兩個(gè)向量組等價(jià)課件

第11講向量組的極大無關(guān)組

主要內(nèi)容：1.兩個(gè)向量組等價(jià)2.向量組的極大無關(guān)組第11講向量組的極大無關(guān)組主要內(nèi)容：13.3向量組的極大無關(guān)組

3.3.1兩個(gè)向量組等價(jià)Def3.7設(shè)A和B是兩個(gè)向量組，若向量組B中的每個(gè)向量可由向量組A線性表示，則稱向量組B可由向量組A線性表示(BlinearlyexpressedbyA).若向量組A與向量組B可相互表示，則稱向量組A與向量組B等價(jià)(equivalentVectorsets).3.3向量組的極大無關(guān)組3.3.1兩個(gè)向量組等價(jià)2設(shè)向量組A:

1,

2,…,

m,向量組B:

1,

2,…,

n.若向量組B可由向量組A線性表示，則下列每個(gè)線性方程組都有解，利用上面的等式對(A,B)進(jìn)行矩陣的初等列變換可以將其化成(A,O)，進(jìn)而有R(A)=R(A,B).反過來,若R(A)=R(A,B),則向量組B可由向量組A線性表示.Theorem3.2向量組B可由向量組A線性表示的充要條件是R(A)=R(A,B).

設(shè)向量組A:1,2,…,m,向量組B:13對于矩陣方程AX=B，例如它有解的充要條件就是向量組B可由向量組A線性表示，即R(A)=R(A,B).該結(jié)論推廣了第1章定理1.1:

Ax=b有解的充要條件是R(A)=R(A,b).對于矩陣方程AX=B，例如4根據(jù)上述定理知，向量組A可由向量組B線性表示的充要條件是R(A)=R(B,A).=R(A,B).于是有Corollary1向量組A與向量組B等價(jià)的充要條件是R(A)=R(B)=R(A,B).若R(B)=R(A,B),因?yàn)镽(A)≤R(A,B),所以有Corollary2若向量組A可由向量組B線性表示，則R(A)≤R(B).根據(jù)上述定理知，向量組A可由向量組B線性表示的充要條件是R(5例3.9設(shè)向量組A證明：向量組B可由向量組A線性表示.例3.9設(shè)向量組A6ProofR(A)=R(A,B)=2.Proof7因?yàn)槎ɡ?.2的結(jié)論不容易記住，主要是R(A)=R(A,B)和R(B)=R(A,B)容易混淆.可直接根據(jù)定義驗(yàn)證向量組B的三個(gè)向量是否可由向量組A線性表示.例3.10下列兩個(gè)向量組等價(jià):因?yàn)槎ɡ?.2的結(jié)論不容易記住，主要是R(A)=R(A,8Proof顯然向量組i,j,k可由向量組R3線性表示.R2?Proof9對于下列向量組A和B,由于

3=-2

1+

2,所以向量組A與向量組B等價(jià).線性方程組對于下列向量組A和B,由于3=-21+2,所10的增廣矩陣的三個(gè)行向量分別為

1,

2,

3

.由于將第1個(gè)方程兩邊乘以-2加到第2個(gè)方程，就得到第3個(gè)方程，即

3=-2

1+

2,因此上述線性方程組與線性方程組同解.所以，兩個(gè)線性方程組同解又稱為這兩個(gè)線性方程組等價(jià)，是指增廣矩陣的行向量組等價(jià)，這也是考慮向量組等價(jià)的一個(gè)原因.的增廣矩陣的三個(gè)行向量分別為1,2,3.由于將11向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有以下3條性質(zhì)，其證明是顯然的.(1)自反性任意向量組A與A本身等價(jià).(2)對稱性若向量組A與向量組B等價(jià)，則向量組B與向量組A等價(jià).(3)傳遞性若向量組A與向量組B等價(jià)且向量組B與向量組C等價(jià)，則向量組A與向量組C等價(jià).向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有以下3條性質(zhì)，其證明是顯然的.123.3.2向量組的極大無關(guān)組1.向量組的極大無關(guān)組的定義在一個(gè)向量組中，總希望在其中找出一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)最多的線性無關(guān)的向量組.例如在向量組3.3.2向量組的極大無關(guān)組13Def3.8給定向量組A，若存在部分組B，滿足(1)向量組B線性無關(guān).(2)任意真包含B的部分組均線性相關(guān).則稱B是A的極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組(maximalsubsetwithlinearindependence).只有零向量的向量組不存在極大無關(guān)組.換句話說，含有非零向量的向量組均存在極大無關(guān)組.Def3.8給定向量組A，若存在部分組B，滿足14下述定理在進(jìn)一步的討論中至關(guān)重要.Theorem3.3設(shè)向量組

1,

2,…,

n線性無關(guān)，向量組

1,

2,…,

n,

線性相關(guān)，則

可由向量組

1,

2,…,

n線性表示且表示形式是唯一的.Proof由于向量組

1,

2,…,

n,

線性相關(guān),則存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,…,kn,k,使得

k=0?下述定理在進(jìn)一步的討論中至關(guān)重要.15

k

0:假設(shè)k0:16例3.11設(shè)向量組

1,

2,

3線性相關(guān)，向量組

2,

3,

4線性無關(guān)，證明(1)

1可由

2,

3線性表示.(2)

4不能由

1,

2,

3線性表示.Proof(1)由于向量組

2,

3,

4線性無關(guān),于是

2,

3線性無關(guān).又因?yàn)?/p>

1,

2,

3線性相關(guān)，根據(jù)定理3.2知，

1可由

2,

3線性表示.(2)(反證法)如果

4能由

1,

2,

3線性表示,再根據(jù)(1)得

4能由

2,

3線性表示.根據(jù)定理3.1知，

2,

3,

4線性相關(guān).C!例3.11設(shè)向量組1,2,3線性相關(guān)，向量組217向量組與其極大無關(guān)組是等價(jià)的.由于向量組之間的等價(jià)關(guān)系滿足自反性、對稱性和傳遞性，根據(jù)定理3.4知，等價(jià)向量組A和B的極大無關(guān)組也是等價(jià)的.特別地，同一個(gè)向量組A的兩個(gè)極大無關(guān)組也是等價(jià)的.向量組與其極大無關(guān)組是等價(jià)的.182.向量組的秩下面將證明等價(jià)向量組的極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同，先證明Theorem3.4設(shè)向量組

1,

2,…,

r線性無關(guān)且可由向量組

1,

2,…,

s線性表示，則r≤s.Proof假設(shè)r>s.根據(jù)已知條件有2.向量組的秩19若k1

1+k2

2+…+kr

r=0.r>s:有非零解,C!

若k11+k22+…+krr=0.20Corollary1若向量組

1,

2,…,

r可由向量組

1,

2,…,

s線性表示，且r>s,則

1,

2,…,

r必線性相關(guān).Corollary2等價(jià)向量組的極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同.Proof設(shè)向量組A和B等價(jià),

1,

2,…,

r和

1,

2,…,

s分別是A和B的極大無關(guān)組，則

1,

2,…,

r和

1,

2,…,

s等價(jià).

Corollary1若向量組1,2,…,r可由21例3.12證明：任意m+1個(gè)m維向量必線性相關(guān).Proof

由于m個(gè)m維標(biāo)準(zhǔn)單位向量線性無關(guān):任意m+1個(gè)m維向量構(gòu)成的向量組

1,

2,…,

m,

m+1可由它們線性表示，故之.例3.12證明：任意m+1個(gè)m維向量必線性相關(guān).22根據(jù)推論2知，向量組A的兩個(gè)極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)是相同的.正因?yàn)檫@樣，將向量組A的極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)稱為向量組A的秩(rankofthevectorsetA).只有零向量的向量組不存在極大無關(guān)組，其所含向量個(gè)數(shù)為0，這時(shí)它的秩為0.顯然，任意兩個(gè)等價(jià)的向量組有相同的秩.下面證明根據(jù)推論2知，向量組A的兩個(gè)極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)是相同的23Theorem3.6向量組A的秩等于由它們作為列向量所構(gòu)成的矩陣A的秩.Proof設(shè)矩陣A的秩為r，則矩陣A存在一個(gè)不為0的r階子式.因?yàn)槠渌诘膔個(gè)列構(gòu)成的矩陣(

1,

2,…,

r)的秩亦為r，根據(jù)命題3.2知線性無關(guān).任取包含

1,

2,…,

r,

的r+1個(gè)向量，由于矩陣的秩為r，由命題3.1知它們線性相關(guān)，因此

1,

2,…,

r是向量組A的極大無關(guān)組，故向量組A的秩為r.Theorem3.6向量組A的秩等于由它們作為列向量所構(gòu)24Corollary設(shè)向量組A的秩為r，若A存在r個(gè)線性無關(guān)的向量

1,

2,…,

r,則

1,

2,…,

r是A的極大無關(guān)組.Proof任取

A,因?yàn)?/p>

1,

2,…,

r,

的的秩為r，所以

1,

2,…,

r,

線性相關(guān),進(jìn)而

1,

2,…,

r是A的極大無關(guān)組.

Corollary設(shè)向量組A的秩為r，若A存在r個(gè)線性無關(guān)253.向量組的極大無關(guān)組的計(jì)算下面結(jié)合例子給出利用矩陣的初等行變換求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組的方法.例3.13求下列向量組的極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示出來.3.向量組的極大無關(guān)組的計(jì)算26分析將所給向量組中的向量作為列向量構(gòu)成矩陣假定存在一組常數(shù)使得k1,k2,k3,k4,k5使得k1

1+k2

2+k3

3+k4

4+k5

5=0:

分析將所給向量組中的向量作為列向量構(gòu)成矩陣27對A實(shí)施矩陣的初等行變換相當(dāng)于對向量組

1,

2,

3,

4,

5相應(yīng)的分量作變換，于是得到的列向量組

1,

2,

3,

4,

5滿足k1

1+k2

2+k3

3+k4

4+k5

5=0.關(guān)鍵是其中的k1,k2,k3,k4,k5是保持不變的.例如，交換矩陣A的第1行和第2行，下等式仍成立兩個(gè)向量組等價(jià)ppt課件28實(shí)施矩陣的另外兩種初等行變換仍然如此.于是，若

1,

2,

3,

4,

5線性相關(guān)