材材料力學(xué)Ⅱ電子教案二

第三章能量方法§3－1概述§3－2應(yīng)變能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超靜定系統(tǒng)§3－5虛位移原理及單位力法1第三章能量方法§3－1概述圖中AB和AC桿的直徑分別是d1=12mm,d2=15mm，彈性模量均為E=210GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)(a)

若用解析法求解時，必須利用圖c列出變形的幾何關(guān)系，計算比較麻煩。2若利用外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，即利用功和能的概念求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法統(tǒng)稱為能量法。能量法的應(yīng)用很廣，也是有限元法求解固體力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。有專門著作，例如胡海昌著《彈性力學(xué)的變分原理及應(yīng)用》。本章僅研究能量法中常用的一些原理和應(yīng)用。第三章能量方法就不需要用到變形幾何關(guān)系，計算較為簡便。3(a)軸向拉（壓）桿Ⅰ應(yīng)變能第三章能量方法（1）線彈性體1.基本變形形式【材料力學(xué)（Ⅰ）】利用應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力功W，可得§3－2應(yīng)變能·余能4

(b)扭轉(zhuǎn)第三章能量方法5(c)彎曲第三章能量方法純彎曲

橫力彎曲6可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn)為廣義力，可以代表一個力,一個力偶,一對力或一對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移,一個角位移,一對線位移或一對角位移等。第三章能量方法72.構(gòu)件緩上有無一組舒廣義扔力共僻同作供用令F=儲F1,wC=D1,Me=F2,qA=D2,則（）（）第三抗章訴能睜量方閣法例CwCFEIABMel/2l/2qA,8Fi為廣失義力梳，Di為Fi的作筍用點雁沿Fi方向扛的廣既義位位移，箱它是由他所有瓣廣義浮力共媽同產(chǎn)恨生的嘴。3.組合腿變形愁（用右內(nèi)力繩形式癢表示拴的應(yīng)姿變能紗）M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角第三驚章蓮能尺量方灰法小變響形時果不計FS產(chǎn)生尾的應(yīng)門變能老，F(xiàn)N

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角有n個廣懼義力餅同時飲作用慕時9對于dx微段針，F(xiàn)N(x),刊T(x),巨M(x)均為柔外力盒。略斃去高裁階微章量后童，dx段的海應(yīng)變囑能為桿的央應(yīng)變冬能為第三枕章馬能堡量方釋法10(a挖)由于瞧應(yīng)變啦能是妨外力千（內(nèi)等力）柱或位寄移的攝二次發(fā)齊次疼式，她所以繪產(chǎn)生同架一種票基本機變形浙形式廁的一證組外符力在粱桿內(nèi)雖產(chǎn)生塊的應(yīng)悠變能男，不拿等于慰各力抗單獨貌作用蘆時產(chǎn)憑生的瀉應(yīng)變個能之止和。逼小變俘形時從，產(chǎn)早生不胖同變燭形形姑式的竭一組負外力冊在桿么內(nèi)產(chǎn)個生的疤應(yīng)變混能等通于各削力單多獨作御用時潛產(chǎn)生按的應(yīng)樹變能千之和徹。第三盛章邪能醫(yī)量方繡法4.應(yīng)變吵能的扔特點:EAF2F1ab例F1F2Me11(b嘩)應(yīng)變叛能的窄大小貢與加味載順嫌序無酬關(guān)（圣能量猛守恒其）F和Me同時察作用村在梁捎上，某并按爹同一竭比例關(guān)由零氣逐漸蔬增加貴到最竊終值——簡單輛加載。在線獸性彈頂性范浸圍時練，力光和位亮移成鐵正比猴，位淡移將故按和劫力相都同的漿比例掠，由戰(zhàn)零逐旅漸增肥加到睡最終饒值。第三判章搭能秀量方泛法上圖均中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a售)12第三宰章睜能館量方鳳法先加F,再加Me(圖b，c)式中，為力F在由Me產(chǎn)生的C點處的撓度上作功，所以無系數(shù)。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13還可以先加Me，再加F，得到的應(yīng)變能和以上的值相同。第三洋章院能足量方朝法14因為是彈性體，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即，但必須注意以及的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。1.軸向恐拉伸掠與壓貍縮第三造章河能模量方坦法(2乓)非線品性彈銀性體應(yīng)變每能為（3－1）（F－D曲線和D軸之間的面積）應(yīng)變奪能密夸度為（s－e曲線和e軸之間的面積）（3－2）15（1）（3-1）和（3-2）式中，分別是以D和e為自變量，，。所以為位移狀態(tài)的函數(shù)。（2）因為，為非線性關(guān)系，（3-1）和（3-2）式積分后得不到1/2的系數(shù)，只能根據(jù)或的函數(shù)關(guān)系進行積分。應(yīng)變且能密雙度式中，為扭轉(zhuǎn)力偶矩，為扭轉(zhuǎn)角，為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，為

切應(yīng)變。第三碌章曲能軍量方太法注意林：2.扭轉(zhuǎn)應(yīng)變送能16式中，為外力偶矩，為彎曲轉(zhuǎn)角，為正應(yīng)力，為線應(yīng)變。應(yīng)變捉能密樸度應(yīng)變節(jié)能和灑應(yīng)變緞能密懶度之充間的亦關(guān)系眉為式中絹，V為體劫積。第三握章虎能術(shù)量方紛法3.梁應(yīng)變者能17例3－3原為憐水平術(shù)位置場的桿智系如意圖a所示國，試蔽計算瞎在荷鑄載作用城下的血應(yīng)變眉能。器兩桿鐘的彈餐性模顧量均碰為,橫截桐面面期積均著為根。解：首先疤分析是力F和位槐移D之間據(jù)的關(guān)跨系，息求出F=f(D)的表達上式。違設(shè)兩臭桿的蹄軸力低均為FN，兩桿潔的伸梨長量雕和A點的崗位移筐分別為（1）第三形章墊能礦量方遼法(a)18將（1）式代搞入上式得由結(jié)千點A的平巧衡方夸程，糖得(2)為小角度，(4)第三拜章領(lǐng)能當(dāng)量方導(dǎo)法(3甲)由于所以19將（5）式螺代入猾（2）式堡，得或?qū)懗喑桑?）F和D的關(guān)隔系如蟲圖b所示欄。（5）第三躬章致能匠量方母法（6）將（4）式疫代入魄（3）式箭，得20

（1）由于力F引起的變形，對產(chǎn)生影響，形成F和D的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系——幾何非性。當(dāng)材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時——物理非線性。（2）幾何非線性時，不能用求應(yīng)變能，而只能用求應(yīng)變能。第三敘章鍬能喜量方度法桿的剝應(yīng)變?nèi)転樽⒁?1Ⅱ.余能第三摟章莫能慰量方賭法圖a為非掛線性認體彈揮性體答的受灘拉桿時，其F－D和s－e關(guān)系準(zhǔn)如圖b,篩c所示僅。（1）余功備的定揉義為（3－6）

22第三奇章受能逃量方崖法其大裕小為噴曲面OF1a的面戴積如授圖d所示腫。Wc和外島力功W具有清相同擦的量燒綱，叔且Wc為矩亦形OF1aD1的面速積與漏曲面OaD1的面奪積（W）之差紋（圖d）,故稱Wc為余弊功。Wc只有精幾何慨圖形毀上的同意義編，無招物理屋概念仰，即釋沒有逐什么散力作碗的功痰為Wc。FF1WcaWD1Do(d)23余能密度為（3－8）(3－7)和（3－8）式豆，分近別以F和s為自析變量此，D=妄f(F),e=f(s)。所以Vc=競f(F)為受猾力狀昌態(tài)的族函數(shù)驕。第三喚章供能羽量方央法VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）線辦彈性縣體（餐圖e）Ve和Vc數(shù)值螞相等茫，但桐概念為和計維算方捧法不傻同，狹即Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照,余能為（3－7）（2）余程能（3－9）余能為24例3－5圖a中兩嚴桿的衣長度椒均為l,橫截淋面面吊積均尺為A。材料償在單造軸拉次伸時選的s－e關(guān)系哪如圖b所示團。求自結(jié)構(gòu)聾的余否能。解：該題機為物溉理非樹線性保問題緞，需努用賊求Vc。第三識章你能矮量方肯法由結(jié)謊點C的平糧衡方借程，乘得二姻桿的射軸力解為應(yīng)力雹為25余能古密度秒為結(jié)構(gòu)氏的余不能為得第三每章鉗能缸量方適法（n>1）由26圖示閉梁的賢材料立為非氣線性陜彈性射體，F(xiàn)i為廣佩義力駝，Di為廣伏義位直移。短各力促同時荒作用歸在梁彼上，酷并按產(chǎn)同一輩比例弊由零國逐漸獲增加捐到最困終值紀(jì)（簡爹單加軟載）搜。Ⅰ.卡氏淹第一甘定理（3－10）第三章章明能艇量方暫法設(shè)各濁力和劫相應(yīng)伯位移巷的瞬趙時值鮮分別戀為fi,di，各力炊在其晴相應(yīng)換的位移內(nèi)上做柳功,并注償意到財材料罩為非采線性創(chuàng)彈性銷體，紐奉梁的門應(yīng)變劇能為§3－3卡氏私定理為位遭移狀姓態(tài)函蜂數(shù)。27假設(shè)陸與第i個荷貼載Fi相應(yīng)螞的位竊移Di有一坑微小除位移桌增量dDi，而與厲其余錫荷載煤相應(yīng)鼻的位喊移,以及廢各荷羨載均美保持花不變貧。外緊力功腐和映應(yīng)變扭能的揀增量逝分別叮為（dDi不是拳由Fi產(chǎn)生痕的，F(xiàn)idDi為常睛力做蜘的功）（a）第三考章弦能則量方告法(b)式中，為應(yīng)變能對位移的變化率。28（3－11）式為卡氏須第一偏定理。它糧說明不，彈性魚結(jié)構(gòu)嗎的應(yīng)慈變能犬，對于結(jié)們構(gòu)上秒與某滴一荷用載相津應(yīng)的局位移艇之變妥化率票，等晴于該文荷載配的值。以休上推滿導(dǎo)中叮并沒唇有涉闊及到削梁的轟具體善性質(zhì)圣，故肆（3－11）適躁用于徹一切受灑力狀摟態(tài)的悄彈性擇體。幼對于松線彈森性體肝也必怒須把Ve寫成輝給定藍位移雨的函鍵數(shù)形栽式。第三畏章鈔能漆量方拿法（3－11）得令29第三今章織能壞量方政法例3－8圖a所示松結(jié)構(gòu)葵中，AB累,B泊C桿中俯的橫販截面蟲面積喂均為A，彈性在模量掉均為E。兩桿須處于餅線彈牧性范數(shù)圍內(nèi)陶。試局用卡氏謎第一破定理，求B點的綠水平棚位移D1和鉛膜垂位熱移D2。30解：卡氏電第一慨定理翠要求灑把應(yīng)諷變能談寫成戒位移D1和D2的函去數(shù)，D1和D2是由AB意,B夢C桿的咬變形真量dAB,dBC所引艙起的次。首槍先分胳析dAB,dBC和D1和D2的幾傭何關(guān)穩(wěn)系。dAB=D1，dBC=A1co作s4朗5?=設(shè)B點只洗發(fā)生鬧鉛垂顯位移D2（圖c），由圖判可見第三屈章離能貍量方栗法設(shè)B點只腥發(fā)生樸水平緞位移D1（圖b），由圖巷可見31D1和D2同時島發(fā)生帳時，巷則有,（1）,由于價是線哀彈性艇問題棄，結(jié)歐構(gòu)的套應(yīng)變駐能為（2）第三拘章寸能束量方施法32（3）（4）聯(lián)立測求解盡（3）,（4），得可以采驗證（3）,（4）式相趣當(dāng)于灘平衡描方程宮。（→）,（↓）第三尊章島能飯量方艦法由卡拼氏第禍一定色理，委得33Ⅱ.卡氏賴第二壁定理圖示氧為非工線性五彈性凈桿，F(xiàn)i為廣縮慧義力饒，Di為廣小義位銜移。饒各力超按簡歡單加饑載方糖式作捐用在祥梁上垃。設(shè)個加載陵過程凱中各鑰位移語和相甲應(yīng)力矮的瞬價時值蛙分別擱為di，fi。梁的余能為（3－12）第三廟章晌能胳量方俱法表明(1遺)余能淋定理34令上式離稱為余能窩定理?？尚糜诳浊蠼獾诜蔷€練性彈悼性結(jié)市構(gòu)與Fi相應(yīng)稱的位拍移。(3－13)得第三林章嗚能律量方漁法設(shè)第i個力Fi有一特個增權(quán)量dFi，其余據(jù)各力蚊均保露持不綢變，博各位棒移均蜜不變。誦余功仿和余粒能的嫩改變燭量分撫別是35例3－9圖a中兩臉桿的獎長度堤均為l，橫截茫面面?zhèn)シe均承為A，材料癢在單壟軸拉難伸時亞的s－e的關(guān)柿系如彎圖b所示蹈。試聲用余能勺定理求結(jié)原點C的鉛辯垂位睜移D1。第三扇章兔能市量方振法36解：在例3－5中，筋已求絕出結(jié)尾構(gòu)的廊余能寬為由余誕能定映理得第三果章規(guī)能碰量方喪法設(shè)BC拴,C藍D桿的鼠伸長牧量為d，容易米驗上崗式的睛，即個為變形朽的幾漠何關(guān)穩(wěn)系。37由平奔衡方叮程得第三好章早能驚量方肉法兩桿潤的伸繞長量州為則BC樓,C乎D桿橫赴截面豬上的晚的應(yīng)終力為故38(2掙)卡氏腹第一駁定理筆和余煎能定漿理的奮比較

卡氏第一定理

余能定理第三坑章盲能朗量方陸法Di→Di+dDi，其它仗位移褲均不礦變，走所有少的力寨均不泄變。Fi→Fi+dFi，其它緞力均禮不變賞，所確有的荷位移別均不畏變。39

卡氏第一定理

余能定理

續(xù)表(平衡方程)第三叫章彼能李量方示法（變飲形的澆幾何蝦關(guān)系認）適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體40(3印)卡氏遇第二奪定理當(dāng)結(jié)擔(dān)構(gòu)為井線彈顛性體真時，霜由于票力F和位衣移D成正呀比，Vc在數(shù)鍬值上尤等于譽應(yīng)變均能Ve（如圖幣）。株若把余用賭力表父示，窗即（3－13）式可徹改寫樸成（3－14）上式閱稱為卡氏墾第二擦定理奏，它是挽余能暗定理努在線達彈性礎(chǔ)情況俘下的宵特殊衰情況恐。僅徒適用斜于線守彈性泥體，罩它將懶是研槍究的勺重點熟。第三噴章五能撕量方美法VcF1FD

D1

a(e)O41它表信明，線彈碧性結(jié)咳構(gòu)的誰應(yīng)變圍能，摘對于昏作用岸其上蒜的某糾一荷室載的賀變化去率，貌等于或與該荷恐載相宵應(yīng)的偵位移桿。注意:組合遣變形傅（不到計剪尚力的繡影響辛）時也可就以寫股成用該史式計住算時易，可速減少泥計算蠶工作備量。第三納章貪能曬量方印法42例3－10圖示熔梁的狠材料員為線先彈性續(xù)體，是彎曲桃剛度雁為EI，不計剪略力對波位移嗎的影響誓。試澡用卡氏淺第二授定理求梁A端的妖撓度wA。解：因為A截面逃處無蛛與wA相應(yīng)錦的集福中力認，不緣瑞能直懶接利下用卡藝氏第稍二定檔理，育可在A截面對上虛腔加一漂個與wA相應(yīng)鵲的集因中力F，利用趣卡氏植第二守定理債后，仰令F=0,即第三溪章涂能例量方岔法43梁的涌彎矩掠方程浪以及曠對F的偏橫導(dǎo)數(shù)汽分別姑為利用飾卡氏研第二泛定理利，得（和殲假設(shè)綱的F的指凈向一固致）這種披虛加F力的錯方法抹，也梳稱為壞附加剩力法職。(↓)第三綿章旱能技量方躁法這是因為為n個獨立廣義力的二次齊次式,其中也可以作為一個廣義力。44例3－11圖a所示梁的笨材料輝為線痰彈性察體，掏彎曲喝剛度姨為EI。用卡氏歐第二貓定理求中市間鉸B兩側(cè)沿截面谷的相挖對轉(zhuǎn)垮角額。邁不調(diào)計剪誕力對掏位移蟻的影很響。第三起章間能萍量方精法45在中傷間鉸B兩側(cè)霧截面藥處各悼加一死個外間力偶歡矩MB，并求角出擔(dān)在一渾對外浸力偶MB及q共同部作用畜下梁稅的支赤反力趨（圖b）。第三拿章族能誘量方榴法解：B截面器兩側(cè)向的相拿對轉(zhuǎn)馬角，聯(lián)就是碌與一律對外旱力偶MB相應(yīng)光的相止對角積位位移紫，即46（0<x≤l）梁的姻彎矩環(huán)方程吸及其居對MB的偏瓶導(dǎo)數(shù)擺分別兵為第三章章誼能臣量方糠法AB段47中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角為結(jié)果小為正困，表醫(yī)示廣惡義位川移的傘轉(zhuǎn)向該和MB的轉(zhuǎn)例向一芝致。(訊)第三騎章給能吧量方怖法（0≤x≤

l），BC段48第三狐章靠能葵量方甲法例3－12圖a所示榜為一殺等截神面開吐口圓壞環(huán)，語彎曲項剛度慕為EI，材料犁為線倍彈性勿。用卡氏午第二乓定理求圓戴環(huán)開仰口處激的張良開量D。不念計剪發(fā)力和鉤軸力鍬的影作響。49圓環(huán)物開口敢處的裳張量國就是漆和兩助個F力相明對應(yīng)除的相呼對線配位移編，即（←→）用

角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)受拉時彎矩為正，則彎矩方程及其對F的偏導(dǎo)數(shù)分別為第三召章紙能晴量方歡法解：，50結(jié)果府為正干，表友示廣岸義位譜移方富向和技廣義撫力的銀指向汪一致日。第三堅章幕能凱量方體法（）←→利用黃對稱進性，并由卡卵氏第昂二定嶼理，駱得51例3－13圖a所示Z字型化平面謀剛架賴中，和各桿茄的彎股曲剛貞度均歡為EI，材料為為線欠彈性曠，不初計剪僚力和料軸力狡對位幼移的嗓影響劇。用卡氏漠第二定畝理求A截面咱的水法平位鄉(xiāng)豐移DAx及鉛兔垂位率移DAy和A截面跑的轉(zhuǎn)角qA。第三子章漫能母量方身法52解：在A截面?zhèn)闾幪摫┘覨x，MA（圖b），粘則第三肉章堆能植量方蠶法各段睜的彎彎矩方艘程及測其對她各力著的偏察導(dǎo)數(shù)戰(zhàn)分別餐為M(x)=雪-Fx-MA(0≤x≤3a)，，AB段53第三秧章攏能訂量方桶法B

(c)M(x)F3FaxqABC段將力F向B截面幅簡化紋，得左到作鵲用于B的豎謀直力F和力股偶矩3Fa，F(xiàn)x和F在垂青直于BC桿方郊向上遣的力滑分別儀為Fxsi往nq，F(xiàn)co譽sq，指向洞如圖c中虛虹線所鵲示。54第三骨章判能安量方扇法B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，55M(x)=Fx4a－Fx－MA(0≤x≤3a)第三寨章扶能躁量方渣法CD段，，由卡銅氏第就二定飛理可謠得（←）56（↓）第三法章銅能凳量方閉法（）57

例

懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1

和w2。試證明：第三浙章綱能隱量方琴法w11FF2w2證明己：設(shè)作寄用在1,斤2兩截書面的井外力喜分別自為F1和F2，且F1=F,F2＝F，則梁籍的應(yīng)堆變能桃為Ve=Ve(F1,F2)。根據(jù)搜復(fù)合劑函數(shù)尾求導(dǎo)控法則蘿，有58第三繞章暢能狗量方仇法因此敗，若仰結(jié)構(gòu)葬上有那幾個陸外力銀的字著符相拉同時春，在怪利用誕卡氏散第二隨定理詠求其業(yè)中某已一力熊的作若用點潑沿該食力方永向的贊位移病時，蒼應(yīng)將狗該力愛與其弓它力嗓區(qū)分汗開。w11FF2w259例圖示使剛架座各桿騙的彎鄉(xiāng)豐曲剛框度均譜為EI，不計網(wǎng)剪力干和軸東力對柿位移賊的影筑響。庸試用卡氏盡第二沸定理求A截面嗓的鉛武垂位救移DAy。解：由于內(nèi)剛架倦上A,料C截面漏的外砍力均妙為F，求A截面桿的鉛橡垂位溫移時仁，應(yīng)尸將A處的舉力F和C處的禾力F區(qū)別魂開（嬸圖b），唐在應(yīng)舒用卡氏第枕二定狂理后旱，令FA=F。第三將章仰能贏量方堪法

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y260即AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx,各段死的彎癥矩方暑程及敲其對FA的偏介導(dǎo)數(shù)夕分別液為第三太章債能呢量方添法BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y261CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2,令以之上各意彎矩毒方程惕中的FA=F，由卡孩氏第攜二定外理得（↓）第三盛章樓能丈量方堤法62例圖示釘各桿盾的直席徑均魯為d，材料芒的彈院性常籃數(shù)G=0.衛(wèi)4E。試用卡氏賣第二崖定理求A端的權(quán)鉛垂鄙位移企（不暫計剪作力對叛位移榴的影土響）勒。解：AB段的酸彎矩點方程劫及其易對F的偏慶導(dǎo)數(shù)你分別襯為lCBAFlxxzyO第三慚章穩(wěn)能猜量方居法（0≤x≤l），63（0≤y啞≤俊l）A端的詞鉛垂烈位移冒為第三怨章墳?zāi)軓d量方左法，，（↓）BC段的即彎矩遇和扭范矩方愛程及量其對F的偏口導(dǎo)數(shù)固分別爛為64Ⅰ.卡氏眠第一旺定理忌（織）例各桿義的彈犁性模衰量均琴為E，橫截畏面面隙積均細為A。試用卡氏她第一酸定理求各暮桿的群軸力鐵。第三奮章職能喉量方黎法§3－4用能莊量法臭解超洞靜定串系統(tǒng)65(2衡)解：設(shè)1,妨2際,星3桿的皮軸力估分別血為,和（圖b），相應(yīng)諒的位遭移為D1,D2和D3（圖c）。由對恢稱性裁可知院，晨，D1＝D2。由圖c可知姥：第三匙章念能米量方兔法結(jié)構(gòu)維的應(yīng)總變能補為(1)若求恥出D3，可由燃（1）求馬出D1（D2）。再由穩(wěn)胡克功定律扒求出振軸力酬。以D3為基劫本未擊知量這，該犁題為桑一次此超靜遍定。66解得由胡旱克定距律得將（4）式尤代入墳（1）得(4)第三畫章身能托量方嘆法(3惱)得由，67以位磚移作奶為基按本未蔑知量蹤蝶求解散超靜姐定問緊題的辯方法壤，稱汗為位陪移法。（1）式為隸變形饒的幾桑何方禁程，（3）式為糊平衡嫌方程叨。求硬軸力食時又弊應(yīng)用稿了物凱理方枝程。故位懸移法緒仍然蘇是綜誦合考廟慮了糟平衡也方程,幾何由關(guān)系棕和物仇理方潛程來輸求解賊超靜鉆定問雙題的舟。第三花章很能網(wǎng)量方事法68解：若以穩(wěn)各桿籍的軸鍵力為爸未知勇量，尸該題雜為（k-2）次超老靜定貢問題詳。若容以A點的啞水平限位移Dx和鉛搬垂位研移Dy為未茂知量哪，各傍桿的殘位移丸均可差用Dx,Dy表示揉，再攔由胡疫克定慕律求灣出軸秘力，穗該題勢為二慈次超慌靜定嘗問題壞。第三谷章保能潔量方餃法例3－18圖a中k≥3。各桿恨的彈授性?？烤鶙墳镋，橫截廁面面屠積分除別為A1,A2…，Ak。試用卡氏隱第一唐定理求各撕桿的沈軸力碧。69第i根桿驢的長厲度為（1）由圖b可知須，第i根桿朗的伸誰長量捕為（2）結(jié)構(gòu)敲的應(yīng)失變能著為（3）第三靈章蓄能固量方釀法70由，得（5）聯(lián)解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根桿得軸力第三辮章狼能勝量方送法（4）71Ⅱ.余能定理（）例3－15三桿躬的材黎料相板同，s=Ke1/艦n(n>1)，橫截席面面俊積均它為A，1,暈2兩桿長耐度為l。用余能貝定理求各窮桿的質(zhì)軸力石。第三侵章環(huán)能藏量方虜法72第三預(yù)章伯能兄量方驢法解：以鉸爬鏈D的支注反力X為多依余未淘知力錯，基招本靜事定系名如圖b所示末，F(xiàn),那X看作貿(mào)基本訪靜定靈系上甘獨立抱的外驕力，所以Vc=Vc(F,嘩X)（不能太含有刪其它漁未知腔力）因為社鉸鏈D處沿款鉛垂標(biāo)方向催的位搏移為度零，徒應(yīng)有由該敬式求眉出X后，懇再利歡用平饅衡方哈程求蝦各桿喚的軸勒力。73(1桶)（軸屆力均萄用F和X表示借）第三工章膽能自量方松法由平非衡方爺程得頸各桿喜的軸薪力分讀別為各桿偉的應(yīng)孩力分絨別為(2福)(3奇)由得74第三馬章歐能濫量方紙法結(jié)構(gòu)師的余械能為(4假)三桿渡的余兔能密統(tǒng)度分轉(zhuǎn)別為75（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示變形的幾何關(guān)系。由，得將X值代塊入（1），頸得第三饅章?lián)屇苜I量方葬法以力意為基極本未垂知量占解超舒靜定筐問題騾的方求法，獅稱為彈力法紗。76Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理來解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨立的外力，應(yīng)變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即變形幾何關(guān)系為，Di為和

的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的已知量。第三精章田能淚量方獅法77例剛架且各桿米的彎刮曲剛技度均析為EI，不計巾剪力遵和軸凈力對產(chǎn)位移勢的影悉響，流用卡氏適第二轟定理求支兼反力探。第三虹章患能羽量方錢法CABqll(a)78解：該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X為多余未知力，基本靜定系如圖b所示。由于,但是在中，出現(xiàn)(Ve

也將出現(xiàn))，必須把第三揚章駁能嘆量方墨法CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得79CB慚,繼AB段的辜彎矩敲方程辮及其緊對X的偏零導(dǎo)數(shù)起分別核為，第三品章排能晨量方性法由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80解得（↓）和圖示方向相反。（↑）（←）（←）第三叢章史能減量方膛法由平軍衡條統(tǒng)件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81例3－17半圓酒環(huán)的衛(wèi)彎曲慕剛度嘩為EI，不計護剪力漁和軸鞠力對拼位移赤的影蠟響，扒用卡氏爭第二嗎定理求對僻稱截蠢面上體的內(nèi)擁力。第三臥章鋪能范量方鴿法82解：沿半誕圓環(huán)代的對博稱截釀面處脊截開皇，取強兩個1/吐4圓環(huán)緣瑞為基糕本靜幅定系朝（圖b)，多余敵未知留力為漏軸力X1,彎矩X2,剪力X3。該題產(chǎn)為三報次超刑靜定冠。第三而章壺能補量方昏法(a法)但由箭于結(jié)久構(gòu)與享荷載央均是撤對稱栗的，課內(nèi)力努也應(yīng)坊該是狂對稱軟的，煌但X3是反蹄對稱章的，怕故X3＝0，問題念簡化碗為二佛次超蹲靜定及。半焰圓環(huán)的應(yīng)掩變能刮只能患為F，X1，X2的函仙數(shù)，夸即83與X1，X2相應(yīng)領(lǐng)的位氧移條瞧件分歷別為岔兩截附面的艷相對蝦線位泳移和憐相對卻角位叉移為魄零，替即(b舉)彎矩鎖方程箱及其聽對X1，X2的偏微導(dǎo)數(shù)蛛分別張為第三否章西能窯量方鏈法(c)84注意孟到基觸本靜抽定系鹽為兩找個1/酷4圓環(huán)硬，(b)式成肺為(d)第三陰章它能決量方膀法(e)將(c猜)式代竭入(d乳)和(e臉)式，鮮可解依得85Ⅰ.虛位踏移原詞理第三場章快能炕量方匆法（1）剛勁體虛位罵移——滿足愧約束議條件村的假恰想的肯任意沈微小卷位移控。虛位客移原祥理——作用尋于剛涌體上今的力晚對于物任何免虛位呼移所野作的總功毛等于疑零（隱平衡蒜的必鋒要和涼充分膠條件快）。§3－5虛位鞋移原額理及恢單位蒜力法86第三象章俊能鳴量方揀法（2）可勤變形漂固體滿足粥約束舒條件定和變鋼形連詞續(xù)條風(fēng)件的冬假想紫的任坊意微小踐位移至?！饬沧饔觅e下，施物體繪產(chǎn)生憂變形粗的同擋時產(chǎn)眉生內(nèi)周力虛位越移——虛位蕉移原瓶理——外力商和內(nèi)叔力對荷于虛記位移陷所作附的總役虛功步等于松零（芽平衡稠的充賄要條雁件）但，即We（外力虛功）＋Wi（內(nèi)力虛功）＝0

（3－15）871.梁的鄭虛位化移原沫理第三省章徒能線量方暴法圖a所示眨的位芽移為孝由荷雄載產(chǎn)回生的群實際掠位移萌，簡眉稱實貿(mào)位移委。荷旱載對主于其收相應(yīng)淋位移紛上所按作的揭功為師實功蒙。圖b所示覆的位咸移為輪梁的虛位撤移，醉它是制滿足玩約束溜條件案和變爛形連牽續(xù)條屑件的經(jīng)假想影的任白意微濱小位難移，與梁濃上的辰荷載雙及其嶄內(nèi)力閑完全啞無關(guān)喇。(a)x實際位移實際撓曲線lxdxy(b)x虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy88第三手章右能知量方政法梁上廣義力的作用點沿其作用方向的虛位移分別為外力泉對于撓虛位雖移所定作的司總虛卵功為(a)(a玩)外力村虛功(b)x虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy(b踐)內(nèi)力諷虛功取梁醫(yī)的dx微段尖進行監(jiān)分析迎。圖c為微蘿段的靠原始核位置被，其刻上面肌各力助均由膀荷載忽產(chǎn)生允，它取們?yōu)檐埩旱镍P內(nèi)力顧，也幻玉是微塞段的仗外力捐。89由于澇梁的怒虛位單移，指使微刊段位棕移至鏈圖d所示位感置。箏微段誕的虛灘位移欲可分賣為兩責(zé)部分行：第三喬章仆能墻量方針法一為沫剛性匙體位別移。暫不計微段的變形，由于梁的其它部分的變形，而引起的微段的虛位移，微段由abcd位置移至。（圖d的實線）(d)(b)x虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy90第三求章大能率量方算法二為跌變形路虛位牙移。由于微段本身的虛變形而引起的位移，使微段由移到（圖d的虛線）。變形虛位移包括由彎曲和剪切產(chǎn)生的兩部分，如圖(e)和圖(f)所示。(d)(b)x虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy91(b廳)第三救章旬能絮量方之法

M、對于剛體虛位移要做虛功，但由剛體虛位移原理可知，所有外力對于微段的剛體虛位移所作的總虛功等于零。M、對于弓變形棍虛位銅移（鏡圖e,罰f），所做階的虛注功為92(b)式為顏微段下的外雹力虛揉功dWe，設(shè)微棋段的掉內(nèi)力勾虛功慢為dWi。由變狂形固炒體的顆虛位它移原洲理(3-夾15)，即

(c)梁的尚內(nèi)力普虛功吉為

(d)將(a)嗽,(宅d)式代坡入（3－15）式，北得梁巖的虛位后移原扎理表缸達式為第三分章疼能蘋量方機法得即(3-16)93組合思變形結(jié)時，臂桿橫題截面術(shù)上的篩內(nèi)力頂一般傳有彎朱矩M，剪羊力FS，軸腸力FN及扭醒矩T。與軸為力相艙應(yīng)的陜虛變庫形位滔移為鮮沿軸銷力方異向的甘線位壇移dd，與扭單矩相客應(yīng)的賄虛變壯形位音移為垮扭轉(zhuǎn)猾角dj。仿蹲照梁洪的虛仗位移苦原理錦，可某得組慰合變姨形時閑的虛坐位移每原理華表達軌式為(3-17)第三劫章蓮能桐量方傍法2.組合肆變形除的虛今位移睜原理由于器以上思分析家中沒膚有涉快及材微料的守物理撤性質(zhì)肉，所役以(3-增17)式適吩用于六彈性央體和多非彈盛性體疼問題禾。式躲中Fi為廣委義力榴，M嚷,熟FS,宰FN,盆T是由森荷載寫產(chǎn)生芝的內(nèi)弟力，案為廣虹義虛仇位移拖，dq,dl,dd,為微挑段的江變形拴虛位牛移。94Ⅱ.單位輔力法(1)因為朽由荷揪載引樓起的傲位移蘆，滿無足約羅束條考件和享變形狼連續(xù)命條件戴，且起為微輪小位航移，憤滿足臺可變倡形固井體的近虛位拿移條期件。順因此當(dāng)，可污以把予由荷待載引惕起的婚實際短位移D，作冬為虛剖位移眾。由臘荷載狂引起繁的微抽段的央變形方位移dq,dl,dd,dj作為刮變形師虛位曾移。艷即以實密際位塵移作請為虛仍位移撤。(2)

若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實際位移D，可在該處施加一個相應(yīng)的單位力，并以此作為單位荷載。即以虛設(shè)單位力作為荷載。由單位力引起的內(nèi)力記為。第三提章炒能厚量方漏法95（3）單位對力所妖做的顯外力涼虛功滴為We=1·D單位竊力法怨的虛候位移畏原理元表達犬式為(3-18)該式饅同樣率適用任于彈僅性體收和非傍彈性董體問史題。第三陷章解能屈量方商法桿件怪的內(nèi)時力虛盞功為96(3-19)于是(3-閥18)成為(3-20)式中為由單位力引起的內(nèi)力，為荷載引起的內(nèi)