《平行線中三角尺綜合運用》專題練習：重點題型（解析版）

《平行線中三角尺綜合運用》專題練習：重點題型（解析版）《平行線中三角尺綜合運用》專題練習：重點題型（解析版）PAGEPAGE1《平行線中三角尺綜合運用》專題練習：重點題型（解析版）專題05平行線中三角尺綜合運用真題再現(xiàn)真題再現(xiàn)1．(2022秋?天山區(qū)校級期末)把一塊直尺與一塊三角板如圖放置,若∠1＝38°,則∠2的度數(shù)是()A．128°B．138°C．142°D．152°【答案】A【解答】解：∵∠1＝38°,∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣38°＝52°,∵直尺的兩邊互相平行,∴∠3＝∠4＝52°∴∠2＝180°﹣52°＝128°,故選：A．2．(2022秋?和平區(qū)校級期末)將直尺和三角板按如圖所示的位置放置．若∠1＝40°,則∠2度數(shù)是()A．60°B．40°C．80°D．70°【答案】C【解答】解：如圖,根據(jù)題意可知∠A為直角,直尺的兩條邊平行,∵a∥b,∴∠1＝∠CDA＝40°,∵∠B＝30°,∴∠CDA＝∠B+∠BAD,∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝10°,∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣10°＝80°,故選：C．3．(2022秋?通川區(qū)期末)已知直線m∥n,將一塊含30°角的直角三角板ABC,按如圖所示方式放置,其中A、B兩點分別落在直線m、n上,若∠1＝35°,則∠2的度數(shù)是()A．45°B．35°C．30°D．25°【答案】D【解答】解：∵m∥n∴∠3＝∠1＝35°,∵∠2+∠3＝60°,∴∠2＝60°﹣35°＝25°．故選：D．4．(2022秋?長清區(qū)期末)如圖,直角三角板的直角頂點放在直線b上,且a∥b,∠1＝55°,則∠2的度數(shù)為()A．35°B．45°C．55°D．25°【答案】A【解答】解：∵a∥b,∠1＝55°,∴∠3＝∠1＝55°,∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故選：A．5．(2022秋?丹東期末)若將一副三角板按如圖所示的方式放置,則下列結(jié)論正確的是()A．∠1＝∠2B．如果∠2＝30°,則有AC∥DEC．如果∠2＝45°,則有∠4＝∠DD．如果∠2＝50°,則有BC∥AE【答案】B【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°,∴∠1＝∠3,故A錯誤．∵∠2＝30°,∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°,∴∠E+∠CAE＝180°,∴AC∥DE,故B正確,∵∠2＝45°,∴∠1＝∠2＝∠3＝45°,∵∠E+∠3＝∠B+∠4,∴∠4＝30°,∵∠D＝60°,∴∠4≠∠D,故C錯誤,∵∠2＝50°,∴∠3＝40°,∴∠B≠∠3,∴BC不平行AE,故D錯誤．故選：B．6．(2022?定遠縣模擬)將一副三角板按如圖所示放置,則下列結(jié)論：①∠1＝∠3;②如果∠2＝30°,則有AC∥DE;③如果∠2＝30°,則有BC∥AD;④如果∠2＝30°,必有∠4＝∠C．其中正確的有()A．①③B．①②④C．③④D．①②③④【答案】B【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°,∴∠1＝∠CAB﹣∠2,∠3＝∠EAD﹣∠2,∴∠1＝∠3．∴①符合題意．∵∠2＝30°,∴∠1＝90°﹣30°＝60°,∵∠E＝60°,∴∠1＝∠E,∴AC∥DE．∴②符合題意．∵∠2＝30°,∴∠3＝90°﹣30°＝60°,∵∠B＝45°,∴BC不平行于AD．∴③不符合題意．由②得AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④符合題意．故選：B．7．(2022春?秦淮區(qū)校級月考)已知直線a∥b,將一塊含30°角的直角三角板(∠BAC＝30°,∠ACB＝90°)按如圖所示的方式放置,并且頂點A,C分別落在直線a,b上,若∠1＝22°．則∠2的度數(shù)是()A．38°B．45°C．52°D．58°【答案】C【解答】解：如圖：∵∠1＝22°,∠BAC＝30°,∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°,∵直線a∥b,∴∠2＝∠DAC＝52°,故選：C．8．(2022春?龍崗區(qū)校級期中)一副直角三角板如圖放置(∠F＝∠ACB＝90°,∠E＝45°,∠A＝60°),如果點C在FD的延長線上,點B在DE上,且AB∥CF,則∠DBC的度數(shù)為()A．10°B．15°C．18°D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CF,∴∠ABD＝∠EDF＝45°,∵∠ABC＝30°,∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°,故選：B．9．(2022春?寧陽縣期末)將含30°角的一個直角三角板和一把直尺如圖放置,若∠1＝50°,則∠2等于()A．80°B．100°C．110°D．120°【答案】C【解答】解：如圖所示,由題意得∠E＝90°﹣30°＝60°,∵AB∥CD∴∠ABE＝∠1＝50°,又∵∠2是△ABE的外角,∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°,故選：C．10．(2022春?羅莊區(qū)期末)將直角三角板按照如圖方式擺放,直線a∥b,∠1＝136°,則∠2的度數(shù)為()A．44°B．45°C．46°D．56°【答案】C【解答】解：延長AB交直線b于點M,如圖,由題意得：∠CBM＝90°,∵a∥b,∠1＝136°,∴∠AMD＝∠1＝136°,∵∠AMD是△BCM的外角,∴∠AMD＝∠2+∠CBM,∴∠2＝∠AMD﹣∠CBM＝46°．故選：C．11．(2022春?鹽田區(qū)校級期中)如圖,m∥n∥l,一塊三角板按圖所示擺放,則下列結(jié)論正確的有()①∠1+∠2＝90°;②∠3+∠4＝∠5;③∠5+∠6?∠1＝90°;④∠5+∠6＝∠2+2∠4．A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】D【解答】解：如圖,由題意可知：∠3＝30°,∠6＝60°,∠4+∠7＝90°,∵m∥n,∴∠1＝∠4,∵l∥n,∴∠2＝∠7,∵∠4+∠7＝90°,∴∠1+∠2＝90°,故①正確;∵l∥n,∴∠5＝∠8,∵∠8＝∠3+∠4,∴∠5＝∠3+∠4,故②正確;∵∠1+∠2＝90°,∠5+∠6＝180°﹣∠2,∴∠5+∠6﹣∠1＝90°,故③正確;∵∠2＝∠7,∠4+∠7＝90°,∴∠2+∠4＝90°,∴2(∠2+∠4)＝180°,∵∠5+∠6＝180°﹣∠2,∴∠5+∠6＝2(∠2+∠4)﹣∠2,即∠5+∠6＝∠2+2∠4,故④正確．所以正確的結(jié)論有：①②③④．故選：D．12．(2022春?蜀山區(qū)期末)將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起,若AC∥DE,則∠BCE的度數(shù)為()A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】C【解答】解：∵AC∥DE,∴∠ACD＝∠D＝30°,∵∠ACB＝45°,∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°,∴∠BCE＝∠DCE﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°,即C選項正確,故選：C．13．(2022?深圳)一副三角板如圖所示放置,斜邊平行,則∠1的度數(shù)為()A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】C【解答】解：如圖,∠ACB＝45°,∠F＝30°,∵BC∥EF,∴∠DCB＝∠F＝30°,∴∠1＝45°﹣30°＝15°,故選：C．14．(2022春?玄武區(qū)期末)將兩個形狀相同,大小不同的三角板按如圖所示方式放置,C是公共頂點,且∠ACB＝∠A'CB'＝90°,∠B＝∠B'＝60°．對于下列三個結(jié)論,其中正確的結(jié)論有()①∠1+∠ACB'＝180°;②∠B'DA﹣∠1＝90°;③如果∠1＝30°,那么AB∥CB'．A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】D【解答】解：如圖,延長AC到點F,根據(jù)鄰補角的定義得：∠FCB′+∠ACB'＝108°．根據(jù)同角的余角相等得：∠FCB＝∠1,所以有∠1+∠ACB'＝180°,故①正確．由”8”字形可得：∠A′DA+∠A′＝∠A+∠A′CA,∴180°﹣∠B'DA+30°＝90°﹣∠1+30°,∴∠B'DA﹣∠1＝90°,故②正確．如果∠1＝30°,則∠BCB′＝60°＝∠B．∴AB∥CB'．故③正確．故選：D．15．(2022?南召縣模擬)將一塊含30°角的直角三角板和一把直尺按如圖所示的方式擺放,若∠2＝40°,則∠1的度數(shù)為()A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】A【解答】解：如圖,∵AC∥OB,∠2＝40°,∴∠AOB＝∠2＝40°,又∠AOC＝30°,∴∠1＝∠AOB﹣∠AOC＝40°﹣30°＝10°．故選：A．16．(2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末)同學們以”一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)學活動,提出了很多數(shù)學問題,請你解答：(1)如圖1,∠α和∠β具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;(2)如圖2,∠DFC的平分線與∠EGC的平分線相交于點Q,求∠FQG的大?。窘獯稹拷猓?1)如圖1,延長AM交EG于M．∠β+∠α＝90°,理由如下：由題意知：DF∥EG,∠ACB＝90°．∴∠α＝∠GMC,∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．∵∠EGB和∠CGM是對頂角,∴∠β＝∠CGM．∴∠β+∠α＝90°．(2)如圖2,延長AC交EG于N．由題意知：DF∥EN,∠ACB＝90°．∴∠1＝∠GNC,∠CGN+∠GNC＝90°．∴∠1+∠CGN＝90°．∵QF平分∠DFC,∴∠QFC＝∠DFC＝(180°﹣∠1)＝90°﹣∠1,∠GQC＝90°﹣∠CGN同理可得：∠GQC＝90°﹣∠CGN,∵四邊形QFCG的內(nèi)角和等于360°．∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣(90°﹣∠1)﹣(90°﹣∠CGN)﹣90°．∴∠FQG＝135°．17．(2022秋?渝中區(qū)校級期末)已知,AB∥CD,直線FE交AB于點E,交CD于點F,點M在線段EF上,過M作射線MR、MP分別交射線AB、CD于點N、Q．(1)如圖1,當MR⊥MP時,求∠MNB+∠MQD的度數(shù);(2)如圖2,若∠DQP和∠MNB的角平分線交于點G,求∠NMQ和∠NGQ的數(shù)量關(guān)系;(3)如圖3,當MR⊥MP,且∠EFD＝60°,∠EMR＝20°時,作∠MNB的角平分線NG．把一三角板OKI的直角頂點O置于點M處,兩直角邊分別與MR和MP重合,將其繞點O點順時針旋轉(zhuǎn),速度為5°每秒,當OI落在MF上時,三角板改為以相同速度逆時針旋轉(zhuǎn)．三角板開始運動的同時∠BNG繞點N以3°每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)中的∠BNG為∠B'NG',當NG'和NA重合時,整個運動停止．設(shè)運動時間為t秒,當∠B'NG'的一邊和三角板的一直角邊互相平行時,請直接寫出t的值．【解答】解：(1)過點M作MH∥AB,如圖：∴∠BMN+∠NMH＝180°,∵AB∥CD,∴MH∥CD,∴∠HMQ+∠MQD＝180°,∴∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQD＝360°,∵MR⊥MP,∴∠NMQ＝90°,∴∠MNB+∠MQD＝270°;(2)過點M作MH∥AB,過點G作GL∥AB,如圖：設(shè)∠BNG＝x,則∠BNM＝2x,∵MH∥AB,∴∠NMH＝180°﹣2x,設(shè)∠DQG＝y(tǒng),則∠DQP＝2y,∵AB∥CD,∴GL∥CD,∴∠QGL＝x,∴∠NGQ＝∠NGL﹣∠QGL＝x﹣y,∠HMQ＝∠DQP＝2y,∴∠NMQ＝∠NMH+∠HMQ＝180°﹣2x+2y＝180°﹣2(x﹣y),∴∠NMQ＝180°﹣2∠NGQ;(3)①若OI∥NG',則∠ION+∠ONG'＝180°,OI到達MF前,如圖,∵∠ION＝5°t+90°,∠ONG'＝∠ONG﹣∠GNG'＝140°﹣70°﹣3°t,∴5°t+90°+(140°﹣70°﹣3°t)＝180°,解得t＝10;OI返回時,如圖：∵∠ION＝∠FON﹣∠FOI＝160°﹣5°(t﹣14),∠ONG'＝140°﹣70°﹣3°t,∴160°﹣5°(t﹣14)+(140°﹣70°﹣3°t)＝180°,解得t＝15;②當OI∥NB'時,如圖：∵∠ION+∠ONB'＝180°,∴160°﹣5°(t﹣14)+140°﹣3°t＝180°,解得t＝;③當OK∥NG'時,如圖：同理可得160°﹣90°﹣5°(t﹣14)＝3°t﹣70°,解得：;④當OK∥NB'時,如圖：∴140°﹣3°t＝90°﹣[160°﹣5°(t﹣14)],解得t＝35,綜上所述,t的值為10或15或或或35．18．(2020秋?景德鎮(zhèn)期末)含30度角的直角三角板和直尺按如圖所示方式放置,直尺與三角板的外圍邊緣分別交于A,B,C,D四點．(1)若∠3＝95°,試求∠2的大?。?2)∠1與∠2的和是否的定值,若為定值,請求出該定值;若不為定值,請說明理由．【解答】解：(1)根據(jù)三角板形狀可知,∠E＝30°,∠F＝60°,∵AD∥BC,∴∠4＝∠3＝95°,∴∠5＝∠4＝95°,∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠F＝25°．(2)∠1與∠2的和是定值．∵∠3為△ADE的外角,∴∠3＝∠E+∠1,∴∠1＝∠3﹣∠E＝∠3﹣30°,∵∠5＝∠4＝∠3,∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠F＝180°﹣∠3﹣60°＝120°﹣∠3,∴∠1+∠2＝∠3﹣30°+120°﹣∠3＝90°．19．(2022春?順德區(qū)校級月考)如圖1,把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．(1)填空：∠1＝°,∠2＝°(2)如圖2,現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)n°,當0＜n＜90,且點C恰好落在DG邊上時,①請直接寫出∠1＝°,∠2＝°(結(jié)果用含n的代數(shù)式表示);②若∠2恰好是∠1的倍,求n的值．(3)如圖1三角板ABC的放置,現(xiàn)將射線BF繞點B以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線BM,同時射線QA繞點Q以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線QN,當射線QN旋轉(zhuǎn)至與QB重合時,則射線BM、QN均停止轉(zhuǎn)動,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t(s)．①在旋轉(zhuǎn)過程中,若射線BM與射線QN相交,設(shè)交點為P．當t＝20(s)時,則∠QPB＝°②在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在BM∥QN．若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由．【解答】解：(1)∠1＝180°﹣60°＝120°,∠2＝90°;故答案為：120,90;(2)①如圖2,∵DG∥EF,∴∠DCB＝∠CBF＝n°,∴∠ACD＝90°﹣n°,∴∠1＝∠A+∠ACD＝(120﹣n)°,∵DG∥EF,∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°,∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°,∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣(180°﹣n°)＝(90+n)°;故答案為：(120﹣n),(90+n);②當∠2＝∠1時,90+n＝(120﹣n),解得n＝30,∴n的值是30;(3)①如圖：根據(jù)題意得：∠FBP＝20×2°＝40°,∠AQP＝20×3°＝60°,∴∠AQP＝∠ABC,∴PQ∥BC,∴∠QPB＝∠FBP＝40°;故答案為：40;②存在BM∥QN,理由如下：如圖：∵QN∥BM,∴∠AQN＝∠ABM,∴3°t＝60°﹣2°t,解得t＝12,∴t的值為12．20．(2022?南譙區(qū)校級開學)如圖,將一副直角三角板放在同一條直線AB上,其中∠ONM＝30°,∠OCD＝45°．(1)將圖①中的三角板OMN沿BA方向平移至圖②的位置,MN與CD相交于點E,求∠CEN的度數(shù);(2)將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使∠BON＝30°,如圖③,MN與CD相交于點E,求∠CEN的度數(shù);(3)將圖①中的三角尺COD繞點O按每秒15°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)過程中,在第幾秒時,MN恰好與CD平行;第幾秒時,MN恰好與直線CD垂直．【解答】解：(1)在△CEN中,∠CEN＝180°﹣∠DCN﹣∠MNO＝180°﹣45°﹣30°＝105°;(2)∵∠BON＝∠N＝30°,∴MN∥CB,∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°;(3)如圖1,CD在AB上方時,設(shè)OM與CD相交于F,∵CD∥MN,∴∠OFD＝∠M＝60°,在△ODF中,∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD＝180°﹣45°﹣60°＝75°,∴旋轉(zhuǎn)角為75°,t＝75°÷15°＝5(秒);CD在AB的下方時,設(shè)直線OM與CD相交于F,∵CD∥MN,∴∠DFO＝∠M＝60°,在△DOF中,∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°,∴旋轉(zhuǎn)角為75°+180°＝255°,t＝255°÷15°＝17(秒);綜上所述,第5或17秒時,邊CD恰好與邊MN平行;如圖2,CD在OM的右邊時,設(shè)CD與AB相交于G,∵CD⊥MN,∴∠NGC＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°,∴∠CON＝∠NGC﹣∠OCD＝60°﹣45°＝15°,∴旋轉(zhuǎn)角為180°﹣∠CON＝180°﹣15°＝165°,t＝165°÷15°＝11(秒),CD在OM的左邊時,設(shè)CD與AB相交于G,∵CD⊥MN,∴∠NGD＝90°﹣∠MNO＝90°﹣30°＝60°,∴∠AOC＝∠NGD﹣∠C＝60°﹣45°＝15°,∴旋轉(zhuǎn)角為360°﹣∠AOC＝360°﹣15°＝345°,t＝345°÷15°＝23(秒),綜上所述,第11或23秒時,直線CD恰好與直線MN垂直．21．(2022春?新羅區(qū)期中)如圖1,直線DE上有一點O,過點O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角頂點放在點O處,一條直角邊OA在射線OD上,另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點O按每秒20°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時,OA恰好平分∠COD,此時,∠BOC與∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由;(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中,若射線OC的位置保持不變,且∠COE＝140°．①當邊AB與射線OE相交時(如圖3),則∠AOC﹣∠BOE的值為;②當邊AB所在的直線與OC平行時,求t的值．【解答】解：(1)∠BOC＝∠BOE,理由如下：∵∠AOB＝90°,∴∠BOC+∠AOC＝90°,∠AOD+∠BOE＝90°,∵OA平分∠COD,∴∠AOD＝∠AOC,∴∠BOC＝∠BOE;(2)①∵∠COE＝140°,∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°,∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE,∠BOE＝90°﹣∠AOE,∴∠AOC﹣∠BOE＝(140°﹣∠AOE)﹣(90°﹣∠AOE)＝50°,∴∠AOC﹣∠BOE的值為50°．故答案為：50°;②∵∠COE＝140°,∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°,(I)如圖3﹣1,當AB在直線DE上方時,∵AB∥OC,∴∠AOC＝∠A＝30°,∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°,∵直角三角板繞點O按每秒20°的速度旋轉(zhuǎn),∴t＝70°÷20°＝3.5;(Ⅱ)解法一：如圖3﹣2,當AB在直線DE下方時,∵AB∥OC,∴∠COB＝∠B＝60°,∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°,∠AOD＝90°+20°＝110°,∴直角三角板AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的角度為360°﹣∠AOD＝250°,∵直角三角板AOB繞點O按每秒20°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),∴t＝(360°﹣110°)÷20°＝12.5,解法二：如圖3﹣3,在②(Ⅰ)的基礎(chǔ)上,繼續(xù)將直角三角板A1OB1繞點O按每秒20°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)180°,得到直角三角板AOB,此時,AB∥OC,∴直角三角板AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的角度為180°+70°＝250°,∵直角三角板AOB繞點O按每秒20°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),∴t＝250°÷20°＝12.5,綜合(Ⅰ)(Ⅱ)得：t＝3.5或t＝12.5．22．(2022春?岳陽期末)如圖,已知∠DCF和∠ECF互為鄰補角,∠DCF＝α(0＜α＜90°),將一個三角板的直角頂點放在點C處(注：∠ACB＝90°,∠ABC＝60°)．(1)如圖1,使三角板的短直角邊BC與射線CD重合,若α＝40°,則∠ACF＝．(2)如圖2,將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,試判斷此時AB與DE的位置關(guān)系,并說明理由．(3)如圖3,將圖1中的三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)β(0＜β＜90°),使得∠ACE＝∠BCF,此時α和β滿足什么關(guān)系?請說明理由．(4)將圖1中的三角板繞點C以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時,AC恰好與直線CF重合,求t的值(用含α的式子表示)．【解答】解：(1)∵∠ACF+α＝90°,α＝40°,∴∠ACF＝90°﹣40°＝50°,故答案為：50;(2)∵∠ABC＝∠DCB＝60°,∴AB∥DE;(3)∵∠DCB＝β,∴∠BCF＝β﹣α,∵∠ACE＝∠BCF,∴∠ACE＝,∵∠ACE+∠DCB＝90°,∴+β＝90°,∴3β﹣α＝180°;(4)第t秒時,AC恰好與直線CF重合,則5°t＝270°+α,解得t＝54+．23．(2022春?平南縣期末)如圖已知∠MON＝α(0°＜α＜90°),有一塊三角板ABC,其中∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,現(xiàn)將該三角板如圖所示放置,使頂點B始終落在ON上,過點A作DA∥ON交OM于點E．(1)如圖1,若BC∥OM,∠CAD＝40°,請求出α的大小;(2)若∠BAE的平分線AP交ON于點P;①如圖2,當AP∥OM,且α＝60°時,請說明：BC∥OM;②如圖3,將三角板ABC沿直線ON從左往右平移,且在平移的過程中,始終保持BC∥OM不變,請?zhí)骄俊螼PA與α之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出你的結(jié)論．【解答】解：(1)如圖1,∵∠CAD＝40°,∠BAC＝30°,∠ACB＝90°∴∠BAD＝40°+30°＝70°,∠ABC＝60°,∵AD∥ON,∴∠ABN＝180°﹣70°＝110°,∵BC∥OM,∴∠MON＝∠CBN＝α＝110°﹣60°＝50°,即α＝50°;(2)①如圖2,∵AP∥OM,α＝60°＝∠MON,∴∠APB＝∠MON＝60°,又∵AD∥ON,∴∠PAE＝∠APB＝60°,∵AP是∠BAE的平分線,∴∠PAE＝∠BAB＝60°,∴∠ABN＝∠BAE＝2∠PAB＝120°,又∵∠ABC＝60°,∴∠CBN＝120°﹣60°＝60°＝∠MON,∴BC∥OM;②如圖3,∠OPA＝150°﹣α,理由如下：∵BC∥OM,∴∠CBN＝∠MON＝α,∴∠ABN＝α+60°＝∠BAE,∵AP是∠BAE的平分線,∴∠PAE＝∠PAB＝∠BAE＝α+30°,∠ABP＝180°﹣∠ABN＝120°﹣α,∴∠OPA＝∠PAB+∠ABP＝α+30°+120°﹣α＝150°﹣α．24．(2022春?莆田期末)李想是一位善于思考的學生,在一次數(shù)學活動課上,他將一塊含有60°的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究．已知直線EF∥GH,直角三角板ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝60°,點C為直線EF上一定點．將直角三角板ABC繞點C轉(zhuǎn)動,當點A在直線GH上時,點B也恰好在直線GH上．(1)如圖1,求∠ECB的度數(shù);(2)如圖2,若點A在直線EF上方,點B在GH下方,BC與GH交于點Q,作∠ACE的角平分線并反向延長與∠CQH的角平分線交于點O．在直角三角板ABC繞點C轉(zhuǎn)動的過程中,∠O的度數(shù)是否保持不變?若不變,求出∠O的度數(shù);否則,請說明理由;(3)如圖3,直角三角板ABC繞點C轉(zhuǎn)動,若點A在直線EF,GH之間(不含EF,GH上),點B在GH下方,AB,BC分別與GH交于點P,Q．設(shè)∠FCB＝n°,是否存在正整數(shù)m和n,使得∠APH＝m∠FCB,若存在,請求出m和n的值;若不存在,請說明理由．【解答】解：(1)∵EF∥GH,∴∠ECA＝∠CAB＝60°,∴∠ECB＝∠ACB+∠ECA＝90°+60°＝150°．(2)∠O的度數(shù)保持不變．理由如下：過點O作OP∥EF,∵EF∥GH,∴EF∥OP∥GH,∴∠COP＝∠FCO,∠POQ＝∠OQH,∠ECQ＝∠CQH,∵CD平分∠ACE,OQ平分∠CQH,∴∠DCE＝∠ACE,∠OQH＝∠CQH＝∠ECB,∴∠POQ＝∠ECB,∵∠DCE＝∠FCO,∴∠COP＝∠DCE＝∠ACE,∴∠COQ＝∠COP+∠POQ＝∠ACE+∠ECB＝(∠ACE+∠ECB)＝∠ACB＝×90°＝45°．∴∠O的度數(shù)保持不變,始終是45°．(3)存在．理由如下：∵∠ACB＝90°,∠A＝60°,∴∠APQ+∠CQP＝360°﹣∠ACB﹣∠A＝360°﹣90°﹣60°＝210°,∵EF∥GH,∴∠FCB＝∠CQP＝n°,∴∠APQ+∠CQP＝∠APQ+n°＝210°,∵∠APH＝m∠FCB,∴∠APH＝mn°,∴mn°+n°＝210°,由此得出,n＝,∵點A在直線EF,GH之間(不含EF,GH上),點B在GH下方,∴30°＜n°＜90°,即mn°＜180°,m,n是正整數(shù),∴當m＝1時,n＝＝105,不符合題意,舍去;當m＝2時,n＝＝70,符合題意;當m＝3時,n＝不是正整數(shù),舍去;當m＝4時,n＝＝42,符合題意;當m＝5時,n＝35,符合題意;當m＝6時,n＝＝30,不符合題意,舍去．綜上所得,m＝2,n＝70,或m＝4,n＝42,或m＝5,n＝35．25．(2022春?岳池縣期中)已知在三角板ABC中,∠BAC＝60°,∠B＝30°,∠C＝90°,在長方形DEFG中,DE‖GF．如圖①,若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上,AB⊥DE于點N,BC與DE相交于點M,則∠EMC的度數(shù)是多少呢?若過點C作CH‖GF,則CH‖DE,這樣就將∠CAF轉(zhuǎn)化為∠HCA,∠EMC轉(zhuǎn)化為∠MCH,從而可以求得∠EMC的度數(shù)．(1)請你直接寫出：∠CAF＝°,∠EMC＝°;(2)若將三角板ABC按圖②所示方式擺放(AB與DE不垂直),請你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(3)請在圖②中探究∠BAG與∠BMD有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由．【解答】解：(1)由題可得,∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°,∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°;故答案為：30,60;(2)∠EMC+∠CAF＝90°,證明：如圖②,過C作CH∥GF,則∠CAF＝∠ACH,∵DE∥GF,CH∥GF,∴CH∥DE,∴∠EMC＝∠HCM,∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°;(3)∠BAG﹣∠BMD＝30°,證明：如圖②,過B作BK∥GF,則∠BAG＝∠KBA,∵BK∥GF,DE∥GF,∴BK∥DE,∴∠BMD＝∠KBM,∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．26．(2021秋?南崗區(qū)校級期末)已知：直線AB∥CD,一塊三角板EFH,其中∠EFH＝90°,∠EHF＝60°．(1)如圖1,三角板EFH的頂點H落在直線CD上,并使EH與直線AB相交于點G,若∠2＝2∠1,求∠1的度數(shù);(2)如圖2,當三角板EFH的頂點F落在直線AB上,且頂點H仍在直線CD上時,EF與直線CD相交于點M,試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系;(3)如圖3,當三角板EFH的頂點F落在直線AB上,頂點H在AB、CD之間,而頂點E恰好落在直線CD上時得△EFH,在線段EH上取點P,連接FP并延長交直線CD于點T,在線段EF上取點K,連接PK并延長交∠CEH的角平分線于點Q,若∠Q﹣∠HFT＝15°,且∠EFT＝∠ETF,求證：PQ∥FH．【解答】(1)解：∵AB∥CD,∴∠1＝∠CHG．∵∠2＝2∠1,∴∠2＝2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°,∴3∠CHG+60°＝180°．∴∠CHG＝40°．∴∠1＝40°．(2)解：∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系為：∠AFE＝∠E+∠MHE,理由：∵AB∥CD,∴∠AFE＝∠CME．∵∠CME＝∠E+∠MHE,∴∠AFE＝∠E+∠MHE．(3)證明：設(shè)∠AFE＝x,則∠BFH＝90°﹣x,∠EFB＝180°﹣x．∵AB∥CD,∴∠BFT＝∠ETF．∵∠EFT＝∠ETF,∴∠EFT＝∠BFT＝∠EFB＝90°﹣x．∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x．∵∠Q﹣∠HFT＝15°,∴∠Q＝15°+x．∵AB∥CD,∴∠AFE+∠CEF＝180°．∴∠CEF＝180°﹣x．∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．∵EQ平分∠CEH,∴∠QEH＝∠CEH＝105°﹣x．∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°,∴15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°．∴∠QPE＝60°．∵∠H＝60°,∴∠QPE＝∠H．∴PQ∥FH．27．(2021秋?王益區(qū)期末)已知：∠AOB＝α(0°＜α＜90°),一塊三角板CDE中,∠CED＝90°,∠CDE＝30°,將三角板CDE如圖所示放置,使頂點C落在OB邊上,經(jīng)過點D作直線MN∥OB交OA邊于點M,且點M在點D的左側(cè)．(1)如圖,若CE∥OA,∠NDE＝45°,則α＝45°;(2)若∠MDC的平分線DF交OB邊于點F,①如圖,當DF∥OA,且α＝60°時,試說明：CE∥OA;②如圖,當CE∥OA保持不變時,試求出∠OFD與α之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：(1)如圖,過點E作EF∥MN,∴∠DEF＝∠NDE＝45°,∵∠CED＝90°,∴∠FEC＝45°,∵MN∥OB,∴EF∥OB,∴∠BCE＝∠FCE＝45°,∵AO∥CE,∴∠AOB＝∠ECB＝45°,則α＝45°,故答案為：45;(2)①∵DF∥OA,∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°,∵MN∥OB,∴∠MDF＝∠DFC,∵DF平分∠MDC,∴∠CDF＝∠MDF＝60°,在直角三角形DCE中,∠DCE＝60°,∴∠CDF＝∠DCE,∴CE∥DF,∵DF∥OA,∴CE∥OA;②∵當CE∥OA保持不變時,總有∠ECB＝α,在直角三角形DCE中,∠DCE＝60°,∴∠DCB＝60°+α,∵MN∥OB,∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α,且∠DFC＝∠MDF,∵DF平分∠MDC,∴,∴．28．(2022春?睢陽區(qū)期末)問題情境：我們知道,”如果兩條平行被第三條直線所截,所截得的同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補”,所以在某些探究性度量中通過”構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化角的作用．已知三角板ABC中,∠BAC＝60°,∠B＝30°,∠C＝90°,長方形DEFG中,DE∥GF．問題初探：如圖(1),若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上,BC與DE相交于點M,AB⊥DE于點N．則∠EMC的度數(shù)是多少呢?若過點C作CH∥GF,則CH∥DE,這樣就將∠CAF轉(zhuǎn)化為∠HCA,∠EMC轉(zhuǎn)化為∠MCH,從而可以求得∠EMC的度數(shù)為…．(1)請你直接寫出：∠CAF＝°,∠EMC＝°．類比再探：(2)若將三角板ABC按圖(2)所示方式擺放(AB與DE不垂直),請你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．方法遷移：(3)請你總結(jié)(1),(2)解決問題的思路,在圖(2)中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．【解答】解：(1)由題可得,∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°,∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°;故答案為：30,60;(2)∠EMC+∠CAF＝90°,證明：如圖2,過C作CH∥GF,則∠CAF＝∠ACH,∵DE∥GF,CH∥GF,∴CH∥DE,∴∠EMC＝∠HCM,∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°;(3)∠BAG﹣∠BMD＝30°,證明：