平面幾何知識點(diǎn)匯總

平面幾何知識點(diǎn)匯總本文介紹了平面幾何的兩個(gè)重要知識點(diǎn)：相交線和平行線，以及三角形的相關(guān)概念和定理。相交線和平行線相交線和平行線是平面幾何中的基本概念，其中包括對頂角的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、平行公理及其推論，以及平行線的性質(zhì)和判定方法。對頂角的性質(zhì)是指對頂角相等，垂線的性質(zhì)包括過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短等。平行公理是指經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中包括了平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。平行線的性質(zhì)包括同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，判定方法包括同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角相等等。三角形三角形是平面幾何中的重要圖形，本文介紹了三角形的相關(guān)概念和定理，包括三角形的定義、三種重要線段（角平分線、中線、高線）、三邊關(guān)系定理、三角形的穩(wěn)定性和內(nèi)角和等于180°等。三角形的定義是由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形，其中包括三條線段、不在同一直線上、首尾順次相接等要點(diǎn)。三角形的三邊關(guān)系定理是指三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，同時(shí)滿足△ABC三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b，判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大于第三條線段即可。三角形的穩(wěn)定性是指三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理。三角形的內(nèi)角和為180°，在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角，在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，可以求各內(nèi)角。一、三角形的外角三角形的外角是由一邊和另一邊的延長線組成的角。它有以下性質(zhì)：①一個(gè)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。②一個(gè)三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。③一個(gè)三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)。二、多邊形①一個(gè)n邊形有n(n-3)條對角線。②一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°。③一個(gè)多邊形的外角和為360°。三、全等三角形全等三角形的定義是：形狀相同且大小相等的兩個(gè)三角形可以完全重合，它們是全等三角形。它們有以下性質(zhì)：（1）全等三角形對應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對應(yīng)角相等。全等三角形的判定方法有五種：（1）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）；（2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）；（4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）；（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）。角平分線的性質(zhì)是：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，判定方法是到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上。四、軸對稱圖形軸對稱圖形是指一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。線段的垂直平分線是經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線。軸對稱變換是由一個(gè)平面圖形得到它的軸對稱圖形。等腰三角形是有兩條邊相等的三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。等邊三角形是三條邊都相等的三角形。軸對稱圖形的性質(zhì)是：①如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。②線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。1.點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（x，-y），關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P″（-x，y）。2.等腰三角形的性質(zhì)包括：（1）兩個(gè)底角相等；（2）頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；（3）軸對稱，底邊上的中線為對稱軸；（4）兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等；（5）一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半；（6）頂角的外角平分線平行于底邊。3.等邊三角形的性質(zhì)包括：（1）三個(gè)內(nèi)角都相等，每一個(gè)角都等于60°；（2）軸對稱，共有三條對稱軸；（3）每邊上的中線、高和該邊所對內(nèi)角的平分線互相重合。4.判定方法包括：（1）與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等；（3）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。5.勾股定理定義為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；勾股數(shù)是滿足a＋b＝c的三個(gè)正整數(shù)；勾股定理的逆定理是如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a＋b＝c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。判斷直角三角形的方法包括：（1）三邊長滿足a+b=c；（2）有一個(gè)角為90°的三角形；（3）有兩個(gè)角互余的三角形。若c=a+b，則△ABC是直角三角形，其中∠C為直角；若a+b<c，則此三角形為鈍角三角形，其中c為最大邊；若a+b>c，則此三角形為銳角三角形，其中c為最大邊。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。勾股定理可以用于以下問題：已知直角三角形的兩邊求第三邊；已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系；證明線段平方關(guān)系的問題；利用勾股定理作出長為n的線段。勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法。四邊形的內(nèi)角和等于360°，外角和等于360°；n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°，任意多邊形的外角和等于360°。平行四邊形的性質(zhì)包括兩組對邊分別平行、相等，兩組對角分別相等，對角線互相平分以及鄰角互補(bǔ)。平行四邊形的判定條件包括兩組對邊分別平行且相等，兩組對角分別相等，一組對邊平行且相等，以及對角線互相平分。矩形具有平行四邊形的所有通性，四個(gè)角都是直角，對角線相等。矩形的判定條件包括平行四邊形加一個(gè)直角，三個(gè)角都是直角，以及對角線相等的平行四邊形。菱形具有平行四邊形的所有通性，四個(gè)邊都相等，對角線垂直且平分對角。菱形的判定條件包括平行四邊形加一組鄰邊相等，四個(gè)邊都相等，以及對角線垂直的平行四邊形。9.正方形的性質(zhì)：由于ABCD是正方形，它具有平行四邊形的所有特性，四個(gè)邊相等，四個(gè)角都是直角，對角線相等且垂直平分。10.正方形的判定：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，其中一組鄰邊相等且有一個(gè)直角，那么它就是正方形。如果一個(gè)四邊形是菱形且有一個(gè)直角，那么它也是正方形。如果一個(gè)四邊形是矩形且有一組鄰邊相等，那么它也是正方形。11.等腰梯形的性質(zhì)：由于ABCD是等腰梯形，它的兩條底邊平行且相等，同一底上的底角相等，對角線相等。12.等腰梯形的判定：如果一個(gè)四邊形是梯形且兩條腰相等，那么它就是等腰梯形。如果一個(gè)四邊形是梯形且底角相等，那么它也是等腰梯形。如果一個(gè)四邊形是梯形且對角線相等，那么它也是等腰梯形。14.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。15.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底邊，且等于兩底邊之和的一半。關(guān)于中心對稱的定理：1.關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的。2.關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。3.如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。公式：1.菱形的面積為1/2ab（a、b為菱形的對角線，c為菱形的邊長，h為c邊上的高）。2.平行四邊形的面積為ah（a為平行四邊形的邊長，h為a上的高）。3.梯形的面積為1/2(a+b)h（a、b為梯形的底邊，h為梯形的高，L為梯形的中位線）。常識：1.多邊形的對角線條數(shù)公式為n(n-3)/2。2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系如圖所示。3.梯形中常見的輔助線有中位線和高線。圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓是由所有到定點(diǎn)O距離為定長r的點(diǎn)組成的集合。一個(gè)圓有兩個(gè)元素，一個(gè)是圓心，一個(gè)是半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。與圓相關(guān)的概念包括弦、直徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、弓形、等圓、等弧、同心圓、圓心角、圓周角和弦心距。其中，直徑等于半徑的2倍，同圓或等圓的半徑相等，等弧必須是同圓或等圓中的弧，弧長相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧長必相等。圓心角是定點(diǎn)為圓心的角。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的圓心角相等，所對的弦相等；如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所對的弧相等。圓周角是頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角。圓周角必須具備兩個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上；角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可。圓周角和圓心角的相同點(diǎn)是兩邊都和圓相交，不同點(diǎn)是圓心角的頂點(diǎn)在圓心，圓周角的頂點(diǎn)在圓上。一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半；在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°（直角）；90°的圓周角所對的弦是圓的直徑，所對的弧是半圓。垂徑定理指出，如果一個(gè)點(diǎn)在圓上，則連接這個(gè)點(diǎn)和圓心的線段垂直于圓的切線。推理時(shí)，可以利用圓周角和圓心角的性質(zhì)，以及三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)。根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知扇形面積S、弧長l、扇形半徑r和圓心角n，可以求出任意兩個(gè)量。圓錐是由底面和側(cè)面組成的。圓錐的母線是圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線，圓錐的高是連接頂點(diǎn)和底面圓心的線段。圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長。圓錐的側(cè)面積公式為S側(cè)=rlπ，全面積公式為S全=πr(l+r)。圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，其中一邊長等于圓柱的高，另一邊是底面圓的周長。圓柱的側(cè)面積為2πRh，全面積為2πR(R+h)。正多邊形是各邊和各角相等的多邊形。正多邊形的中心是外接圓或內(nèi)切圓的圓心，半徑為正多邊形的半徑，邊心距為中心到正多邊形一邊的距離。正多邊形每個(gè)中心角等于360度除以邊數(shù)，外角等于中心角。將一個(gè)圓分成相等的弧，可以得到內(nèi)接正多邊形，該圓是正多邊形的外接圓。正多邊形的面積公式為rl/2（其中r表示內(nèi)切圓的半徑，l表示內(nèi)切圓的周長）。反證法是一種證明方法，通過假設(shè)所要證明的命題不成立，推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論，從而證明原命題成立。（２）反證法的步驟：首先假設(shè)所要證明的命題不成立，即假設(shè)其反命題成立；然后根據(jù)假設(shè)推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論；由此可以得出原命題成立的結(jié)論。任意正多邊形的內(nèi)角和公式為（n-2）×180°，其中n為多邊形的邊數(shù)。這個(gè)公式可以用來計(jì)算任意正多邊形內(nèi)角的總和。例如，一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為