七年級(jí)上冊(cè)《實(shí)數(shù)》教學(xué)案例

///七年級(jí)上冊(cè)?實(shí)數(shù)?教學(xué)案例【小編寄語(yǔ)】查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)小編給大家整理了七年級(jí)上冊(cè)?實(shí)數(shù)?教學(xué)案例,希望能給大家?guī)韼椭? 教學(xué)目標(biāo) ①知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng); ②學(xué)會(huì)比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小; ③了解在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算及運(yùn)算法那么、運(yùn)算性質(zhì)等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立,能熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算;在實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí),根據(jù)問題的要求取其近似值,轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算; 通過學(xué)習(xí)“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系〞,滲透“數(shù)形結(jié)合〞的數(shù)學(xué)思想。 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 難點(diǎn)：對(duì)“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系〞的理解。 教學(xué)準(zhǔn)備 教師：直徑為1cm的硬紙板的圓。 教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖說明 試一試 我們知道有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示,但是數(shù)軸上的點(diǎn)是否都表示有理數(shù)?無(wú)理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示嗎? ①課件演示課本第175頁(yè)探究題;學(xué)生動(dòng)手操作,利用課前準(zhǔn)備好的硬紙板的圓片在自己畫好的數(shù)軸上實(shí)踐體會(huì)。 ②你能在數(shù)軸上畫出坐標(biāo)是2的點(diǎn)嗎?畫一畫,說說你的方法。 教師啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論：每一個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來。 練習(xí)：學(xué)生自己完成課本第178頁(yè)練習(xí)第1題。 在此根底上,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步得出結(jié)論：在數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。即：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示;數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。 類比在有理數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義,結(jié)合數(shù)軸,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)理解相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義。 ③深入探討：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間也存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎? 除了課件演示外再讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐操作的目的是讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示無(wú)理數(shù),而每一個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示,即無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 通過練習(xí),讓學(xué)生對(duì)于實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)有了直觀的認(rèn)識(shí),體會(huì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。將數(shù)與圖形聯(lián)系起來,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。 教師在此環(huán)節(jié)中要留給學(xué)生充足的時(shí)間,讓學(xué)生自己歸納和總結(jié)。 比一比 ①問：利用數(shù)軸,我們?cè)鯓颖葦M兩個(gè)有理數(shù)的大小? 在數(shù)軸上表示的數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的大。這個(gè)結(jié)論在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)也成立。 ②我們還有什么方法可以比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小嗎? 兩個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值較大的值也較大;兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大的值反而小;正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于負(fù)數(shù)。 例1比擬以下各組數(shù)里兩個(gè)數(shù)的大?。?(1) ,1.4;(2)- ;(3)-2, 分析：像例1(1),即可以將 ,1.4的大小比擬轉(zhuǎn)化為 的大小比擬;也可以先求出 的近似值,再通過比擬它們近似值(取近似值時(shí),注意精確度要相同)的大小,從而比擬它們的大小。 讓學(xué)生回憶有理數(shù)范圍內(nèi)比擬大小的方法,體會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)這些比擬兩個(gè)數(shù)大小的方法依舊成立。 通過例題,使學(xué)生掌握比擬兩數(shù)大小的方法。 算一算 問：在數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后,我們已經(jīng)學(xué)過哪些運(yùn)算? 答：加、減、乘、除、乘方和開方運(yùn)算。 接著問：有哪些規(guī)定嗎? 除法運(yùn)算中除數(shù)不為0,而且只有正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算,任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算。 問：有理數(shù)滿足哪些運(yùn)算律? 加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 我們?nèi)绾沃肋\(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否適用? 例2計(jì)算以下各式的值： (1) ;(2) 例3計(jì)算： (1) (精確到0.01) (2) (保存三個(gè)有效數(shù)字) (3) (保存三個(gè)有效數(shù)字) (在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,當(dāng)遇到無(wú)理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時(shí),可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似的有限小數(shù)去代替無(wú)理數(shù),再進(jìn)行計(jì)算。) 鼓勵(lì)學(xué)生多舉一些實(shí)際例子來驗(yàn)證。其意義一是為了防止學(xué)生產(chǎn)生片面認(rèn)識(shí),以為從幾個(gè)例子就可以得出普遍結(jié)論,二讓學(xué)生了解結(jié)論的重要性。 例2與例3要求是不同的。例2在運(yùn)算中遇到無(wú)理數(shù)但并不需要求出結(jié)果的近似值,例3卻不同,不僅在運(yùn)算中遇到無(wú)理數(shù)且需要求出結(jié)果的近似值,在教學(xué)中應(yīng)該提醒學(xué)生注意按照問題的要求解決問題。 課堂穩(wěn)固 課本第178頁(yè)練習(xí)第2、3題。 小結(jié) 布置作業(yè) ①必做題：課本第179頁(yè)習(xí)題10.3的第4、5、6、8題。 ②選做題：課本第179頁(yè)習(xí)題10.3的第9題。 ③備選題： (1)假設(shè)m表示一個(gè)實(shí)數(shù),那么-m表示一個(gè)() A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.實(shí)數(shù)D.非正數(shù) (2)計(jì)算： ①求5的算術(shù)平方根與2的平方根之和(保存三個(gè)有效數(shù)字); (精確到0.01); ③ ,求ab的值。 ④個(gè)鋼球的體積是200cm3,求它的半徑(π取3.14,結(jié)果保存三個(gè)有效數(shù)字)。 設(shè)計(jì)思想 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中注重從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),如學(xué)生在有理數(shù)章節(jié)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,所以在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí),讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng),除了讓學(xué)生看課件演示外,更通過讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作,感悟知識(shí)的生成、開展和變化,自己探索得到結(jié)論：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而培養(yǎng)學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)方法。 在“比一比〞教學(xué)環(huán)節(jié)中,先讓學(xué)生回憶有理數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的大小的比擬方法,體會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)這些比擬兩個(gè)數(shù)大小的方法依舊成立,在比擬的過程中讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想。 在“算一算〞教學(xué)環(huán)節(jié)中,先復(fù)習(xí)七年級(jí)上已經(jīng)學(xué)習(xí)過的有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律,然后提出一個(gè)富有啟發(fā)性且具有探索意義的問題“我們?nèi)绾沃肋\(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否適用?〞 然后鼓勵(lì)學(xué)生多舉一些例子來驗(yàn)證,其意義一是為了防止學(xué)生產(chǎn)生片面認(rèn)識(shí),以為從幾個(gè)例子就可以得出普遍結(jié)論,二讓學(xué)生了解結(jié)論的重要性。 背景資料 中國(guó)古代科學(xué)家對(duì)π的研究 圓周率是一個(gè)極其著名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始,這個(gè)數(shù)就引起了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù),圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問題而提出的。幾千年來古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為了求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動(dòng)。德國(guó)數(shù)學(xué)史家康托曾說過：“歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度,可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)開展水平的指標(biāo)。〞直到19世紀(jì)初,求圓周率的值仍然是數(shù)學(xué)中的頭號(hào)難題。 在我國(guó)劉徽之前“圓徑一而周三〞曾廣泛流傳。我國(guó)第一部?周髀算經(jīng)?中,就記載有圓“周三徑一〞這一結(jié)論。在我國(guó),木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一,方五斜七〞,意思是說,直徑為1的圓,周長(zhǎng)大約是3,邊長(zhǎng)為5的正方形,對(duì)角線之長(zhǎng)約為7。這正反映了早期人們對(duì)圓周率π和 這兩個(gè)無(wú)理數(shù)的粗略估計(jì)。東漢時(shí)期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計(jì)算面積的標(biāo)準(zhǔn)。后人稱之為“古率〞。東、西漢之交,新朝王莽令劉歆制造量的容器──律嘉量斛,劉歆在制造標(biāo)準(zhǔn)容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此,大約也是通過做實(shí)驗(yàn),得到一些關(guān)于圓周率的并不劃一的近似值?，F(xiàn)在根據(jù)銘文推算,其計(jì)算值分別取為3.1547,3.1992,3.1498,3.2031比“徑一周三〞的古率已有所進(jìn)步。人類的這種探索的結(jié)果,當(dāng)主要用來估計(jì)圓田面積時(shí),對(duì)生產(chǎn)沒有太大影響,但以此來制造器皿或其他計(jì)算就不適宜了。憑直觀推測(cè)或?qū)嵨锒攘?來計(jì)算π值的實(shí)驗(yàn)方法所得到的結(jié)果是相當(dāng)粗略的。 在我國(guó),首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后,劉徽提出著名的割圓術(shù),得出π=3.14,通常稱為“徽率〞,他指出這是缺乏近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些,但其方法卻有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界,比阿基米德用內(nèi)接同時(shí)又用外切正多邊形簡(jiǎn)捷得多。另外,有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工方法,以至于他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過簡(jiǎn)單的加權(quán)平均,竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率π=3927/1250=3.1416。而這一結(jié)果,正如劉徽本人指出的,如果通過割圓計(jì)算得出這個(gè)結(jié)果,需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的局部,令人遺憾的是,由于人們對(duì)它缺乏理解而被長(zhǎng)期埋沒了。恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的奉獻(xiàn)吧。對(duì)此,?隋書·律歷志?有如下記載：“宋末,南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈,圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三,圓周三百五十五。約率,圓徑七,周二十二。〞這一記錄指出,祖沖之關(guān)于圓周率的兩大奉獻(xiàn)。其一是求得圓周率3.1415926<π<3.1415927;其二是,得到π的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22/7;密率為355/113。他算出的π的8位可靠數(shù)字,不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率,而且保持世界紀(jì)錄九百多年。以至于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率〞。這一結(jié)果是如何獲得的呢?追根溯源,正是基于對(duì)劉徽割圓術(shù)的繼承與開展