正弦、余弦定理解三角形（典型例題+跟蹤訓(xùn)練）【解答題搶分】2023年高考數(shù)學(xué)（新高考通用）解析版

【解答題搶分專(zhuān)題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專(zhuān)題01正弦、余弦定理解三角形

目錄一覽

一、梳理必備知識(shí)

二、基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

三、典型例題講解

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

六、高考真題銜接

一、梳理必備知識(shí)

1.正弦定理

上=上='=2火.（其中R為A48C外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

<=>tz=27?sinJ,6=27?sin5,c=27?sinC;（邊化角）

<=>sinsinB=sinC=—;（角化邊）

2R2R2R

用法：

⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；

⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它元素.

2.余弦定理:

從+。2-/

cosA=

2bca2=b2+c2-2bccosA,

cos5==><b2=a2+c2-2accos5,

2ac

c2=/+/72-labcosC.

a2^b2-c2

cosC=

2ah

用法：

⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；

⑵已知三角形三邊，求其它元素.

3.三角形面積公式：

SMBC-absinC^-bcsinA=-acsinB=-(a+b+c)r(r?為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑)

2222

4?三角形內(nèi)角和定理：

在△Z8C中，有4+8+。=%=。=%一(/+8)="|=(—^1^=2。=2乃一2(4+8).

【常用結(jié)論】

①在\ABC中，。>b=sin/>sin5o/>5;

②sin2/=sinIB,則N=+B=-.

2

③在三角手?jǐn)?shù)中，sinZ>sin6o/>6不成立。但在三曲形中，sin/>sin6o/>6成立

二、基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

一、判斷題

1.在“18C中，若/:8:C=1:2:3,則a:6:c=1:2:3.()

【答案】錯(cuò)誤

【分析】通過(guò)內(nèi)角和180。和三角的比例關(guān)系可求出三角，再結(jié)合正弦定理得到邊的比例關(guān)系

【詳解】解：在“8C中，/:8:C=1:2:3,由三角形內(nèi)角和為180。知力=30。，8=60。，C=90。，

由正弦定理得a:6:c=sin/:sin8:sinC=sin300:sin60°:sin90°=1:6:2,

故答案為：錯(cuò)誤

2.在A/8C中，a>bA>B<=>sinA>sinB.()

【答案】正確

【分析】利用三角形中大邊對(duì)大角和正弦定理判斷即可.

【詳解】當(dāng)a>b時(shí)，由大邊對(duì)大角，得4>B,

當(dāng)4>6時(shí)，由大角對(duì)大邊，得a>b,

所以由正弦定理得sin/>sin8,反之也成立，

所以在“8C中，a>h<^>A>B<=>sinA>sinB

故答案為：正確.

3.在中，若(a+c)("c)=b(6+c),則44=60"()

【答案】錯(cuò)誤

【分析】利用余弦定理可求得cosNN的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的大小.

【詳解】??,(a+c)("c)=b(b+c),貝=從+左，:.b2+c2-a2=-bc,

由余弦定理可得cos4=

2bc2

Q0"<ZA<180°>所以，4=120°.

故答案為：錯(cuò)誤.

4.在A/8C中，若則此三角形是銳角三角形；()

【答案】錯(cuò)誤

【分析】由余弦定理可判斷各自正誤.

,222

【詳解】在“8C中，若〃+/>/,只能說(shuō)明cos/=°+'一。>0,A是銳角，其他兩角是不是銳角不

2bc

確定，錯(cuò)誤；

二、單選題

5.在△ZBC中，4=],BC=6,AB=2巫,則。二()

兀c兀一兀一兀T3兀

A.-B.-C.一D.一或一

64344

【答案】B

【分析】利用正弦定理求得sinC,進(jìn)而求得C

【詳解】由正弦定理得號(hào)

sinJ

出廠

.62逐,TX276a

所以耳=/^MnC=F-=3由于所以0為銳角,所以

故選：B

6.在448c中，a,b,c分別是角4B,C的對(duì)邊，a=Rb=6,B=",那么4=()

37r7T3兀_也兀7T

A.—B.-C.一或一D.-

44443

【答案】B

【分析】利用正弦定理可求出sin4,再結(jié)合大邊對(duì)大角即可得解.

【詳解】因?yàn)閍=6,b=百,B=g

由正弦定理’)=—勺，可得sin,4-asin8_asm3-立，

smAsinBsma一人-百一1

又因?yàn)樗怨?<4<々，所以/=9.

34

故選：B.

TT

7.在J8C中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為a/,c,若。=3,6=4,4=§,則a=()

A.V13B.25/3C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算直接得出結(jié)果.

【詳解】由余弦定理可得/=/+，-2bccosZ=13,所以a=JTJ.

故選：A.

8.在A/BC中，a,b,c分別為內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊，若/-/=次。，sinC=26'sin8,則A等于()

5兀「2兀C兀c兀

A.—B.—C.一D.-

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理把sinC=26sin8化為c=2忌，再結(jié)合余弦定理求角即可

【詳解】：sinC=2A/isin5,，c=2Gb,結(jié)合/=/c即可求得〃=聞.

由余弦定理可得cos/=卓.又???/e(0,兀)，.?.4=￡.

2bc2x6x2/26

故選：D

三、填空題

9.在“8C中，=15)B=45,AB=-^6>貝!I4C=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意由正弦定理可得答案.

【詳解】C=180o-15°-45o=120°,

由正弦定理得名=/[,即&—=解得/C=2.

sinCsinBsin1200sin45°

故答案為：2

10.在“8C中，/8=2,。為的中點(diǎn)，若BC=DC=6,則/C的長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，在中利用余弦定理求解作答.

【詳解】在ABC。中，BC=DC=yfi，BD=；AB=1,由余弦定理得：

?BC2+BD2-CD22+1-20

COSD-----------------------=-----7=---=----9

2BC-BD2xV2xl4

在"8C中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=4+2-2x2x/2=4,解得NC=2,

4

所以NC的長(zhǎng)為2.

故答案為：2

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

1.（云南省文山州硯山縣第三高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題）銳角中，內(nèi)角

A,B,C（角A為銳角）所對(duì)的邊分別為6,c,若6=2asinB.

（1）求A的大??；

【答案】⑴/4

【分析】（1）由正弦定理可推得sin/=；,根據(jù)銳角三角形中角A的范圍求出結(jié)果.

【詳解】（1）解：由6=2asin8以及正弦定理可得，sin8=2sin/sin8.又sinBW0,所以sin4二1.

2

因?yàn)?</<?所以

26

2.（江蘇省南通市崇川區(qū)等5地2023屆高三下學(xué)期3月高考適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)試題）在△ZSC中，角

A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b=4,且6cosc+！。=a.

2

⑴求B；

【答案M嗚

【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；

【詳解】（1）方法一：,.，bcosC+；c=a,1.sin5cosc+gsinC=sirt4=sin（B+C）,

所以sin^cosC+—sinC=sin5cosc+cosBsinC,

2

所以;sinC=sinCcos5,*/Ce（0,7r）,.\sinC>0,.\cosB=g,

jr

???G（0,7l）,.\B=q.

方法二：在“8。中，由正弦定理得：sinBcosC+^-sinC=sinJ=sin（S+C）,

所以sin8cosc+；sinC=sin8cosC+cos8sinC,所以gsinC=cosfisinC.

1jr

因?yàn)镃e（0,7t）,所以sinCwO,所以cos8=],因?yàn)?e（O,兀）,5=§.

3.（江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題）記ABC的內(nèi)角4B,

C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6+缶cos8=2，c=JL

⑴求出

【答案】（1）：;

4

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求得〃+2-/=2b,再利用余弦定理求解作答.

22

【詳解】（1）在“8。中，由b+6acosB=2,c=6得:accosB=2-b,由余弦定理得/+c-h=2accosB,

即/+2-〃=4-26,整理得〃+2-/=26,由余弦定理得cosN=,

2bc

,b2+2-a22b&*，仆、

cosA=----i==—尸一二—9而Z￡（0,兀），

26b2型2

所以力二%

4

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

一、解答題

1.（陜西省榆林市神木中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試題）在“8C中，。、b、c分

別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，a=4\Q，b=6,cosA=--j.

⑴求c的值；

【答案】（l）c=2

【分析】（1）根據(jù)題意和余弦定理計(jì)算即可求解；

【詳解】（1）由余弦定理知/=〃+。2-⑦。（;。$/,即48=36+c2-2x6xcx（-g）,

整理得《2+4c-12=0,解得c=2或c=-6（舍負(fù)），故c=2.

2.（江西省金溪縣第一中學(xué)2023屆高三一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知在非鈍角“IBC中，角48,。

所對(duì)的邊分別為。也gc=〃[cos5+gsin8].

(1)求sirM；

【答案】（1）sirt4=

【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)c=a（cos8+gsin8）,可得cos/=；sin/1,結(jié)

合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案.

【詳解1(1)由c=cos8+；sinBj及正弦定理得sinC=sin(4+8)=sin/1cosB+gsin4

整理得cosZsinS=—sirt4sin5

2

因?yàn)?<B<—,sin^w0,所以cosZ=」sirL<，l-sin?Z,

2245

因?yàn)樵阡J角△48C中,0“45，sinj}o,所以sinJ=2^.

3.（山西省晉中市2023屆二模數(shù)學(xué)試題（B卷））△力BC的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中6=3五,

且滿足也￡bsxnB

sinA

（1）求△/8C的外接圓半徑；

【答案】⑴指

【分析】（1）根據(jù)正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解;

?、生初、/csinCbsinB

【詳解】（D=7-，=不不-。'

由正弦定理，得則不+c-C,即COS人

cn一b_3叵一工

因?yàn)?<8<兀，所以8=2，設(shè)AABC的外接圓半徑為R,由正弦定理知"”一金萬(wàn)"近一4°

2

所以AABC的外接圓半徑為幾.

4.（江蘇省如東一中、宿遷一中、徐州中學(xué)三校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在“8C中,

7

內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cosC=-,3>b=4a.

8

(1)求cosB的值;

【答案】（1）-；

【分析】（1）利用兩次余弦定理即可.

【詳解】（1）在“8C中，38=4〃

^h)2+b2-c2

a2+b2-c271

又因?yàn)閏osC=解得c=

2ab2x-b-b82

4

22-^2口+弓~D1

由余弦定理可得cosB=a+：cb=_4_備_=_

lac2，_4

42

5.（河南省開(kāi)封高級(jí)中學(xué)2022?2023學(xué)年高三下學(xué)期核心模擬卷（中）理科數(shù)學(xué)（四）試題）記的內(nèi)

角4,B,C的對(duì)邊分別為。也c,已知6公泊3-及05。=8054匕=指,6為bABC的重心.

⑴若”2,求。的長(zhǎng)；

【答案】（l）c=2土&

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換得siM=正，進(jìn)而得cos/="，再根據(jù)余弦定

33

理解方程即可得答案；

【詳解】（1）因?yàn)?acosC=ccosA，

所以，V3sirL4siii8-sinAcosC=sinCcosA,

所以，VJsin/sinB=sinJcosC+sinCcosA=sin（/+C）=sin8

因?yàn)?e（O,兀）,sinSwO,所以sin/l=￥，

因?yàn)閍=2<b=巫,所以.《。，彳）,cosA=^~，

因?yàn)閏os"=￡與二三=丘==*,整理得C2_4C+2=0,解得C=2士&，所以c=2土收

2bc246c3

6.（廣東省深圳市2023屆高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題）記A/8C的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

b+c=2asin^C+-^-J.

⑴求A；

【答案】（1）4=方

【分析】（1）由"c=2asin（c+t）可得小二戊^?…/由正弦定理及輔助公式得"力4度,即可

求得答案；

【詳解】（1）解：由己知得，b+c=VJasinC+t/cosC，

由正弦定理可得，sin8+sinC=QsinJsinC4-sinJcosC>

因?yàn)閆+8+C=7i,所以sin8=sin（4+C）=sin?lcosC+cos4sinC,

代入上式，整理得cosAsinC+sinC=#sin力sinC，

又因?yàn)镃e（0,7t）,sinC*O,所以6sin/-cosX=1,即

又因?yàn)榘耍?,兀），所以_/</"<^，所以八江3解得/=?

666663

7.（湖南省部分市2023屆高三下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知。6。的內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、

b、c,acos（5-C）=2VScsiiiS-a^cos^.

（1）求角A；

【答案】⑴。

【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到〃sinBsinC=V5csin氏os4,再由正弦定理將邊化角，即可求出tag,

從而得解；

【詳解】（1）解：因?yàn)閍cos（5-C）=bVJcsin5-，coJ,

可得acos（3-。）+acos4=20csinScoS,

貝（j“cos（5—C）一tzcos（B+C）=2y[3cs\nBcosA,

所以acosBcosC+asin8sinC-。（?os5cosC-sinSsinC）=2&sinScosZ,

即tzsin^sinC=VJcsin8cos4,由正弦定理得sin力sin^sinC=>/5sinCsin^cosZ，

顯然sinC>0,sinS>0,所以sin<=6cos力，所以tarM=\/J,因?yàn)槿恕辏?,兀），所以，=：.

8.（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題）的內(nèi)角4民。的對(duì)邊長(zhǎng)分別為。力,。，

、na+bsinC+sinB

設(shè)----=-----------

c-bsinJ

⑴求C;

（2）若（道+l）a+26=，求sin4.

【答案】⑴與

【分析】（1）利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理求解即可；

222

【詳解】（D根據(jù)題意，由正弦定理可得筆=2，^c=a+b+ab,

c-ba

所以根據(jù)余弦定理cosC=i+bi=」■及“BC中Ce（0,兀）可得C=歲.

lab23

9.（江蘇省南京市、鹽城市2023屆高三上學(xué)期期末調(diào)研反饋數(shù)學(xué)練習(xí)題）記》3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊

分別為a,b,c,已知sin4sin（C-3）+sin2C=sin8sin（4-C）.

(1)證明：a2+b2=3c2?

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

【分析】(D先利用兩角差的正弦公式展開(kāi)，再利用正弦定理，將所給的條件角化邊，最后利用余弦定理

即可證明；

【詳解】(1)由sin"sin(C-8)+sin2C=sin8sin(/-C)可得，

再由正弦定理可得，

accosB-abcosC+c2=ahcosC-hecosA,

即accosB-2abcosC+c2+hecos4=0,

根據(jù)余弦定理可知，

+c2-b2^-^a2+h2-c-^+c2+^(b2+c2-a2>j=0,

化簡(jiǎn)得：a2+b2=3c2,故原等式成立.

10.(遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題)記J8C的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分

別為a,b,c,已知.

在①bsin2/=4asiMcos2g；②si/B-sinZ=sia4sinC這兩個(gè)條件中任取一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并解

答下面問(wèn)題.

7T

(1)若C=§,求A；

注：如果選擇不同的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

兀

【答案】(1)4=與2

【分析】(1)若選擇①利用二倍角公式結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)即可；若選擇②利用正余弦定理即可.

【詳解】(1)若選擇①，

I..BAA.41+COSfi

由匕sin2Z=4QSIIL4COS—,得2bs\nAcosA=4QSIIL4X-------------

22

因?yàn)閟in/lwO,所以bcos/1=a(l+cos3),

由正弦定理得sin8cos4=sinA（1+cos8）,貝!|sin5coJ—sin4cos8=siM,即sin（5-y4）=sia4,

所以-/或…+公（舍）,則53又Cg所以—4號(hào),即3/號(hào),故，哼.

若選擇②,

由條件及正弦定理得"-標(biāo)=ac,

由余弦定理得人=〃2+/_2accQsB9所以ac=/-2accosB,則a=c-2acosB,

由正弦定理得siM=sinC-2siiL4cos5,所以sinJ=sin（4+8）-2siMcos8,

整理得siM=sin8cos4一sinZcosB=sin0—4）,所以8-4=4或8—4+4=兀（舍），貝（18=24.

又eg所以…=冶=等即3八條故"年

lb（廣東省江門(mén)市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在銳角“8C中'角4民°的對(duì)邊分別為且+'

工，」；依次組成等差數(shù)列.

S1114tanC

2

⑴求一的值;

be

【答案】⑴2

【分析】⑴根據(jù)熹‘焉,熹成等差數(shù)列結(jié)合三角恒等變換可得城/“同心由正弦定理即

可求得《的值;

211cosfi、cosC_sinCcosfi+cosCsinfisin（C+B）_sin4

【詳解】（1）由條件得:--------------1--------

sin4tanBtanCsinBsinCsiaBsinCsin^sinCsirtBsinC

所以sin%=2sinBsinC，

由正弦定理得：a2=2bc,所以［=2.

12.（福建省泉州市2023屆高三數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（三））在ANBC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,（a+c）sinN=sin/+sinC,c2+c=ft2-1.

⑴求治

【答案】（1）120。

【分析】（1）利用正弦定理，邊角互化，結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】（1）v（a+c）sin=sin+sinC,

.??（a+c）a=a+c,a=1,

且/+ac=a+c，

vc2+c=Z）2-1>

兩式相加得a?+。2+ac=a+〃,

，Q?+02+QC=/，即COS5=-J,

/.S=120°.

13.（2023年全國(guó)新高考仿真模擬卷（二）數(shù)學(xué)試題）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為c,8為

鈍角.若“8C的面積為S,且4bs=.伍2+02一/）.

TT

（1）證明：B=—+A；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用余弦定理及面積公式將條件變形得cosZ=sin8,再利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可證

明結(jié)論；

L22_2

【詳解】（1）由余弦定理85/=以上二二幺得2&＜：＜?4=/+'2-￡72,

2bc

7r

4bSCL.4bI.,.c//力l

，---=2bccosA=—x-acsinfin,cos4=sm8,cosJ=coslI,

???B為鈍角，則48-1均為銳角，.?.8—g=Z,即8=1+/；

222

14.（江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校等2校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知a,h,c

分別是“8C三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,“8C面積為S,且465=/+°2+2岳-°2.

⑴求4

【答案M嗚

【分析】（1）先將三角形面積公式代入4vls=/+02+2bc-a2，再將余弦定理代入，化簡(jiǎn)后利用輔助角公式即

可得出結(jié)果；

【詳解】（1）解:由題知4Gs=/+c2+2bc-42,

則有:4Vixg6csin/=b'+c2+2bc-a2（1）,

在A/8C中，由余弦定理可得：

2hccosA=h2+c2-a2,

代人①式可得：26bcsin4=2bccos4+2bc,

即sin4-cos4=19

由輔助角公式可得:sinj/_9]=:，所以=B+或/_g=￥+2標(biāo)火eZ,

ko/Z66o6

即4=區(qū)+2%?；?=兀+2^火€2,因?yàn)?€（0,兀）,所以4=色；

33

六、高考真題銜接

I/

一、解答題

1.（2022年高考天津卷（回憶版）數(shù)學(xué)真題）在“8C中，角4、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

a=>/6,h=2c,cosA=一?-.

4

⑴求c的值；

（2）求sin8的值；

【答案】⑴c=l

（2）sinB=-

4

【分析】（1）根據(jù)余弦定理/="+c2-2feccosN以及b=2c解方程組即可求出；

【詳解】（1）因?yàn)?=/+C?-2bccosA>即6=〃+/+；bc,而b=2c,代入得6=4<?+c2+c2>解得：c=l.

（2）由（1）可求出6=2,而0</<兀，所以sin4=Q^=嫗，又，=工,所以

4sinAsmB

.嫗L

.bsinZX4-^0.

ay/6

2乃

2.（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）在ABC中，c=2bcos8,C=——.

3

（1）求N8；

【答案】（1）f;（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.

【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；

【詳解】（1）c=2bcosB,則由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,

sin2S=siny=^,vC=y,28e（0,引，

：.2B=j解得B=?；

36

3.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）在』8c中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c.已知4a=底,cosC=1.

（1）求sinN的值；

【答案】（1）手；

【分析】（1）先由平方關(guān)系求出sinC