基于復變函數(shù)的半無限空間矩形隧道應力-位移分析

基于復變函數(shù)的半無限空間矩形隧道應力-位移分析

近年來，中國城市的隧道建設取得了迅速推進，不僅數(shù)量上有了進步，而且隧道類型也大幅增加。其中，矩形頂管隧道相較傳統(tǒng)圓形隧道，有著埋深淺、斷面面積利用率高、施工時對地面交通影響小、無污染、無噪音等優(yōu)點。近年來，在城市地下過街通道、地下綜合管廊、地鐵隧道、中短距離的城市地下道路、地下空間的互聯(lián)互通、地鐵暗挖車站等工程中，矩形頂管隧道都得到了廣泛運用。矩形頂管隧道的發(fā)展，代表著中國未來城市中短程隧道建設的新方向。2002年，日本京都地鐵工程采用了矩形盾構機，首次成功建成了矩形單洞雙線隧道雖然當前矩形隧道的工程實踐較為豐富，但對應的淺埋矩形隧道理論研究工作卻明顯薄弱。目前，淺埋隧道的理論研究以圓形隧道為主。Jeffery利用彈性力學復變函數(shù)方法，可以通過保角映射將一些較為復雜的幾何單連通域映射為復平面內(nèi)的簡單幾何單連通域（單位圓或同心圓環(huán)等），然后，在這些域內(nèi)，可以結合給定的邊界條件，較為方便地解出復應力函數(shù)。許多學者基于復變函數(shù)理論的這一特征，對圓形隧道以及其他異型隧道進行了很多有意義的研究。Verruijt筆者基于曾癸森1地表平面應變分析圖1為z平面（直角坐標系）下，半無限空間中矩形孔洞的示意圖。b為矩形隧道的寬，h為隧道的高，d為孔洞中心到地表水平線的距離，A(O）點為坐標原點，B點為地表水平線的無窮遠點，C點和D點分別為矩形隧道頂部和底部輪廓線與隧道中軸線的交點，E點和F點為矩形孔洞在右半平面的兩個角點。θ為矩形孔洞的角點F相對矩形中心點所在的角度。R域為半無限空間中矩形孔洞以外的區(qū)域。假設土體為均質各向同性彈性材料，將問題簡化成平面應變問題進行討論。根據(jù)Muskhelishvili位移分量為式中：G=E/（2+2μ）是剪切模量；E為土體的彈性模量；κ是與泊松比μ相關聯(lián)的參數(shù)，在該平面應變問題中，取κ=3-4μ。在z平面中，地表平面無應力作用，故采用應力邊界條件控制；矩形孔周采用均勻收縮的位移邊界條件，故采用位移邊界條件控制。邊界條件為式中：l為矩形孔周線上的點形成的集合。2復合函數(shù)的語法2.1平面上的取樣點的編碼采用曾癸森式中：式中：a和β為待定系數(shù)，以及圓環(huán)域的內(nèi)半徑α也為待定系數(shù)。曾癸森1）首先，沿著矩形孔洞邊界從D點開始按逆時針方向等間距取m+1個取樣點（其中，第一個和最后一個取樣點是同一個點），這樣，就將孔洞輪廓均等地分成了m段，得到了m+1個取樣點在z平面上的坐標。同時，在ζ平面上將圓環(huán)域的內(nèi)邊界從D′點開始，沿逆時針方向，同樣等間距地劃分成m段，這樣，也就得到了ζ平面上的m+1個取樣點的坐標。將z平面和ζ平面上得到的取樣點，按照從起點處逆時針依次經(jīng)過的先后順序進行編號，并一一對應起來。在圓環(huán)域內(nèi)邊界取點的過程中，由于圓環(huán)域的內(nèi)半徑α暫且未知，不妨先假設一個初值（α2）將m個取樣點的坐標代入共形映射公式（6）中，將會得到一個由m+1個方程，k+1個未知數(shù)組成的方程組，這個方程組可以寫成矩陣形式式中：根據(jù)最小二乘法原理，式（9）可以寫成3）通過過程1）中得到的z平面和ζ平面中取樣點的坐標，可以得到一個初始的A和B矩陣，代入式（13）中便可解得第1組系數(shù)矩陣X。但得到的第1組系數(shù)是不準確的，需要進行進一步的迭代，以提高精度。4）將上一步過程中得到的X矩陣再代入式（9）中，得到一組新的z平面上的參考點坐標。這組坐標代表了采用當前系數(shù)矩陣X的情況下，ζ平面中圓環(huán)內(nèi)邊界上的點投射到z平面上的情況。在僅進行了第一次迭代的情況下，會發(fā)現(xiàn)新的參考點偏離所需要的輪廓線較多。5）為了進行下一次迭代，需要將新得到的參考點坐標進行修正。首先，需要計算當前參考點輪廓線的周長，將m個參考點中相鄰的兩兩參考點間的距離都疊加起來便可得到；隨后，計算從起點處沿逆時針方向到各個參考點所走過的路程；最后，根據(jù)各個參考點對應路程在周長中的占比，找到在精確的矩形輪廓上同樣占比的取樣點，由此便可得到一組修正后的取樣點坐標。6）由上一步可得到修正后的B矩陣，隨后重復3）、4）、5）的迭代過程，直到第t次迭代產(chǎn)生的系數(shù)矩陣X7）以上過程是針對α2.2矩形孔收縮的原因隧道在開挖的過程中不可避免地會產(chǎn)生土體損失，一般來說，隧道的開挖面相比最終的隧道斷面要略大一些。在矩形隧道開挖過程中，由于土體損失的存在，將會引發(fā)矩形孔收縮的問題，通過給定孔收縮的位移條件，對此問題進行分析。對于圓形隧道的位移邊界條件，Park將圖2中，通過矩形邊界角點F(x,y）在z平面中對應的角度θ，可以推出將式（16）、式（17）代入式（18）中，可以計算出F′在ζ平面對應的幅角至此，矩形位移收斂模式分段函數(shù)的分段區(qū)間已經(jīng)完全確定，可將其用傅里葉級數(shù)表示，方便后續(xù)計算。2.3傅里葉級數(shù)的計算由于φ（Z）和ψ（Z）是R域上的解析函數(shù)，映射函數(shù)ω（ζ）也是解析函數(shù)，因此，φ（Z）和ψ（Z）可以用ζ來表示。根據(jù)復變函數(shù)理論可以得出，在ζ平面的環(huán)形域γ上，φ（Z）和ψ（Z）可以展開成Laurent級數(shù)的形式。同樣，邊界條件在進行一些微分代換后，也可以寫成ζ表示的形式。式（25）中，f（ζ）是由矩形孔口位移邊界條件確定的位移函數(shù)。在ζ平面上，有ζ=ρσ=ρe式中：ω（ζ）/ω′（ζ）較為復雜，無法直接寫成級數(shù)形式，但可以轉換為傅里葉級數(shù)來計算。將式（22）、式（23）、式（27）代入地表應力邊界條件式（24）中，可以得到由此可得a令Verruij通過式（30）、式（31）可以求解所有的a根據(jù)式（3）、式（20）、式（21），得到位移表達式同樣，可以得到應力表達式利用式（32）、式（33）可以求得土體的應力場和位移場。其中，位移場包括了土體整體的剛體位移，假設地表無窮遠點的位移為零，則各點的位移再減去地表無窮遠點的位移后才得到最終的位移場結果。3彈塑性土體的應力區(qū)和塑性區(qū)的劃分為了驗證理論模型的準確性，利用ABAQUS建立了矩形孔收縮的有限元模型，將其得到的有限元解答與理論解進行對比驗證。模型寬取100m，高取50m，隧道中心點深度d取3m，矩形隧道寬b取1.5m，高h取1m，泊松比μ取0.3,u圖5為有限元解和本文解產(chǎn)生的地表沉降曲線、地表水平位移曲線、矩形孔周第一主應力分布以及位移場和最大切應力τ圖5(d）、（e）為有限元解和本文解的位移場云圖和最大切應力云圖，左半部分為有限元解的結果，右半部分為本文解的結果。很明顯可以看出，有限元解和本文解得出的位移場和應力場基本吻合，從而進一步驗證了本文解的可靠性。如果假設土體為彈塑性土體，采用Tersca屈服準則來判斷土體的屈服面，那么最大切應力的等值線可以作為土體彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線。觀察到塑性區(qū)最早會出現(xiàn)在矩形孔洞的4個角點，隨著矩形孔洞的位移逐漸增加，塑性區(qū)將會從4個角點向外拓展相連，形成類矩形狀的塑形區(qū)。經(jīng)過上述對比，可以看出本文的理論解與有限元解之間具有很高的一致性，從而驗證了理論方法的正確性和可靠性，可以采用該理論方法繼續(xù)深入矩形頂管的研究工作。4參數(shù)分析4.1位移場分析4.1.1沉降槽的形態(tài)將由高寬比變化的觀點所決定算例保證矩形隧道的截面面積為πm圖6給出了圓形隧道以及不同高寬比的矩形隧道所形成的沉降槽，結果表明：若保證相同隧道的橫截面積和土體損失率，則圓形隧道產(chǎn)生的沉降槽與高寬比h/b為1時的矩形隧道（正方形）產(chǎn)生的沉降槽基本接近。對于矩形隧道，隨著高寬比的增加，沉降槽的寬度逐漸減小，而沉降槽的深度逐漸增加。隨著高寬比的改變，沉降槽的形狀將會發(fā)生變化，當高寬比減小到某一個值以下時，沉降槽將不再是一個類高斯曲線的形狀，最大沉降點不再位于隧道中軸線處，軸線處的沉降值將小于兩側。這種現(xiàn)象隨著高寬比的減少，將會越來越明顯。這種沉降槽形狀受高寬比影響的現(xiàn)象，可能是因為沉降槽受到矩形隧道側邊和上下邊位移的共同作用疊加，其中頂邊向下的位移對沉降槽的影響較大，而側邊的橫向位移也會對位移場產(chǎn)生影響。當高寬比較小時，側邊較短，側邊位移對位移場影響較小，影響區(qū)域集中在兩條側邊處，所以，此時沉降槽的最大沉降點位于沉降槽中心兩側（對應兩條側邊所在位置）；而當高寬比較大時，側邊較長，側邊位移對位移場影響較大，兩條側邊的影響區(qū)域相互疊加，使得側邊橫向位移產(chǎn)生的地表沉降最大值依舊在沉降槽中心處。4.1.2泊松比對沉降槽的影響選用泊松比μ分別為0.1、0.25、0.35、0.5，彈性模量E取10MPa，矩形隧道寬b取1.5m，高h取1m，隧道中心點深度d取3m，邊界條件位移參數(shù)u圖7給出了不同泊松比條件下形成的沉降槽，結果表明：泊松比對沉降槽深度的影響較大，隨著泊松比的增大，沉降槽的深度將會明顯加大，同時，沉降槽的寬度也會增加。沉降槽的形狀也會跟隨泊松比的變化而變化，當泊松比很小時（如圖7中μ=0.1時的曲線），沉降槽的形狀很接近類高斯曲線；隨著泊松比的增大，沉降槽的形狀將會逐漸發(fā)生改變（如圖7中μ=0.35時的曲線，明顯沉降槽底部趨于平緩）；而泊松比的值超過某一界限，沉降槽的最低點將會向隧道軸線兩側偏移，沉降槽軸線處的土體相較于其兩側的土體發(fā)生輕微隆起（如圖7中μ=0.5曲線所示），這種現(xiàn)象伴隨泊松比的增大愈發(fā)明顯。這種現(xiàn)象在高寬比分析中，推測是由于側邊橫向位移造成的，而泊松比是橫向正應變與軸向正應變絕對值的比值，泊松比的取值大小將會很大程度地反映側邊橫向位移對地表豎向位移（沉降槽）的影響。泊松比越大，側邊橫向位移對沉降槽的影響越大，因此，沉降槽形狀發(fā)生改變的現(xiàn)象會越明顯。圖8為不同泊松比條件下，x=b位置處土體的橫向位移曲線圖，結果表明：從整體上看，泊松比越大，得到的橫向位移越小。橫向位移的最大值點集中在隧道中心點深度d附近，泊松比對于橫向位移的最大值影響很小。泊松比對橫向位移的影響主要體現(xiàn)在隧道以上的土體，泊松比不僅會極大地影響隧道以上土體的橫向位移值，而且會改變橫向位移曲線的形狀。當泊松比偏大時，隧道以上土體的最小橫向位移點出現(xiàn)在地表；當泊松比減小到某個值以下，最小橫向位移點將會向下偏移。4.1.3不同埋深對沉降槽的影響選用隧道埋深D分別為1、3、5、7m，隧道埋深D為隧道頂部到地表的距離；泊松比μ取0.3，彈性模量E取10MPa，矩形隧道寬b取1.5m，高h取1m，邊界條件位移參數(shù)u圖9為不同埋深的矩形隧道產(chǎn)生的地表沉降曲線，結果表明：隧道埋深對沉降槽最大沉降值影響很大，埋深越淺，最大沉降值越大；同時埋深也會影響沉降槽的寬度，沉降槽的寬度隨著埋深的增加逐漸減小。埋深較淺時，沉降槽的形狀會發(fā)生變化，變化情況和低泊松比和較大的高寬比時相同，中軸線上的地表沉降將會略大于其兩側的沉降值。4.2重力場分析4.2.1寬比h/h/f分析泊松比μ分別取0.1、0.3、0.5，對高寬比h/分別b為2/3、1、1.5進行分析。u圖10為高寬比分別為2/3、1、1.5的隧道在泊松比0.1、0.3、0.5下的孔周σ4.2.2分析對象矩形隧道埋深D取1、3、5m，對高寬比h/b為2/3、1、1.5進行分析。位移參數(shù)u圖11為高寬比h/b分別為2/3、1、1.5的隧道在埋深1、3、5m下的孔周σ5矩形隧道位移影響分析基于復變函數(shù)方法得出了可以適用于平面應變條件下半無限空間中矩形隧洞的位移邊界條件解析解，且通過有限元的計算結果驗證了解析解的可靠性；然后基于該方法對不同埋深、不同高寬比、不同泊松比對位移場和應力場的影響進行了敏感性分析，得到以下主要結論：1）提出的方法是一種解決半無限空間矩形孔收縮問題的復變函數(shù)解法，該方法經(jīng)過與有限元計算結果的對比驗證，保證了其可靠性。解析解與有限元解相比，應力場和位移場都比較一致，僅在應力集中的結果上偏于保守，在實際工程設計運用中，采用解析解的結果會更安全；分析了半無限空間矩形隧洞問題的塑性區(qū)發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)塑性區(qū)最早會在矩形孔洞的4個角點產(chǎn)生，隨著位移的增大，逐漸拓展連通，最后，塑性分界面將在矩形孔洞外圍呈類矩形分布。2）在本文的邊界位移條件下，對沉降槽的參數(shù)分析結果表明：沉降槽的深度與土體泊松比和矩形隧洞埋深呈負相關，與矩形隧洞的高寬比呈正相關；而沉降槽的寬度與土體泊松比和矩形隧洞的高寬比呈負相關，與矩形隧洞埋深呈正相關；在泊松比較大、埋深較淺、高寬比較大時，矩形隧洞的沉降槽曲線的形狀將不再是類高斯曲線，主要表現(xiàn)為沉降槽的中心處相較于其兩側將會產(chǎn)生輕微