微分方程穩(wěn)定性

微分方程穩(wěn)定性理論1.一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性自治方程：方程右端不顯含自變量。例平衡點(diǎn)：方程右端函數(shù)的實(shí)根，或稱為奇點(diǎn)，它也是自治方程的解。若存在某鄰域，使得自治方程的解x（t）從這個(gè)鄰域內(nèi)的某x(0)出發(fā)滿足則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；否則稱為不穩(wěn)定的。穩(wěn)定點(diǎn)的判斷方法：直接法和間接法。間接法：定義例7

本章第2節(jié)中的Logistic模型

共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。

特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面?？臻gRn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。直接法：考慮近似線性方程則也是上述方程的平衡點(diǎn)。且關(guān)于穩(wěn)定性有如下結(jié)論：若,則對于方程（1）和（4）都是穩(wěn)定的。若,則對于方程（1）和（4）都是不穩(wěn)定的。Note:方程（4）的解為2.二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性考慮方程組的解：為自治方程（6）的平衡點(diǎn)，記作：。穩(wěn)定性定義同一階方程。下先用直接法討論線性方程組：記系數(shù)矩陣為方程（9）的惟一平衡點(diǎn)為,假定A的行列式不為零，則的穩(wěn)定性由（9）的特征方程的特征根λ決定，進(jìn)一步可將特征方程寫為：

將特征根記為則于是方程（9）的解為結(jié)論：1.不可能為零。2.當(dāng)為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部時(shí)穩(wěn)定。3.當(dāng)有一個(gè)為正數(shù)或有正實(shí)部時(shí)不穩(wěn)定。p,q平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性1<2<0p>0,q>0,p^2>4q穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定1>2>0p<0,q>0,p^2>4q不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定1<0<2q<0

鞍點(diǎn)不穩(wěn)定1=2<0p>0,q>0,p^2=4q穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定1=2>0p<0,q>0,p^2=4q不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定1,2=a±bi,a<0p>0,q>0,p^2<4q穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定1,2=a±bi,a>0p<0,q>0,p^2<4q不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定1,2=a±bi,a=0p=0,q>0中心不穩(wěn)定由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則：1.若則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；若則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。對于一般的方程（6），將f,g在處作Taylor展開，得近似方程：系數(shù)矩陣為特征方程系數(shù)為

的穩(wěn)定性由上表或準(zhǔn)則給出。結(jié)論：若方程（17）的特征根不為零或者實(shí)部不為零，則方程（6）的穩(wěn)定性與方程（17）的穩(wěn)定型相同，由準(zhǔn)則判定。Note:1.平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的概念只對自治方程有意義。2.在非臨界狀態(tài)下（a,p