高二數(shù)學(xué)人教A版選修一第一章 空間向量與立體幾何-小結(jié)練習(xí)含解析

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學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題

1.如圖，已知平行六面體，點是的中點，下列結(jié)論中錯誤的是()

A.B.

C.D.

2.已知向量，，且與互相垂直，則的值是()

A.B.C.D.

3.平行六面體中，為和的交點，若，，，則下列式子中與相等的是

A.B.

C.D.

4.已知為坐標(biāo)原點，，，，點是上一點，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為()

A.B.C.D.

5.在棱長為的正方體中，為的中點，為的三等分點靠近點，則點到平面的距離為()

A.B.C.D.

6.如圖，矩形、矩形、正方形兩兩垂直，且，若線段上存在點，使得，則邊長度的最小值為()

A.B.C.D.

7.已知矩形中，，，將矩形沿對角線折起，使平面與平面垂直，則()

A.B.C.D.

8.已知四邊形和均為正方形，二面角的大小為，則異面直線與所成的角的正弦值為()

A.B.C.D.

9.已知為坐標(biāo)原點，向量，點，若點在直線上，且，則點的坐標(biāo)為()

A.B.C.D.

10.如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則()

A.B.

C.D.

11.如圖，正方體的棱長為，對角線和相交于點，則()

A.B.

C.D.

12.如圖所示，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

13.如圖，正方體的棱長為，點，分別在直線，上，是線段的一個三等分點靠近點若，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

14.如下圖，在正方體中，為棱的中點，設(shè)與平面的交點為，則()

A.三點，，共線，且

B.三點，，不共線，且

C.三點，，共線，且

D.三點，，不共線，且

15.在棱長為的正方體中，，分別為，的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是()

A.點可以是棱的中點B.線段的最大值為

C.點的軌跡是正方形D.點軌跡的長度為

16.在棱長為的正方體中，點在棱上，，點是棱的中點，點滿足，當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，經(jīng)過三點的截面的面積為()

A.B.C.D.

二、多選題

17.如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則()

A.點的坐標(biāo)為

B.點關(guān)于點對稱的點為

C.點關(guān)于直線對稱的點為

D.點關(guān)于平面對稱的點為

18.設(shè)，，是空間一個基底，則()

A.若，，則

B.則，，兩兩共面，但，，不可能共面

C.對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使

D.則，，一定能構(gòu)成空間的一個基底

19.已知空間四點，則下列說法正確的是()

A.B.

C.點到直線的距離為D.，，，四點共面

20.如圖，在直三棱柱中，，，點，分別是線段，上的動點不含端點，且則下列說法正確的是()

A.平面

B.該三棱柱的外接球的表面積為

C.異面直線與所成角的正切值為

D.二面角的余弦值為

21.下列命題是真命題的有()

A.直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直

B.直線的方向向量為，平面的法向量為，則

C.平面，的法向量分別為，，則

D.平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則

22.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點是與的交點．下列選項中正確的有()

A.B.

C.直線與所成的角的余弦值D.平面與平面不垂直

23.如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是()

A.直線平面

B.三棱錐的體積為定值

C.異面直線與所成角的取值范圍是

D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為

24.已知圖中，，，，是正方形各邊的中點，分別沿著，，，把，，，向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個如圖所示的多面體，則()

A.是正三角形

B.平面平面

C.直線與平面所成角的正切值為

D.當(dāng)時，多面體的體積為

三、填空題

25.已知，，三點的坐標(biāo)分別是，，，，則點的坐標(biāo)是．

26.已知平行六面體中，，，．為的中點，則長度為．

27.已知為坐標(biāo)原點，，，，若點在直線上運動，則的最小值為．

28.如圖，在直三棱柱中，，，則異面直線與所成角為；二面角的余弦值是

29.已知點，，的坐標(biāo)分別是，，，點的坐標(biāo)為，若，，則點的坐標(biāo)為．

30.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則平面的一個法向量為，直線與平面所成角的正弦值為．

31.如圖，棱長為的正方體的頂點在平面上，三條棱都在平面的同側(cè)，若頂點到平面的距離分別為，，則頂點到平面的距離是．

32.在四棱錐中，四邊形為正方形，，，平面平面，，點為上的動點，平面與平面所成的二面角為為銳角，則當(dāng)取最小值時，三棱錐的體積為．

四、解答題

33.本小題分

已知空間中三點，，，設(shè)．

求向量與夾角的余弦值；

若與互相垂直，求實數(shù)的值．

34.本小題分

如圖，平行六面體中，與相交于，設(shè)、、，

用、、表示；

若、、三向量是兩兩成角的單位向量，求．

35.本小題分

如圖，在三棱柱中，，，，．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ若是棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值．

36.本小題分

如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點．

求直線到平面的距離；

求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

37.本小題分

在三棱錐中，已知，，為的中點，平面，，為中點．

求直線與所成角的余弦值；

若點在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．

38.本小題分

如圖甲，已知在長方形中，，，為的中點．將沿折起，如圖乙，使得平面平面．

求證：平面；

若點是線段上的一動點，問點在何位置時，二面角的余弦值為．

39.本小題分

已知空間中三點，，，設(shè)，

若，且，求向量；

已知向量與互相垂直，求的值；

求的面積．

40.本小題分

請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．

，與平面所成的角為，．

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，且，的中點．

在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，指出在上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由．

若__________，求二面角的余弦值．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

41.本小題分

在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，，．

求與平面所成角的正弦值；

在棱上是否存在一點，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由．

42.本小題分

如圖，平行四邊形中，為的中點，，連接，將沿折起，得到四棱錐，如圖，點在線段上，若平面．

求證：；

若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．

43.本小題分

如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點分別是的中點，是線段上的點．

求證：平面平面；

當(dāng)時，是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

44.本小題分

如圖，在平行四邊形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，點在線段上運動，且．

當(dāng)時，求異面直線與所成角的大小；

設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的基本定理的應(yīng)用，三角形法則以及平行四邊形法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

利用空間向量，結(jié)合空間向量的基本定理推出結(jié)果即可．

【解答】

解：

底面是平行四邊形可知：，所以A正確；

，所以不正確；

，所以C正確；

，所以D正確；

故選：．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積，考查向量垂直的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．

由空間向量垂直的坐標(biāo)運算直接計算求解即可得到答案．

【解答】

解：向量，，

則，，

因為，

所以，即，

解得．

故選D．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查空間向量的加減運算及數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題．

由題意可得，化簡得到結(jié)果．

【解答】

解：由題意可得

，

故選C．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的最值、空間向量的加減運算及數(shù)乘、空間向量的數(shù)量積運算．

根據(jù)題意，設(shè)，求出的坐標(biāo)，表示出，結(jié)合二次函數(shù)最值的求解，即可求出結(jié)果．

【解答】

解：點是上的一點，

設(shè)，

，，，

，

，

則，

當(dāng)時，取得最小值為，

此時點的坐標(biāo)為．

故選A．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系，空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示，空間中的距離的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中的距離的計算，求出點到平面的距離．

【解答】

解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

則

令，則，，

，

點到平面的距離．

故選A．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，線段最小值的求法，屬于拔高題．

建立坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)列方程得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)的范圍求出的最小值，從而得出的最小值．

【解答】

解：平面平面，平面平面，，平面，

平面，

又，

所以建立以，，為坐標(biāo)軸的空間坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，，則，即．

又，，

，，

，

顯然且，

，

，

，

當(dāng)時，取得最小值，

的最小值為．

故選D．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題．

過點，分別向作垂線，垂足分別為，，由，平方后結(jié)合長度和垂直關(guān)系可得解．

【解答】

解：過點，分別向作垂線，垂足分別為，，

則可得，，，，．

因為平面與平面垂直，且兩平面的交線為，

所以與平面垂直，則與垂直，

由于，

所以

，

所以．

故選：．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查求異面直線所成的角，屬于中檔題．

建立空間直角坐標(biāo)系求解．

【解答】

解：以為原點為軸，為軸，在平面內(nèi)作的垂線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，因為四邊形和均為正方形，

二面角的大小為，所以，

所以，，，

所以，，

故，

所以直線與所成的角的正弦值為．

故選D．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的基本定理的應(yīng)用以及利用空間向量解決垂直問題，屬于中檔題．

利用點在直線上，可得的坐標(biāo)為，然后利用，即可求解的坐標(biāo)．

【解答】

解：點在直線上，

，

且，

，

，

故點的坐標(biāo)為，

故選A．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的加減運算及數(shù)乘運算、考查空間向量的基本定理及應(yīng)用，屬于中檔題

根據(jù)空間向量的運算法則，化簡得到，即可求解．

【解答】

解：因為，可得，

根據(jù)空間向量的運算法則，可得

又由，，，

所以．

故選B．

11.【答案】

【解析】

【分析】

以，，為一組基底，利用空間向量的數(shù)量積運算逐項驗證即可．

本題主要考查空間向量基本定理及線性運算，屬于中檔題．

【解答】

解：以，，為一組基底，則

選項A：，故錯誤；

選項B：，故錯誤；

選項C：，故正確；

選項D：，故錯誤；

故選：

12.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于拔高題．

先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值即可．

【解答】

解：如圖，

設(shè)，，，棱長均為，

則，，，

，，

，

，

，

，

異面直線與所成角的余弦值為，

故選A．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，點與點的距離的求解，屬于中檔題．

以點為原點，為軸，為軸，為軸建系，可得，，，然后再進(jìn)行后面的求解即可得．

【解答】

解：以點為原點，為軸，為軸，為軸建系，

可設(shè)，，

所以，

所以可得，

所以點，

所以

，

因為，，

所以，

所以的取值范圍為，

故選B．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的基本概念，考查了空間向量的坐標(biāo)運算，屬于拔高題．

根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，求出點的坐標(biāo)，證明，即得，，三點共線，

【解答】

解：以正方體的頂點為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，

則，，，，

設(shè)點，

，，

又與共線，，

，

即

解得：

點，

，

又，

，

，，三點共線，且．

故選A．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查利用空間向量利用空間向量判定線線的垂直，立體幾何綜合題探索性問題、軌跡問題等，屬于較難題

以點為坐標(biāo)原點，分別以，，方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，對各選項逐項判定，即可求出結(jié)果．

【解答】

解：在正方體中，

以點為坐標(biāo)原點，分別以，，方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為該正方體的棱長為，，分別為，的中點，

則，

所以，

設(shè)，

則，

因為，

所以，即，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

取，

連接，，，，

則，

所以四邊形為矩形，

則，即，

又，平面，

所以平面，

又，

所以為的中點，

則平面，

所以為使，且點在正方體的表面上運動，

所以點的軌跡為四邊形，

因此點不可能是棱的中點，故A錯誤；

又，

所以，

則點的軌跡不是正方形，且矩形的周長為，故C錯誤，D正確；

因為點為中點，

則點為矩形的對角線交點，

所以點到點和點的距離相等，且最大，

所以線段的最大值為，故B錯誤．

故選D．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查立體幾何中的截面問題，屬于拔高題

解題時先根據(jù)二面角余弦值計算出的位置，然后根據(jù)面面平行性質(zhì)畫出截面，再分割截面求解面積即可．

【解答】

解：以為原點，，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系

則有，

設(shè)平面的法向量為，則有

取，可得，易知平面的一個法向量為

所以有，

解得：，所以為靠近的四等分點，根據(jù)面面平行性質(zhì)可作出截面如下

連接，過作交與，連接

過作交于，連接，則五邊形為所求截面如圖所示

圖

畫出截面圖圖

因為為為靠近的四等分點，，所以，，

，，所以，即與在同一水平面上，

，因為，易知為中點，

連接，將其分割為一個等腰三角形和一個等腰梯形

圖二

在三角形中，，

在等腰梯形中，

其面積為

綜上可得截面面積為

故選B．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了空間點的對稱性、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用空間點的對稱性即可得出．

【解答】

解：由圖形及其已知可得：點的坐標(biāo)為，

點關(guān)于點對稱的點為，

點關(guān)于直線對稱的點為，

點關(guān)于平面對稱的點為，

因此BC正確．

故選：．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查空間向量的基本定理及應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

利用，，是空間一個基底的性質(zhì)直接求解．

【解答】

解：由，，是空間一個基底，知：

在中，若，，則與不平行，但夾角不一定為，故A錯誤；

在中，，，兩兩共面，因為三個向量是基底，必須是不共面的向量，

所以，，不可能共面，故B正確；

在中，對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使，故C正確；

在中，由，，是空間一個基底，

所以與，共面；與，共面；與，共面；

即，，不共面，

所以，，一定能構(gòu)成空間的一個基底，故D正確．

故選：．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積與模的運算，空間向量的數(shù)量積等運算，屬于基礎(chǔ)題．

得出，即可分析，選項，運用等積法可分析選項，運用空間向量的共面定理可分析選項．

【解答】

解：由題意，，，

，故A正確；

，故B正確；

，，

由等面積法可得點到直線的距離為，故C正確；

假設(shè)，，，四點共面，則存在實數(shù)，滿足，即

而該方程組無解，故，，，四點不共面，故D錯誤；

故選ABC．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查線面平行的判定、球的表面積、異面直線所成角，利用空間向量求二面角，屬于較難題．

根據(jù)題意得到，利用平行的判定選項；確定三棱柱外接球的直徑，再計算球的的表面積即可判定選項；確定異面直線與所成角為，再計算正切值即可判定選項；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值即可．

【解答】

解：在直三棱柱中，四邊形是矩形，

因為，所以，

因為不在平面內(nèi)，平面，

所以平面，項正確；

因為，所以，

因為，所以，

所以，

連接，，設(shè)其交點為，連接，，，，

由直棱柱的性質(zhì)知平行四邊形是矩形，

，

又平面，平面，

則平面平面，

又平面平面，，

則平面，

又平面，則，

則是直角三角形，又為的中點，則，

同理，在直角三角形中，，

綜上所述，，

則為直三棱柱外接球的球心，

則是三棱柱外接球的直徑，

所以三棱柱外接球的表面積為，所以項錯誤；

因為，所以異面直線與所成角為．

在中，，，

所以，所以項錯誤；

二面角即二面角，

以為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則，

，，，

設(shè)平面的法向量，

，即

令可得；

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即

令可得，

故二面角的余弦值為，所以項正確．

故選AD．

21.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查利用平面的法向量判斷線面關(guān)系、面面關(guān)系，屬于中檔題．

根據(jù)直線、的方向向量與垂直，得出；根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直，不能得出；根據(jù)平面、的法向量與不共線，不能得出；求出向量與的坐標(biāo)表示，再利用平面的法向量，列出方程組求出的值．

【解答】

解：對于，，，

，

，

直線與垂直，A正確；

對于，，，

，

，

或，B錯誤；

對于，，，

不共線，所以與不平行，故C錯誤；

對于，點，，，

，向量是平面的法向量，

，即，則，D正確．

故選AD．

22.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的線性運算，空間向量數(shù)量積及應(yīng)用，考查推理判斷能力，屬于拔高題．

借助向量的線性運算，數(shù)量積，逐個判斷即可．

【解答】

解：中，

，故A正確；

設(shè)，

則，

，

．

中，

．

故，故B錯誤；

中，由，

，

，

，故C正確；

中，取的中點，連接，則，

，，

且

，又，，平面，

平面，

平面，

平面平面

故D錯誤，

故選AC．

23.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查線面垂直的判定，異面直線所成角，線面角等，考查空間想象能力及邏輯推理能力，屬于拔高題．

在選項A中，推導(dǎo)出，，從而直線平面；在選項B中，由平面，得到到平面的距離為定值，再由的面積是定值，從而三棱錐的體積為定值；在選項C中，可得異面直線與所成角的取值范圍是在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．

【解答】

解：在選項A中，

，，，

且，平面

平面，平面，

，

同理，，

，且，平面，

直線平面，故A正確

在選項B中，

，平面，平面，

平面，點在線段上運動，

到平面的距離為定值，又的面積是定值，

三棱錐的體積為定值，故B正確

在選項C中，

，異面直線與所成角為直線與直線的夾角．

易知為等邊三角形，

當(dāng)為的中點時，；

當(dāng)與點或重合時，直線與直線的夾角為．

故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤

在選項D中，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為，，則，，

，．

由選項正確：可知是平面的一個法向量，

直線與平面所成角的正弦值為：

，

當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確．

故選ABD．

24.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查幾何體的體積、線面垂直的性質(zhì)、異面直線所成角，屬于拔高題．

對于，利用折疊之后圖形變換即可判斷，對于和，利用空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，即可得到答案，對于，根據(jù)空間幾何體的體積公式可得答案．

【解答】

解：因為，在平面的射影分別為，中點，

所以在圖中，，由圖可知，，故A正確；

對于和，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則有，，，，，

可知，，，

設(shè)平面的法向量，

則，即

令，則，，，

同理可得，平面的一個法向量，

平面的一個法向量，，

所以平面和平面不相互垂直，所以B錯誤；

記直線與平面所成角為，

，

所以，故C正確；

對于，當(dāng)時，下底面面積為，上底面面積為，高為，

所以所求多面體的體積為，故D錯誤．

故選AC．

25.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的加減運算及數(shù)乘運算的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)，根據(jù)題干條件，求出，，，進(jìn)而可得結(jié)果．

【解答】

解：，設(shè)，

則，

，，，

．

26.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積運算及其應(yīng)用，屬于中檔題．

由題意得，，根據(jù)向量模的計算公式即可求解．

【解答】

解：因為，

所以，由條件得：

，

所以，即長度為．

故答案為．

27.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運算，是中檔題．

先由題意，設(shè)，，再由題中數(shù)據(jù)，得到，，，推出

，，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求出結(jié)果

【解答】

解：因為點在直線上運動，可設(shè)，，

因為，

所以，即

又，，

所以，，

因此，，

所以

，

所以當(dāng)時，取最小值為．

故答案為．

28.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查異面直線所成的角及二面角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于較難題．

根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，借助于空間向量夾角公式可得．

【解答】

解：直三棱柱中，，

，，，

如圖以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，，，

，

異面直線與所成角為；

設(shè)平面的法向量為

則即

令，則，，，

顯然平面的一個法向量為，

，

因為二面角為銳二面角，

故二面角的余弦值是．

故答案為．

29.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運算，向量垂直的關(guān)系，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．

利用已知條件，設(shè)，求出，利用，，數(shù)量積為，建立方程，求解即可得到點的坐標(biāo)．

【解答】

解：，，，，

，，．

，，

，

，

點的坐標(biāo)為．

故答案為．

30.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了空間平面、線的法向量、方向向量，線面角，屬于中檔題．

在直線上任取兩點，得出直線的方向向量，根據(jù)平面的方程得出平面的法向量，根據(jù)求出法向量與方向向量的夾角得出線面角的大小．

【解答】

解：平面的方程為，平面的法向量可取

平面的法向量為，平面的法向量為，

設(shè)兩平面的交線的方向向量為，

由取，

則直線與平面所成角的大小為，

．

故答案為；

31.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查點到平面的距離，利用空間向量解答相關(guān)問題時，正確建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．

以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個法向量為，利用點面距離公式建立方程，得到、、的關(guān)系，進(jìn)而得到點到平面的距離．

【解答】

解：如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，．

設(shè)平面的一個法向量為，

則點到平面的距離，

點到平面的距離，

由可得，，

所以點到平面的距離．

故答案為．

32.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查二面角，面面垂直以及錐體體積，空間向量法的應(yīng)用，屬于拔高題．

以建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量結(jié)合平面與平面所成的二面角為，即可求解的最大值此時最小，進(jìn)而即可求解此時三棱錐的體積．

【解答】

解：平面平面，，

平面平面，平面，則平面，

平面，所以，又，

所以以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

所以，

因為，，又，且、均在平面內(nèi)，所以平面，

所以易得是平面的一個法向量，

而，

設(shè)平面的法向量為，

所以，取，則，

所以，

當(dāng)取最小值時，最大，

又，

故時，最大，

所以三棱錐的體積，

故答案為．

33.【答案】解：，，

所以，

，

．

所以，

則與的夾角的余弦值為；

，

因為與互相垂直，

所以，

解得．

【解析】此題考查空間向量的坐標(biāo)運算和向量的夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量的坐標(biāo)運算，和向量的夾角公式計算即可；

利用與互相垂直，可得，即可解得的值．

34.【答案】解：，

，，

．

．

【解析】本題主要考查空間向量的加、減運算、空間向量的數(shù)量積和空間向量的模，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)空間向量的運算法則直接計算即可．

由，由空間向量的數(shù)量積展開計算即可．

35.【答案】證明：Ⅰ在三棱柱中，，，又，，平面，

平面，又平面，，

，，

，，，

又，，平面，平面．

Ⅱ解：由Ⅰ知，直線，，兩兩互相垂直，

以為原點，分別以、、所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，，

設(shè)平面的法向量，

則，所以，

取，則，

又，設(shè)直線與平面所成角為，

則．

直線平面所成角的正弦值．

【解析】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．

Ⅰ推導(dǎo)出平面，，，由此能證明平面．

Ⅱ以為原點，分別以、、所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線平面所成角的正弦值．

36.【答案】解：以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，．

，，

，，．

，

，

平面，平面，

平面，

點到平面的距離即為直線到平面的距離，

設(shè)平面的法向量為，

則

取，則，，

，

又，

點到平面的距離為．

設(shè)平面的法向量為，

則

，得

取，則，

，

，

平面與平面所成銳二面角的余弦值．

【解析】本題主要考查的是利用向量求空間中的距離、線面平行的判定以及二面角，屬于中檔題．

首先以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系寫出各個點坐標(biāo)．

先證得平面，得到點到平面的距離即為直線到平面的距離，再計算得到平面的法向量，利用向量法可求得點到平面的距離．

首先求出平面的法向量，由得到平面的法向量，利用向量法即可計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

37.【答案】解：如圖，連接，，為的中點，．

以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

，，則．

，，，，

是的中點，，

，．

設(shè)直線與所成角為，

則，

即直線與所成角的余弦值為；

，，

設(shè)，則，．

，，．

設(shè)平面的一個法向量為，

由，取，得；

設(shè)平面的一個法向量為，

由，取，得．

．

．

【解析】本題考查利用空間向量求空間角，考查運算求解能力，是中檔題．

由題意畫出圖形，連接，由已知可得，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，得到，，設(shè)直線與所成角為，由兩向量所成角的余弦值，可得直線與所成角的余弦值；

由，得，設(shè)，由向量等式求得，進(jìn)一步求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．

38.【答案】證明：，

，

，，

，，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，，

且，平面，

平面．

解：取的中點，連接，

則平面，

取的中點，連接，則，

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，

設(shè)，

因為平面的一個法向量，

設(shè)平面的一個法向量為，

則

可得

再由，

得，

舍，

所以為的靠近點的五等分點

【解析】本題考查面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定，考查空間向量的應(yīng)用，屬于拔高題．

先證明，再利用平面平面，證明平面，從而可得，又，即可得到平面；

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面、平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角的余弦值為，即可得出結(jié)論．

39.【答案】解：，由于，

設(shè)，

故，

解得，

故為或；

，

，

由于與垂直，，

則；

依題意，，，

故由余弦定理得，，

所以，

故三角形面積為．

【解析】本題考查空間向量的平行，垂直及坐標(biāo)運算，空間向量的數(shù)量積和夾角，三角形的面積公式等，屬中檔題．

推導(dǎo)出的坐標(biāo)，，利用求得，能求出結(jié)果；

求出，的坐標(biāo)，利用數(shù)量積運算列式求；

求出，的坐標(biāo)，求得數(shù)量積和模，利用數(shù)量積運算求得，進(jìn)而得，然后利用三角形面積公式計算．

40.【答案】解：在線段上存在中點，使得平面，

證明如下：設(shè)的中點為，連接，

則，

又，

所以

故四邊形為平行四邊形，則，

又平面，平面，

所以平面．

選擇

由題意可知，、、彼此兩兩垂直，

故以、、分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，

則，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，可得，

平面的法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，

則，

即二面角的余弦值為

選擇：

因為平面，取中點，連結(jié)，取的中點，連接，，

則，且，

所以平面，

則與平面所成的角為，故，

在直角三角形中，，

又因為，故，

所以，所以，，彼此兩兩垂直，

故以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，

所以，，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，可得，

平面的法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，為銳角，

則，

即二面角的余弦值為．

選擇

因為平面，平面，所以，

取中點，連接，

因為底面是菱形，，所以是正三角形，

又是的中點，所以，

所以、、彼此兩兩垂直，

故以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，

所以，，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，求得，

平面的法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，為銳角，

則，

即二面角的余弦值為．

【解析】本題考查線面平行的判定，考查利用空間向量求面面的夾角的余弦值，屬于中檔題．

在線段上存在中點，設(shè)的中點為，連接，易證四邊形為平行四邊形，即可得，由線面平行的判定定理可得平面，即可得結(jié)論；

選擇以、、分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，設(shè)平面的法向量為，求得，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，計算可得二面角的余弦值；

選擇：取中點，連接，取的中點，連接，，則，且，可得與平面所成的角為，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，可得，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，計算可得二面角的余弦值；

選擇取中點，連接，可得、、彼此兩兩垂直，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，求得，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，計算可得二面角的余弦值．

41.【答案】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

所以，，．

設(shè)平面的一個法向量為，

所以，可得．

令，則，所以．

設(shè)與平面所成角為，則

，

所以與平面所成