直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題典型例題分析5565

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題典型例題分析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題典型例題分析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考考查的重點和熱點，涉及交點個數(shù)問題、弦的問題、對稱問題、最值問題、取值范圍問題等，現(xiàn)將其分類總結(jié)如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考。一、直線與圓錐曲線交點問題研究直線與圓錐曲線交點問題，通常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，將交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問題，利用判別式討論之．注意：（1）數(shù)形結(jié)合思想的運用；（2）在用到直線斜率時注意斜率不存在的情況；（3)在研究直線與雙曲線時注意直線與雙曲線的漸近線平行的情況。例1已知集合與集合M{(x,y)|ykx1}，當(dāng)為何值時①M∩N有兩個元kN{(x,y)|x29y29}素．②M∩N只有一個元素．③M∩N沒有元素．【解析】ykx1y消去整理(19k2)x18kx1802：由x29y29若19k20即k1，則(18k)2418(19k2)=36(29k2)3①當(dāng)0即2k且k1M∩N2時，有兩個元素．33320k②當(dāng)即M∩N時，只有一個元素．3由韋達定理知x2xb30xx112的中點，又∵在直線∴11M(,11M(,b)2222b)ABxy0上∴解得，11b022b1∴，∴，，xx20xx1xx212212由弦長公式．AB1k2|xx|112124(2)3212故選C【評析】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．三、參數(shù)的取值范圍問題這類問題有兩種方法，（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)適合的不等式(組），通過解不等式組求出參數(shù)的范圍；（2）將所討論的參數(shù)表示為關(guān)于另一個參數(shù)的函數(shù)問題，用求函數(shù)值域的方法求解。例3設(shè)、分別是橢圓的左、右x2y1FF2412焦點，過定點的直線與橢圓交于不同的兩M(0,2)l點、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點），ABAOBO求直線的斜率的取值范圍.lk【解析】：顯然直線不滿足題設(shè)條件，x0可設(shè)直線：，，ykx2lAx,yBx,y1222ykx2聯(lián)立，消去，整理得：14ykx4kx30x2y21224∴xx,xx4k3k21k21121244由又得：3或4k4k134k230kk3242200A0B900cosA0B0OAOB0∴OAOBxxyy01212又8k43k2k1yykx2kx2k2xx2kxx422k21k214k211212121244∵，即∴3k120k422k2k21k2144故由①、②得3或2k3k222【評析】為了求參數(shù)的取值范圍，用的是函數(shù)法．四、直線與圓錐曲線中的最值問題解決這類問題，通常結(jié)合圖形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，用求函數(shù)的最值的方法求解，注意函數(shù)的定義域和直線斜率不存在的情況。例4已知橢圓C:x，直線l與橢圓2y123、C交于AB兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.32【解析】：設(shè)，．A(x，y)B(x，y)1122（1）當(dāng)軸時，．AB⊥xAB3（2）當(dāng)與軸不垂直時，ABx設(shè)直線的方程為．ABykxm由已知，得．m33m(k1)2241k22把代入橢圓方程，整理得ykxm，(3k21)x26kmx3m230，．xx6km3k13(m1)2xx123k2112236k2m212(m21)AB(1k2)(1k2)(xx)22(3k21)23k121212(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k1)(3k1)22224．12k29k46k1121223633(k0)≤39k216k22當(dāng)且僅當(dāng)，即3時等號成立．當(dāng)時，19kk0k2k23AB3，綜上所述AB2．max當(dāng)最大時，面積取最大值1323△AOBABSAB22max【評析】本題是將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線斜率的函數(shù)問題，利用均值不等式求最值。五、直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的弦的問題對弦長問題，將其化為一元二次方程，運用韋達定理與弦長公式解之；弦的中點問題或中點軌跡問題常用參數(shù)法或平方差法處理之。y例5已知雙曲線21，求過點M（3，1）x24的弦的中點軌跡方程。【解析】：設(shè)過M（3，1）的弦的中點,P(x,y)弦的端點坐標(biāo)為A，B(x,y)1(x,y)212②y214y224x211x212xx2x∴①12③④①-②得yy2y12(xx)(xx)(yy)(yy)0121241212當(dāng)時，===，=yy4(xx)4xy1x3xxKK2112xxyyy12ABMP2112又∵A，B，M，P共線，∴=KKABMP即4x=y1，化簡得4xy212xy02yx3當(dāng)xx時，P（3，0）也適合12∴過M（3，1）的弦的中點的軌跡方程為4x2y212xy0【評析】本題是雙曲線的弦的中點的軌跡問題，用的是平方差法，本題也可用參數(shù)法。練習(xí)：1、已知以F1（2,0），F(xiàn)2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的x3y40長軸長為（A）（B）（C）（D）322627422、中心在原點，焦點在坐標(biāo)為(0，±5)2的橢圓弦的中點的橫被直線3x－y－2=0截得的坐標(biāo)為，則橢圓方程為()12A.2x22y212575B.2x22y217525xyx2yC.21D.212257575253、斜率為1的直線l與橢圓x2+y2=1相交4于A、B兩點，則|AB|的最大值為()A2BCD455410581054、拋物線上的點P到直線有最短y2xyx42的距離,則P的坐標(biāo)是A,(0,0)B,C,(1,1)2(1,1)2D,11(,)225、經(jīng)過拋物線y4x的焦點F的直線L與該2拋物線交于A,B兩點．（１）線段AB的斜率為k，試求中點M的軌跡方程；（２）直線的斜率k＞2，且點M到直線3x+4y+m=0的距離為，試確定m的15取值范圍．6、已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p(1)求a的取值范圍(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值7、已知傾斜角為的直線過點，若45°lA(1，2)直線與雙曲線相交于兩點，且線x2lC:y1(a0)E，F(xiàn)2a2段的中點坐標(biāo)為，求的值．EF(4，1)a答案1、C2、C3、C4、C5、(1)設(shè)A(直線AB的方程為x,y),B(x,y),2112y=k(x-1)(k≠0),代入得y4x,2kx-(2k+4)x+k=0．2222設(shè)M(x,y)，則xxxk22,122k2yy2y2.k12∴點M的坐標(biāo)為(．k222,)k2k于是消去k，可得M的軌跡方程為．y2x2(x0)2(2)由于k22d=342mkk21,55所以6813m,k2k即0＜＜11,得k20＜11,13m2即或1519m2m4,22故實數(shù)的取值范圍為．19(,2)2m6、(1)設(shè)直線l的方程為y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p∴4ap+2p2≤p2,即4ap24(ap)4a22≤－p2，又∵p＞0,∴a≤－p4(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==pyyxx2a1212xx12ap,y222∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點坐標(biāo)為(a+2p,0），點N到AB的距離為|a2pa|2p2從而S=1△當(dāng)a有最大值－p時，S有最大值為p2