浙江省2022-2023學年下學期高中數學競賽六校第二次聯(lián)考一試和加試試題PDF版含解析

第第頁浙江省2022-2023學年下學期高中數學競賽六校第二次聯(lián)考一試和加試試題（PDF版含解析）2022學年第二學期數學競賽六校第二次聯(lián)考

加試解答

一．（本題滿分40分）給定正整數n3，1a1a2an是整數，滿足

n

a1ii是不同的整數，證明：2．

{0,1}i1aii

1

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

2

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

二．（本題滿分40分）如圖，DABC的內切圓I分別切AC,AB于點E,F，

CF交圓I于點K，A在CF上的投影為點L．設M為EF的中點，H為DLMK的

垂心，證明：AHEK．

注：答題時請將圖畫在答卷紙上．

證明：由AMEF知∠AMF=90°=∠ALF，得A、M、L、F四點共圓．于

是知∠MLK=∠FAI．

設HM交CF于點N，AI交CF于點S．顯然SM⊥FM、MN⊥SF，知

∠SMN=∠SFM．

另一方面，∠FKH=90°-∠MLK=90°-∠FAI=∠AEF=∠FKE，知K、E、H

三點共線．

于是∠AEH=∠CEK=∠EFK=∠SFM=∠SMN=∠AMH，知A、H、E、M

四點共圓．由∠AME=90°知∠AHK=90°成立，故AH⊥EK．

三．（本題滿分50分）給定正整數n3．對一個n階完全圖的邊三染色，

求最小的正整數k，使得無論初始時如何染色，總可以選出k條邊，并將它們的

顏色變?yōu)橥环N，使得圖關于該種顏色的邊連通．

n

解：先證明k3

．

1,2,3nA,B,CABn設三種顏色為，將階完全圖的頂點集劃分，使得

3

．

按如下方式染色：將A中頂點之間連的邊染顏色1，B中頂點之間連的邊染

顏色2，C中頂點之間連的邊染顏色3，A與B之間頂點連的邊染顏色1，B與C

之間頂點連的邊染顏色2，C與A之間頂點連的邊染顏色3．

若變色后得到染顏色1的邊形成連通圖，由于C中頂點發(fā)出的邊均染顏色2

或3n，于是變色的邊數不小于C3

．

同理，若變色后得到染顏色2或3的邊形成連通圖，則變色的邊數也不小

nn

于.故k3

．

3

3

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

kn再證明當時滿足要求．3

對n歸納．當n=3時結論顯然成立．假設n-1時成立，考察n時的情形．

若某頂點發(fā)出的邊三種顏色都有，則對其余n-1個點用歸納假設得，可通過

n1

改變條邊的顏色得到同色連通圖．3

若某頂點發(fā)出的邊只有一種顏色，則圖關于該種顏色的邊已連通．

若所有頂點發(fā)出的邊均恰有兩種顏色，記A為所有發(fā)出的邊均染顏色1或2

的頂點組成的集合，B為所有發(fā)出的邊均染顏色2或3的頂點組成的集合，C為

所有發(fā)出的邊均染顏色1或3的頂點組成的集合．

n

不妨設ABCA，則．

3

若B=，則A=，于是所有邊均染顏色1或3．此時相當于對完全圖的

邊二染色，歸納易證圖關于某種顏色的邊連通．

若B，則B與C之間頂點連的邊均染顏色3，因此BUC可由顏色3連

通.此時，任取B中一個頂點，將A中所有頂點與該頂點連的邊的顏色均變成顏

色3n，則圖變?yōu)檫B通的，且變色的邊數不超過A.歸納證畢．3

n

綜上所述，所求k的最小值為3

．

四．（本題滿分50分）設p為素數，數列{un}定義為：

unn,0np1,

unpun1punp,np.

證明：vp(un)vp(n)．

注：vp(m)表示使得p

k|m的最大整數k．

4

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5

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}

6

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7

{#{ABSQogiAQBJAARhCEQVyCAOQkAGCCAgOwBAMoAAAiQFABAA=}#}機密★啟用前

2022學年第二學期數學競賽六校第二次聯(lián)考

加試試題

一.（本題滿分40分）給定正整數n≥3,1≤a,∑5a,是不同的整數，證明：10,故f)在(0，+o)上為增函數，而

ln(1-x2)-2x2=1即為2(1-x2)+ln(1-x2)=3,由題可得f(x)=f(1-x2),所以x=1-x2,

即x+x2=1.

2,已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的

球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為

答案：4

27

解：設該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為r,設四

邊形ABCD對角線夾角為a,則Sm=4C.BD-sina≤分4CBD≤2r2r=2,

(當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立)即當四棱錐的頂點O到底面

ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為22，

又設四棱錐的高為h,則r2+h2=1,

%m2h=5P2

r2+r2+2h2

3

45

3

3

27

當且僅當=2辦即A=5時等號成立。

3.設復數z=(a+i)∈R,且13,不符題意：

放0-±，此時-1e51=9+r-傳r等e,符價題意

3

3

[方法二]

設復數a+i的輻角Arg(a+i)=B,則由復數乘法的幾何意義可知，：的輻角為6，由于

:ER,故60=k,k∈Z,即日=k,k∈Z.

6

因此

1-tand=t

nkr(keZ且k≠士3,9，士15，…)，或a=0.

6

于是a=0,a=±9，a=v5。后同方法-

4.設鈍角a滿足cosB=3cos(2a+B),則tan(2au+B)的最大值為

答案：-2W2.

解：因為cosB=3cos(2a+B),則cos(2a+B)-2a=3cos(2a+B),所以

cos(2a+B)cos2a+sin(2a+B)sin2a=3cos(2a+B),

sin(2a+B)sin2a=cos(2a+P(3-cos2a）,于是有tan(2a+f)=s血(2a+A）_3-cos2a

cos(2a+B)sin2a

所以tan(2a+p)=3cosa+3sina=cosa+sin2a_4tana+2=2tana+L,因

2sinacosa

2tand

為a為鈍角，所以tana0,6>0)的左右焦點分別為F,F,P為雙圍

線右支上的一點，Q為△FF,P的內心.若2QE+3QF,=4PQ,則M的離心率

為

7.己知數列{an}滿足a=1且an+1若S=2023,則正整數m可能取值的個數為

8.袋中裝有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中一次性隨機取出

兩個球，設兩球標號為x和y,并記4=x+,出=k-.將球放回袋中，重

復上述操作，得到4，和y·設平面向量n=(4,y),n2=(42,V2),則乃與乃2能構成

基底{n,2}的概率為

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分，解答應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

9.(本題滿分16分)在△ABC中，BC=2,AB=2AC,D為BC的中點，

求tan∠ADC的最大值.

10.(本題滿分20分)已知xn={V2n}(n∈N),其中{x}=x-[x],[x]表示

不超過實