起，由實(shí)數(shù)大小關(guān)系的傳遞性可得新關(guān)系“＞”的傳遞性，但向量的數(shù)量積與新關(guān)系“＞”之間沒有必然的聯(lián)系，這可通過舉反例說明.實(shí)際上舉反例說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，是數(shù)學(xué)中一個(gè)常用的方法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)__________．【答案】-2【解析】的展開式的通項(xiàng)為,令,得,即,解得.14.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于、兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為__________．【答案】36【解析】分析：可由得出，從而可得拋物線方程，拋物線的準(zhǔn)線方程，因此的邊上的高易得.詳解：不妨設(shè)拋物線方程為，，，∴準(zhǔn)線方程為，到直線的距離為6，∴.故答案為36.點(diǎn)睛：過拋物線的焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦是拋物線的通徑，通徑長(zhǎng)為.15.已知的半衰期為5730年（是指經(jīng)過5730年后，的殘余量占原始量的一半）．設(shè)的原始量為，經(jīng)過年后的殘余量為，殘余量與原始量的關(guān)系如下：，其中表示經(jīng)過的時(shí)間，為一個(gè)常數(shù)．現(xiàn)測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r的殘余量約占原始量約占原始量的．請(qǐng)你推斷一下馬王堆漢墓的大致年代為距今__________年．（已知）【答案】2292【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，解得.現(xiàn)測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r的殘余量約占原始量的.所以，得,.16.已知（），且滿足的整數(shù)共有個(gè)，（）的最大值為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】分析：首先判斷出函數(shù)是偶函數(shù)，這樣由得，可解得，其次還要注意時(shí)，是常數(shù)，這樣，從而，即恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可．注意到，因此在上遞減才能符合要求．詳解：∵，∴是偶函數(shù)，又由絕對(duì)值性質(zhì)知時(shí)，是增函數(shù)，所以由得，解得或，結(jié)合，可知也滿足要求，所以，故.即在時(shí)恒成立.，且，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，，使得在單調(diào)遞增，不合題意，舍去.故答案為.點(diǎn)睛：本題有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)方程，解函數(shù)方程的方法是確定函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，利用函數(shù)性質(zhì)去，本題是利用偶函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性性質(zhì)得出，當(dāng)然還要注意在上函數(shù)為常數(shù)，否則會(huì)漏解；二是不等式恒成立問題，也就量用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題，此題中要掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，同時(shí)本題判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)還用到了整體換元思想，二次函數(shù)的性質(zhì)，這要求我們要熟練掌握這些知識(shí)并能靈活應(yīng)用．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列，滿足，，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）只要證得是常數(shù)即可，為此由已知得，代入，變形可證，從而得得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，利用錯(cuò)位相減法可求和.詳解：（1）∵，∴，由，∴，化簡(jiǎn)得，∵，∴，即（），而，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴，即，∴（）．（2）由（1）知，，∴，∴，兩式相減得，，故．點(diǎn)睛：解決數(shù)列求和問題首先要掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，其次要掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列用分組求和法求和，數(shù)列用錯(cuò)位相減法求和，數(shù)列用裂項(xiàng)相消法求和.18.如圖，是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，且，．（1）試在線段上確定一點(diǎn)的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）設(shè)平面ACF與BD交于點(diǎn)M，與BE交于點(diǎn)N，M點(diǎn)就量所求，由此可知M是BD的三等分點(diǎn)中靠近B點(diǎn)的一個(gè)，由線面平行的判定定理可證；（2）分別以DA，DC，DE為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面ABE和平面CBE的法向量，由法向量的夾角可得所求二面角.詳解：（1）證明：取的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過作交于，則有，由平面，，可知平面，∴，∴，且．∴四邊形為平行四邊形，可知，∴平面，∵，∴為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由可得．設(shè)平面的法向量為，由可得，因?yàn)槎娼菫殁g二面角，可得，所以二面角余弦值為．點(diǎn)睛：立體幾何中求空間角問題，除用幾何法求解以外還可用空間向量法求解，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)直線求出直線的方向向量，對(duì)平面求出平面的法向量，則兩直線方向向量的夾角與異面直線所成的角相等或互補(bǔ)，直線的方向向量與平面的法向量的夾角余弦和絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦，兩平面的法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)，具體地可根據(jù)圖形進(jìn)行判斷.19.為了引導(dǎo)居民合理用水，某市決定全面實(shí)施階梯水價(jià)．階梯水價(jià)原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)定價(jià)，具體劃分標(biāo)準(zhǔn)如表：階梯級(jí)別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）從本市隨機(jī)抽取了10戶家庭，統(tǒng)計(jì)了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3家，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況，從全市依次隨機(jī)抽取10戶，若抽到戶月用水量為二階的可能性最大，求的值．【答案】(1)見解析;(2)6.【解析】分析：（1）由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．第二階段水量的戶數(shù)的可能取值為0,1,2,3，由超幾何分布概率公式計(jì)算出概率，得概率分布列，再由期望公式可計(jì)算出期望；（2）設(shè)為從全市抽取的10戶中用水量為二階的家庭戶數(shù)，依題意得，由二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算出，比較它們的大小求得最大值（可用作商法：即，和可得值，即.........................詳解：（1）由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．第二階段水量的戶數(shù)的可能取值為0,1,2,3，，，，，所以的分布列為0123．（2）設(shè)為從全市抽取的10戶中用水量為二階的家庭戶數(shù)，依題意得，所以，其中0,1,2，…,10．設(shè)，若，則，；若，則，．所以當(dāng)或，可能最大，，所以的取值為．點(diǎn)睛：本題主要要分清概率分布的類型，然后選用不同的公式計(jì)算概率，超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)重要的概率分布，超幾何分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布．它描述了由有限個(gè)物件中抽出n個(gè)物件，成功抽出指定種類的物件的次數(shù)（不歸還）；二項(xiàng)分布即在每次試驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果，而且兩種結(jié)果發(fā)生與否互相對(duì)立，并且相互獨(dú)立，其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨(dú)立試驗(yàn)中都保持不變．20.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于，兩點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求的面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由知是中點(diǎn)，從而得軸，因此得，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程再結(jié)合可解得得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，代入圓方程可得，計(jì)算，由可解得，設(shè)，把代入橢圓方程可得，由計(jì)算出面積，最后根據(jù)的范圍得面積的范圍.詳解：（1）∵，則為線段的中點(diǎn)，∴是的中位線，又，∴，于是，且，解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，，由題意，設(shè)直線的方程為，，，由得，則，．．∵，∴，解得．由消得，設(shè)，，則．設(shè)，則，其中，∵關(guān)于在上為減函數(shù)，∴，即的面積的取值范圍為．點(diǎn)睛：直線與橢圓相交問題，常常設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后用韋達(dá)定理得，然后再求得弦長(zhǎng)、斜率、面積等，并代入，從而把弦長(zhǎng)、斜率、面積表示為參數(shù)（如）的函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)可求得最值、范圍或者證明其為定值.21.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】(1);(2)見解析.【解析】分析：（1）設(shè)，不等式可化為，對(duì)可把作為一個(gè)整體，分子分母同除以，轉(zhuǎn)化后可利用基本不等式求得其最值，從而得的范圍；（2）令函數(shù)，則，由導(dǎo)數(shù)可求得的最小值，而題中命題成立，即這個(gè)最小值，從而可得的取值范圍，而比較與，即比較與的大小，即比較與的大小.于是可構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，從而得結(jié)論.詳解：（1）由條件知在上恒成立，令（），則，所以對(duì)于任意成立．因?yàn)?，∴，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，，又，故，所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值，故，即．與均為正數(shù)，同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù)，即比較與的大小，試比較與的大?。畼?gòu)造函數(shù)（），則，再設(shè)，，從而在上單調(diào)遞減，