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4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):cos(α-β)=;(2)公式C(α+β):cos(α+β)=;(3)公式S(α-β):sin(α-β)=;(4)公式S(α+β):sin(α+β)=;(5)公式T(α-β):tan(α-β)=;(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.2.輔助角公式asinα+bcosα=,其中sinφ=eq\f(b,\r(a2+b2)),cosφ=eq\f(a,\r(a2+b2)).[常用結(jié)論]兩角和與差的公式的常用變形:(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ;(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),tanαtanβ=1-eq\f(tanα+tanβ,tan(α+β))=eq\f(tanα-tanβ,tan(α-β))-1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=.(2)公式C2α:cos2α===.(3)公式T2α:tan2α=.[常用結(jié)論]1.降冪公式:cos2α=eq\f(1+cos2α,2),sin2α=eq\f(1-cos2α,2),tan2α=eq\f(1-cos2α,1+cos2α).2.升冪公式:1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,1±sin2α=(sinα±cosα)2.4.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),(π,0),,(2π,0).(2)余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),0)),(2π,1).5.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR值域[-1,1]最小正周期π奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(3π,2)))無(wú)對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))對(duì)稱軸方程無(wú)[常用結(jié)論]1.對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z).(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).y=tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).典型例題分析考向一公式的基本應(yīng)用例1(1)若cosα=-eq\f(4,5),α是第三象限的角,則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=()A.eq\f(7\r(2),10) B.-eq\f(7\r(2),10)C.-eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),10)答案B解析∵α是第三象限角,∴sinα<0,且sinα=-eq\r(1-cos2α)=-eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,5)))\s\up12(2))=-eq\f(3,5),因此,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=sinαcoseq\f(π,4)+cosαsineq\f(π,4)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)=-eq\f(7\r(2),10).(2)已知sinα=eq\f(3,5),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),tan(π-β)=eq\f(1,2),則tan(α-β)的值為()A.-eq\f(2,11) B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2) D.-eq\f(11,2)答案A解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),∴cosα=-eq\f(4,5),tanα=-eq\f(3,4),又tan(π-β)=eq\f(1,2),∴tanβ=-eq\f(1,2),∴tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanα·tanβ)=eq\f(-\f(3,4)+\f(1,2),1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,4))))=-eq\f(2,11).感悟提升角和與差的三角函數(shù)公式,首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.2.使用公式求值,應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值,再代入公式求值.考向二給值求值例2(1)(2023·淄博模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),0)),且eq\r(2)cos2α=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4))),則sin2α=()A.-eq\f(3,4) B.eq\f(3,4)C.-1 答案C解析∵eq\r(2)cos2α=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(\r(2),2)(sinα+cosα),∴cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=eq\f(1,2)(cosα+sinα),∴(cosα+sinα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα-sinα-\f(1,2)))=0,∴cosα+sinα=0或cosα-sinα=eq\f(1,2),由cosα+sinα=0平方可得1+sin2α=0,即sin2α=-1,由cosα-sinα=eq\f(1,2)平方可得1-sin2α=eq\f(1,4),即sin2α=eq\f(3,4),因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),0)),所以2α∈(-π,0),sin2α<0,綜上,sin2α=-1.(2)(2021·全國(guó)甲卷)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),tan2α=eq\f(cosα,2-sinα),則tanα=()A.eq\f(\r(15),15) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(15),3)答案A解析因?yàn)閠an2α=eq\f(sin2α,cos2α)=eq\f(2sinαcosα,1-2sin2α),且tan2α=eq\f(cosα,2-sinα),所以eq\f(2sinαcosα,1-2sin2α)=eq\f(cosα,2-sinα),解得sinα=eq\f(1,4).因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),所以cosα=eq\f(\r(15),4),tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(\r(15),15).感悟提升給值求值問(wèn)題,要注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系,有兩個(gè)觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn),使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系.基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1.已知x∈[0,2π],如果y=cosx是增函數(shù),且y=sinx是減函數(shù),那么(
)A. B.C. D.2.下列四個(gè)函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(
)A. B.y=tanxC.y=lnx D.y=x|x|3.已知函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式最可能是(
)A.y=xcosx B.y=sinx-x2 C. D.y=sinx+x4.如果函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為,則的值為()A.3 B.6 C.12 D.245.在下面給出的函數(shù)中,哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以為周期的偶函數(shù)(
)A. B.C. D.6.已知函數(shù),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱二、多選題7.若函數(shù)的最小正周期為,則的值可能是(
)A.2 B. C. D.-28.關(guān)于函數(shù),下列結(jié)論正確的是(
)A.該函數(shù)的其中一個(gè)周期為B.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象D.該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減三、填空題9.函數(shù)的最小正周期為,則______.10.函數(shù)的最小正周期是,則______.11.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_____.12.函數(shù)的局部圖象如圖所示,則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_______.四、解答題13.求下列函數(shù)的最小正周期.(1)f(x)=cos;(2)y=4sin(a≠0).14.利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù),的簡(jiǎn)圖.15.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為,其圖象距離該零點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸為.(1)求函數(shù)的解析式及函數(shù)的對(duì)稱中心;(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.16.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)當(dāng)時(shí),求的最值.提升題型訓(xùn)練一、單選題1.下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是(
)A. B.C. D.2.函數(shù)的圖象大致是(
)A. B.C. D.3.如圖是函數(shù)的部分圖像,則(
).A. B.C. D.4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰好有條對(duì)稱軸,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+α)在x=時(shí)有極大值,且f(x-β)為奇函數(shù),則α,β的一組可能值依次為()A. B.C. D.6.函數(shù)的部分圖象大致是(
)A. B.C. D.二、多選題7.已知函數(shù)的最小正周期為π,則(
)A.B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.直線是圖象的一條對(duì)稱軸8.設(shè),函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),則的值可以是(
)A. B. C. D.三、填空題9.為偶函數(shù),則___________.(寫(xiě)出一個(gè)值即可)10.設(shè)點(diǎn)是的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心,若到圖像的對(duì)稱軸的距離的
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