1.1.1 空間向量及其線性運算

1.1.1空間向量及其線性運算恩格斯：“數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學科”數(shù)量關(guān)系空間形式數(shù)形結(jié)合平面幾何（二維）立體幾何（三維）坐標法？平面向量引例：空間中，既有大小又有方向的量叫空間向量CompanyLogo新課講解：空間向量的概念平面向量定義表示方法大小表示兩個特殊的向量共線向量相等向量相反向量平面中，既有大小又有方向的量幾何表示法：有向線段字母表示法：模：零向量：長度為0的向量，記單位向量：模為1的向量方向相同且模相等的向量，記方向相同或相反的非零向量，規(guī)定與長度相等而方向相反的向量，記類比空間向量空間中，既有大小又有方向如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合例1：給出以下命題：（1）兩個空間向量相等，則它們的起點、終點相同；（2）若空間向量滿足，則；（3）在正方體中，必有；（4）若空間向量滿足，則；（5）空間中任意兩個單位向量必相等。其中不正確命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4C

變式：如圖所示，長方體中（1）寫出與向量相等的其余向量；（2）寫出與向量相反的向量。A1D1C1B1BACD探究2：如何定義空間兩個向量的加減運算？abab

OABb思考：空間任意兩個向量是否都可以平移到同一平面內(nèi)？

結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。新知講解1.空間向量的加減運算

由于任意兩個空間向量都能平移到同一平面，所以空間向量的加減運算與平面向量的加減運算相同.AoabBa空間向量的加減運算空間兩個向量加減運算的定義：加法平行四邊形法則加法三角形法則減法三角形法則1.加法：三角形法則，平行四邊形法則；2.減法：三角形法則.

1.空間向量的運算就是平面向量運算的推廣;2.兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立;3.空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量相加.對空間向量加減法的說明：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．探究3：空間向量運算的運算律

追問1：平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出空間線性運算的運算律嗎？追問2：空間向量線性運算運算律的證明，和平面向量有哪些異同？除空間向量加法的結(jié)合律以外，其他運算律都可以轉(zhuǎn)化為平面向量線性運算的運算律進行證明.結(jié)合律涉及三個向量，它們可能不在同一個平面內(nèi)探究3：空間向量運算的運算律

追問3：如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？如圖，可將空間中任意三個不共面的向量，通過平移使它們起點重合，分別平移表示這三個向量的線段，構(gòu)成一個平行六面體.我們借助這個平行六面體來證明加法的結(jié)合律.升華：如圖，在平行六面體

（底面是平行四邊形的四棱柱）中，分別標出

表示的向量．（1）從中你能體會向量加法運算的交換律和結(jié)合律嗎？（３）三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系？空間向量的加減運算（2）試用表示向量．結(jié)論：三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量——平行六面體法則?？臻g向量的數(shù)乘運算：

2.空間向量數(shù)乘運算的性質(zhì):（1）當時，與同向（2）當時，與反向1.定義：實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘（3）當時，3.空間向量數(shù)乘運算的運算律（3）數(shù)乘結(jié)合律：（1）數(shù)乘分配律1：（2）數(shù)乘分配律2：歸納反思

總結(jié)提升1.我們學到了知識：空間向量的概念、加減法運算、運算律學習過程中，我們按怎樣步驟研究？2.我們體會了思想方法：歸納類比、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化3.我們也留下了思考：（1）空間向量的實數(shù)乘運算、數(shù)量積運算是怎么定義的？（2）空間向量及運算能用空間坐標系表示嗎？（3）平面向量幫助我們解決平面幾何問題，那空間向量呢？作業(yè)布置AMCGDB

空間向量知識在中學有著非常重要的地位和教育價值，它的工具性特點在數(shù)學的許多分支中都有體現(xiàn)，它還為同學們以后的學習奠定了基礎(chǔ)，能夠解決高等師范院校數(shù)學專業(yè)的基礎(chǔ)課程《高等幾何》、《初等幾何研究》、《空間解析幾何》和《初等代數(shù)研究》中的許多問題，在解決的過程中空間向量的思想滲透的很廣泛！它不僅只在數(shù)學中解決幾何問題有廣泛的運用，在物理學，工程科學，地理學等方面也有著廣泛的應(yīng)用。

在中