直接證明與間接證明課件

2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法2.2.2

反證法

綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式.2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.其特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?1.綜合法:(順推證法或由因?qū)Ч?

則綜合法可用框圖表示如下：

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.…一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、例:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc證明:∵b2+c2≥2bc,a>0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b>0

∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.例:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2例題1

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形．分析將A，B，C成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是2B=A+C；A，B，C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，即A+B+C=180°；a，b，c成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是

此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來(lái)，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求.于是，可以用余弦定理進(jìn)行證明.例題1在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的證明：由A，B，C成等差數(shù)列，所以2B=A+C.①由A，B，C為△ＡＢC的內(nèi)角,所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°②③由a，b，c成等比數(shù)列，有④由①②，得①②，得由①②，得由余弦定理及③④，可得因此a=c.從而A=C.⑤所以△ＡＢC為等邊三角形.由②③⑤,得證明：由A，B，C成等差數(shù)列，所以2B=A+C.①由A，B，2.分析法(逆推證法或執(zhí)果索因法)從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知,定理,定義,公理等).特點(diǎn)：執(zhí)果索因我們也可以用框圖來(lái)表示分析法：得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論…2.分析法(逆推證法或執(zhí)果索因法)從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋分析法的適用范圍：

當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接證明需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.不等式：

(a>0,b>0)的證明.例1：分析法的適用范圍：當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直證明:要證只需證:只需證:只需證:因?yàn)?成立所以成立證明:要證證明：只需證只需證因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以要證例題2即證即證21<25.因?yàn)?1<25成立，所以成立.

在本例中，如果我們從“21<25”出發(fā)，逐步倒推回去，就是綜合法.但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難.反思證明：只需證只需證因?yàn)楹妥ⅲ悍醋C法是最常用的間接證法

一般地，假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法3.反證法(歸謬法)注：反證法是最常用的間接證法一般地，假設(shè)原命

1.反證法的步驟：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，即分三個(gè)步驟：反設(shè)—?dú)w謬—存真反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假定原命題的反面為真；存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立。歸謬——從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理,得出矛盾；1.反證法的步驟：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，反設(shè)（1）直接證明有困難正難則反!（3）唯一性命題（2）否定或肯定性命題（4）至多，至少型命題2.適宜用反證法證明的題型（1）直接證明有困難正難則反!（3）唯一性命題（2）否定或肯12例1：已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。證明：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x=b/a，```如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2

（x1≠x2)是方程的兩個(gè)根.所以a=0,這與已知矛盾例1：已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)例2:設(shè)0<a,b,c<1，求證:(1

a)b,(1

b)c,(1

c)a,不可能同時(shí)大于1/4則三式相乘:(1a)b?(1b)c?(1c)a>

又∵0<a,b,c<1∴同理：以上三式相乘:(1

a)a?(1