運籌學運輸問題分析課件

Chapter3運輸規(guī)劃

(TransportationProblem)運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型表上作業(yè)法運輸問題的應用本章主要內容：Chapter3運輸規(guī)劃

(Transportation運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型例3.1某公司從兩個產地A1、A2將物品運往三個銷地B1,B2,B3，各產地的產量、各銷地的銷量和各產地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調運可使總運輸費用最小？B1B2B3產量A1646200A2655300銷量150150200運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型例3.1某公司從兩個產地A1、A2運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型解：產銷平衡問題：總產量=總銷量＝500設xij為從產地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列運輸量表：B1B2B3產量A1x11x12x13200A2x21x22x23300銷量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型解：產銷平衡問題：總產量=總銷量＝運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型運輸問題的一般形式：產銷平衡A1、A2、…、Am表示某物資的m個產地；B1、B2、…、Bn表示某物質的n個銷地；ai表示產地Ai的產量；bj表示銷地Bj的銷量；cij表示把物資從產地Ai運往銷地Bj的單位運價。設xij為從產地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列一般運輸量問題的模型：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型運輸問題的一般形式：產銷平衡A1、A運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型已知資料如下：

銷產地地產量產銷平衡銷量運價運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型已知資料如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型當產銷平衡時，其模型如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型當產銷平衡時，其模型如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型當產大于銷時，其模型如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型當產大于銷時，其模型如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型當產小于銷時，其模型如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型當產小于銷時，其模型如下：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型特征：

1、平衡運輸問題必有可行解，也必有最優(yōu)解；2、運輸問題的基本可行解中應包括m+n－1個基變量。運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型特征：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型運輸問題約束條件的系數(shù)矩陣mn運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型運輸問題約束條件的系數(shù)矩陣mn運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型基本可行解是否最優(yōu)解結束換基是否

運輸問題的求解思路運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型基本可行解是否最優(yōu)解結束換基是否運輸問題的求解思路運輸規(guī)劃

計算步驟：(1)找出初始調運方案。即在(m×n)產銷平衡表上給出m+n-1個數(shù)字格。(最小元素法、西北角法或伏格爾法）(2)求檢驗數(shù)。（閉回路法或位勢法）判別是否達到最優(yōu)解。如已是最優(yōu)解，則停止計算，否則轉到下一步。(3)對方案進行改善，找出新的調運方案。（表上閉回路法調整）確定m+n-1個基變量(4)重復（2）、（3），直到求得最優(yōu)調運方案。空格二、表上作業(yè)法計算步驟：(1)找出初始調運方案。即在(m×n)產銷平表上作業(yè)法表上作業(yè)法是一種求解運輸問題的特殊方法，其實質是單純形法。步驟描述方法第一步求初始基行可行解（初始調運方案）最小元素法、西北角法、伏格爾法第二步求檢驗數(shù)并判斷是否得到最優(yōu)解當非基變量的檢驗數(shù)σij全都非負(求min)時得到最優(yōu)解，若存在檢驗數(shù)σij<0，說明還沒有達到最優(yōu)，轉第三步。閉回路法和位勢法第三步調整運量，即換基，選一個變量出基，對原運量進行調整得到新的基可行解，轉入第二步表上作業(yè)法表上作業(yè)法是一種求解運輸問題的特殊方法，其實質是單表上作業(yè)法例3.2某運輸資料如下表所示：單位銷地運價產地產量311310719284741059銷量3656問：應如何調運可使總運輸費用最??？1、求初始方案：最小元素法、西北角法、伏格爾法表上作業(yè)法例3.2某運輸資料如下表所示：單位表上作業(yè)法基本思想是就近供應，即從運價最小的地方開始供應（調運），然后次小，直到最后供完為止。B1B2B3B4產量A17A2

4A39銷量3656311310192741058總的運輸費＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元方法1：最小元素法341633表上作業(yè)法基本思想是就近供應，即從運價最小的地方開始供表上作業(yè)法練習銷地產地B1B2B3B4產量A1675314A2842727A35910619銷量221312131213131912表上作業(yè)法練習銷地B1B2B3B4產量A1675表上作業(yè)法（2）西北角法（或左上角法）此法是純粹的人為的規(guī)定，沒有理論依據和實際背景，但它易操作，特別適合在計算機上編程計算，因而受歡迎。方法如下：365674934490656404902562029005620090036360000000340002200036表上作業(yè)法（2）西北角法（或左上角法）此法是純粹的人為的規(guī)表上作業(yè)法在滿足約束條件下盡可能的給最左上角的變量最大值.銷地產地B1B2B3B4產量A141241116A22103910A38511622銷量8141214488864814所以，初始基可行解為：(8,8,4,8,14)目標函數(shù)值Z＝372例3.3某運輸資料如下表所示：表上作業(yè)法在滿足約束條件下盡可能的給最左上角的變量最大值.表上作業(yè)法練習銷地產地B1B2B3B4產量A1675314A2842727A35910619銷量22131213813131466表上作業(yè)法練習銷地B1B2B3B4產量A1675表上作業(yè)法

最小元素法的缺點是：為了節(jié)省一處的費用，有時造成在其他處要多花幾倍的運費。伏格爾法考慮到，一產地的產品假如不能按最小運費就近供應，就考慮次小運費，這就有一個差額。差額越大，說明不能按最小運費調運時，運費增加越多。因而對差額最大處，就應當采用最小運費調運。例如下面兩種運輸方案。

最小元素法：15152012105815510總運費是z=10×8+5×2+15×1=10515152012105851510另一種方法：總運費z=10×5+15×2+5×1=85表上作業(yè)法最小元素法的缺點是：為了節(jié)省一處的費用，有時表上作業(yè)法方法2：Vogel法1）從運價表中分別計算出各行和各列的最小運費和次最小運費的差額，并填入該表的最右列和最下行。B1B2B3B4產量行差額A177A2

41A391銷量3656列差額251331131019274105810-3=72-1=15-4=13-1=29-4=53-2=18-5=3表上作業(yè)法方法2：Vogel法1）從運價表中分別計算出各行和表上作業(yè)法2）再從差值最大的行或列中找出最小運價確定供需關系和供需數(shù)量。當產地或銷地中有一方數(shù)量供應完畢或得到滿足時，劃去運價表中對應的行或列。重復1)和2)，直到找出初始解為至。B1B2B3B4產量行差額A177A2

41A3

91銷量3656列差額25133113101927410585表上作業(yè)法2）再從差值最大的行或列中找出最小運價確定供需關系表上作業(yè)法單位銷地運價產地產量行差額311310719284741059銷量3656列差額7135275×××3×表上作業(yè)法單位銷地產量行差額311310719表上作業(yè)法單位銷地運價產地產量行差額311310719284741059銷量3656列差額113515×××3×631××2該方案的總運費:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元表上作業(yè)法單位銷地產量行差額311310719銷地產地B1B2B3B4產量行差額A1412411160A221039101A385116221銷量814121448列差額251314所以，初始基可行解為：……目標函數(shù)值Z＝244表上作業(yè)法例3.4某運輸資料如下表所示：銷地B1B2B3B4產量行差額A14124111銷地產地B1B2B3B4產量行差額A1412411160A221039101A385116221銷量814121448列差額21314所以，初始基可行解為：……目標函數(shù)值Z＝2448表上作業(yè)法例3.4某運輸資料如下表所示：銷地B1B2B3B4產量行差額A14124111銷地產地B1B2B3B4產量行差額A1412411160A221039101A385116221銷量814121448列差額21314所以，初始基可行解為：……目標函數(shù)值Z＝24488表上作業(yè)法例3.4某運輸資料如下表所示：銷地B1B2B3B4產量行差額A14124111銷地產地B1B2B3B4產量行差額A1412411160A221039101A38511622銷量814121448列差額1314所以，初始基可行解為：……目標函數(shù)值Z＝24488表上作業(yè)法例3.4某運輸資料如下表所示：12銷地B1B2B3B4產量行差額A14124111銷地產地B1B2B3B4產量行差額A1412411160A221039101A38511622銷量814121448列差額314所以，初始基可行解為：……目標函數(shù)值Z＝24488表上作業(yè)法例3.4某運輸資料如下表所示：1224銷地B1B2B3B4產量行差額A14124111表上作業(yè)法練習銷地產地B1B2B3B4產量A1675314A2842727A35910619銷量221312131213121319表上作業(yè)法練習銷地B1B2B3B4產量A1675表上作業(yè)法2、最優(yōu)解的判別（檢驗數(shù)的求法）求檢驗數(shù)的方法有兩種：閉回路法對偶變量法（位勢法）（1）閉合回路法：σij≥0（因為目標函數(shù)要求最小化）表格中有調運量的地方為基變量，空格處為非基變量?；兞康臋z驗數(shù)σij＝0，非基變量的檢驗數(shù)σij≥0。σij<0表示運費減少，σij>0表示運費增加。表上作業(yè)法2、最優(yōu)解的判別（檢驗數(shù)的求法）求檢驗數(shù)的方法有閉回路：從空格出發(fā)順時針(或逆時針)畫水平(或垂直)直線，遇到填有運量的方格可轉90°，然后繼續(xù)前進，直到到達出發(fā)的空格所形成的閉合回路。調運方案的任意空格存在唯一閉回路。表上作業(yè)法注：1.每一空格有且僅有一條閉回路；2.如果某數(shù)字格有閉回路，則此解不是可行解。若令則—運費的增量分析：閉回路：從空格出發(fā)順時針(或逆時針)畫水平(或垂直)表上作業(yè)法以最小元素法的初始解為例。假設產地A1供應1個單位的物品給銷地B1。則解的變化和目標函數(shù)的變化如何。銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量814121448表上作業(yè)法以最小元素法的初始解為例。假設產地A1供應1個單位表上作業(yè)法要保證產銷平衡，則稱為閉回路銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量8141214481表上作業(yè)法要保證產銷平衡，則表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量81412144812表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A1表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量814121448121表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A1表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量81412144810211表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A1表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量8141214481211210表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A1表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A141241116106A2210391082A38511622148銷量814121448121-11210檢驗數(shù)中有負數(shù)，說明原方案不是最優(yōu)解。表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A1表上作業(yè)法練習銷地產地B1B2B3B4產量A167531414A28427278136A35910619613銷量221312135579-3-11表上作業(yè)法練習銷地B1B2B3B4產量A1675

uivjm個n個（2）對偶變量法（位勢法）表上作業(yè)法設其對偶變量為：uivjm個n個（2）對偶變量法（位勢法）表上作業(yè)法

ui?vj無約束（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)標準型運輸問題的對偶問題模型為：表上作業(yè)法則運輸問題變量xij的檢驗數(shù)為：ui?vj表上作業(yè)法用位勢法對初始方案進行最優(yōu)性檢驗的方法：1）在給定初始解的表上增加一行和一列，在列中填入ui，在行中填入vj。2）令u1＝0，再按cij-(ui+vj)=0（基變量的cij求出其余的ui與vj。3）由

ij=Cij-（ui+vj），求出非基變量的檢驗數(shù)。表上作業(yè)法用位勢法對初始方案進行最優(yōu)性檢驗的方法：1）在給定表上作業(yè)法B1B2B3B4uiA1A2A3vj311310192741058u1u2u3v3v4v1v2注意：基變量的檢驗數(shù)

i

j=Ci

j-（ui+vj）=0436313表上作業(yè)法B1B2B3B4uiA1A2A3vj3113101表上作業(yè)法B1B2B3B4uiA1A2A3vj3113101927410580-1-531029令u1=0u1+v3=3u1+v4=10u2+v3=2u2+v1=1u3+v2=4u3+v4=5436313表上作業(yè)法B1B2B3B4uiA1A2A3vj3113101表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B2B1436313（1）（2）（1）（-1）（10）（12）當存在非基變量的檢驗數(shù)

ij≥0，說明現(xiàn)行方案為最優(yōu)方案，否則目標成本還可以進一步減小。注意：非基變量的檢驗數(shù)

i

j=cij-（ui+vj）

11=c11-（u1+v1）=3-(0+2)=1

31=c31-（u3+v1）=7-(2-5)=10

24=c24-（u2+v4）=8-(10-1)=-1

22=c22-（u2+v2）=9-(9-1)=1

12=c12-（u1+v2）=11-(0+9)=2

33=c33-（u3+v3）=10-(3-5)=12311310192741058表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B表上作業(yè)法3、解的改進

——閉合回路調整法（原理同單純形法一樣）當在表中空格處出現(xiàn)負檢驗數(shù)時，表明未得最優(yōu)解。若有兩個或兩個以上的負檢驗數(shù)時，一般選用其中最小的負檢驗數(shù)，以它對應的空格為調入格，即以它對應的非基變量為換入變量。做一閉合回路。(1)確定換入基的變量：當存在非基變量的檢驗數(shù)

kl<0且kl=min{ij}時，以Xkl為換入變量，找出它在運輸表中的閉合回路。接上例：pqijj,i)(minσ

σ=<0Xpq=X24為換入變量解的改進的具體步驟：表上作業(yè)法3、解的改進當在表中空格處出現(xiàn)負表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B2B1436313311310192741058（1）（2）（1）（-1）（10）（12）(2)頂點編號：以空格(Ak,Bl)(或進基變量xik）為第一個奇數(shù)頂點，沿閉回路的順（或逆）時針方向前進，對閉回路上的頂點依次編號。1324表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B2B1436313311310192741058（1）（2）（1）（-1）（10）（12）(2)頂點編號：以空格(Ak,Bl)(或進基變量xik）為第一個奇數(shù)頂點，沿閉回路的順（或逆）時針方向前進，對閉回路上的頂點依次編號。1324換出變量X23表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B表上作業(yè)法(3)確定換出基的變量：在該閉回路上，從所有偶數(shù)號格點的調運量中選出最小值的頂點（格子），以該格子中的變量為換出變量。(4)確定新的運輸方案：以換出變量的運輸量為調整量θ

，將該閉回路上所有奇數(shù)號格的調運量加上調整量θ

，所有偶數(shù)號格的調運量減去θ

，其余的不變，這樣就得到一個新的調運方案。該運輸方案的總運費比原運輸方案減少，改變量等于換出變量的檢驗數(shù)。(5)然后，再對得到的新解進行最優(yōu)性檢驗，加不是最優(yōu)解，就重復以上步驟繼續(xù)進行調整，一直到得出最優(yōu)解為止。表上作業(yè)法(3)確定換出基的變量：在該閉回路上，從所有表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B2B13631(＋1)(＋1)(－1)(－1)31131019274105843表上作業(yè)法21039vj-5A3-1A20A1uiB4B3B表上作業(yè)法31039vj-5A3-2A20A1uiB4B3B2B1536312311310192741058重新求所有非基變量的檢驗數(shù)：表上作業(yè)法31039vj-5A3-2A20A1uiB4B3B表上作業(yè)法31039vj-5A3-2A20A1uiB4B3B2B1536312（2）（2）（1）（12）（9）（0）當所有非基變量的檢驗數(shù)均非負時，則當前調運方案即為最優(yōu)方案，如表此時最小總運費：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元311310192741058表上作業(yè)法31039vj-5A3-2A20A1uiB4B3B表上作業(yè)法表上作業(yè)法的計算步驟：分析實際問題列出產銷平衡表及單位運價表確定初始調運方案（最小元素法或Vogel法）求檢驗數(shù)（位勢法）所有檢驗數(shù)≥0找出絕對值最大的負檢驗數(shù)，用閉合回路調整，得到新的調運方案得到最優(yōu)方案，算出總運價表上作業(yè)法表上作業(yè)法的計算步驟：分析實際問題列出產銷平衡表及表上作業(yè)法表上作業(yè)法計算中的問題：（1）若運輸問題的某一基可行解有多個非基變量的檢驗數(shù)為負，在繼續(xù)迭代時，取它們中任一變量為換入變量均可使目標函數(shù)值得到改善，但通常取σij<0中最小者對應的變量為換入變量。（2）無窮多最優(yōu)解 產銷平衡的運輸問題必定存最優(yōu)解。如果非基變量的σij＝0，則該問題有無窮多最優(yōu)解。如上例：σ11的檢驗數(shù)是0，經過調整，可得到另一個最優(yōu)解。表上作業(yè)法表上作業(yè)法計算中的問題：（1）若運輸問題的某一基可表上作業(yè)法⑵退化解：

※表格中一般要有(m+n-1)個數(shù)字格。但有時在分配運量時則需要同時劃去一行和一列，這時需要補一個0，以保證有(m+n-1)個數(shù)字格作為基變量。一般可在劃去的行和列的任意空格處加一個0即可。

※利用進基變量的閉回路對解進行調整時，標有負號的最小運量（超過2個最小值）作為調整量θ，選擇任意一個最小運量對應的基變量作為出基變量，并打上“×”以示作為非基變量。表上作業(yè)法⑵退化解：表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A116A210A322銷量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)81242814如下例中σ11檢驗數(shù)是0，經過調整，可得到另一個最優(yōu)解。表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A116A表上作業(yè)法銷地產地B1B2B3B4產量A17A24A39銷量36562011443137782106×3×416×06×××在x12、x22、x33、x34中任選一個變量作為基變量，例如選x34例：用最小元素法求初始可行解表上作業(yè)法銷地B1B2B3B4產量A17A2一、產銷不平衡的運輸問題 當總產量與總銷量不相等時,稱為不平衡運輸問題.這類運輸問題在實際中常常碰到,它的求解方法是將不平衡問題化為平衡問題再按平衡問題求解。當產大于銷時，即：數(shù)學模型為：運輸問題的進一步討論一、產銷不平衡的運輸問題當產大于銷時，即：數(shù)學模型為：運輸由于總產量大于總銷量，必有部分產地的產量不能全部運送完，必須就地庫存，即每個產地設一個倉庫，假設該倉庫為一個虛擬銷地Bn+1，bn+1作為一個虛設銷地Bn+1的銷量(即庫存量)。各產地Ai到Bn+1的運價為零，即Ci,n+1=0,（i=1，…，m）。則平衡問題的數(shù)學模型為：具體求解時,只在運價表右端增加一列Bn+1，運價為零,銷量為bn+1即可運輸問題的進一步討論由于總產量大于總銷量，必有部分產地的產量不能全部運送完，必須當銷大于產時，即：數(shù)學模型為：由于總銷量大于總產量,故一定有些需求地不完全滿足,這時虛設一個產地Am+1，產量為：運輸問題的進一步討論當銷大于產時，即：數(shù)學模型為：由于總銷量大于總產量,故一定銷大于產化為平衡問題的數(shù)學模型為：具體計算時，在運價表的下方增加一行Am+1，運價為零。產量為am+1即可。運輸問題的進一步討論銷大于產化為平衡問題的數(shù)學模型為：具體計算時，在運價表的下例3.4求下列表中極小化運輸問題的最優(yōu)解。B1B2B3B4aiA1592360A2--47840A3364230A448101150bj20603545180160因為有：運輸問題的進一步討論例3.4求下列表中極小化運輸問題的最優(yōu)解。B1B2B3所以是一個產大于銷的運輸問題。表中A2不可達B1，用一個很大的正數(shù)M表示運價C21。虛設一個銷量為b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右邊增添一列，得到新的運價表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj2060354520180運輸問題的進一步討論所以是一個產大于銷的運輸問題。表中A2不可達B1，用一個很大下表為計算結果?？煽闯觯寒a地A4還有20個單位沒有運出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A420102050Bj2060354520180用前面的方法求運輸方案：運輸問題的進一步討論下表為計算結果?？煽闯觯寒a地A4還有20個單位沒有運出。B1運輸問題的進一步討論例3.5某市有三個造紙廠A1，A2，A3，其紙的產量分別為8，5和9個單位，有4個集中用戶B1，B2，B3，B4，其需用量分別為4，3，5和6個單位。由各造紙廠到各用戶的單位運價如表3—14所示，請確定總運費最少的調運方案。銷地產地B1B2B3B4產量A1312348A2112595A367159銷量4356運輸問題的進一步討論例3.5某市有三個造紙廠A1，A2，運輸問題的進一步討論解：由于總產量22大于總銷量18，故本問題是個產銷不平衡運輸問題。增加一假想銷地B5，用表上作業(yè)法求解。銷地產地B1B2B3B4B5(貯存)產量A13123408A21125905A3671509銷量43564運輸問題的進一步討論解：由于總產量22大于總銷量18，故本問運輸問題的進一步討論銷地產地B1B2B3B4B5(貯存)產量A13123408418634A211259050302-8A3671509-2954-4銷量43564運輸問題的進一步討論銷地B1B2B3B應用問題舉例例3.5由n個地區(qū)需要某種物資，需要量分別不少于bj（j=1,…,n）。這些物資均由某公司分設在m個地區(qū)的工廠供應，各工廠的產量分別不大于ai（i=1,…,m）,已知從第i個地區(qū)至第j個需求地區(qū)單位物資的運價為cij，又，試寫出其對偶問題，并解釋對偶變量的經濟意義。由于在變量相等的情況下，表上作業(yè)法的計算遠比單純形法簡單得多。所以在解決實際問題時，人們常常盡可能把某些線性規(guī)劃的問題化為運輸問題的數(shù)學模型。應用問題舉例例3.5由n個地區(qū)需要某種物資，需應用問題舉例

解：由題給出的條件，數(shù)學模型可寫為:對偶問題可寫為：應用問題舉例解：由題給出的條件，數(shù)學模型可寫為:對偶問題可應用問題舉例對偶變量ui的經濟意義為在i產地單位物資的價格，vj的經濟意義為在第j銷地單位物資的價格。對偶問題的經濟意義為：如該公司欲自己將該種物資運至各地銷售，其差價不能超過兩地之間的運價（否則買主將在i地購買自己運至j地），在此條件下，希望獲利為最大。應用問題舉例對偶變量ui的經濟意義為在i產地單位物資應用問題舉例已知資料如下表所示，問如何供電能使總的輸電費用為最?。堪l(fā)電廠發(fā)電量城市需電量A1700B1500A2200B2250A3100B3100B4150電力供需表B1B2B3B4A110523A24312A35634單位輸電費用練習：應用問題舉例已知資料如下表所示，問如何供電能使總B1B2B3B4A140025050A2100100A3400初始方案單位輸電費用電力供需表應用問題舉例發(fā)電廠發(fā)電量城市需電量A1700B1500A2200B2250