數(shù)學(xué)建?！稊?shù)學(xué)模型》課件

第二章數(shù)學(xué)建模初步2.1數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模2.2數(shù)學(xué)建模的步驟和方法2.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例分析2.4數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi)2.5數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)方法

與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽簡(jiǎn)介第二章數(shù)學(xué)建模初步2.1數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模1玩具、照片、飛機(jī)模型……~直觀(guān)模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征2.1數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模我們常見(jiàn)的模型玩具、照片、飛機(jī)模型……~直觀(guān)模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)2你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“行程問(wèn)題”解：設(shè)甲、乙速度分別為x、y，列出方程組：答：甲速為86米/分，乙速為74米/分.A、B兩地相距960米，甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)。若相向行走，6分鐘相遇；若同向行走，80分鐘甲追上乙。問(wèn)甲、乙速度各為多少?x=86y=74求解你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“行程問(wèn)題”解：設(shè)甲、乙速度分別為x3行程問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（甲、乙速度為常數(shù)）；用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示甲速和乙速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程組）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=86,y=74）；回答原問(wèn)題（甲速為86米/分，乙速為74米/分）。行程問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（甲、乙速度為常4數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)建立數(shù)學(xué)52.2.1數(shù)學(xué)建模的基本步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)建模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用2.2數(shù)學(xué)建模的步驟與方法2.2.1數(shù)學(xué)建模的基本步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)建模型求62.2.2數(shù)學(xué)建模方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀(guān)事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映

內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”，通過(guò)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型綜合分析用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，用測(cè)試分析確

定模型參數(shù)2.2.2數(shù)學(xué)建模方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀(guān)事物特性的72.3數(shù)學(xué)建模示例2.3.1方桌問(wèn)題模型假設(shè)四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線(xiàn)呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)面;

把椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)。然而只需稍微挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，就放穩(wěn)了。為什么？2.3數(shù)學(xué)建模示例2.3.1方桌問(wèn)題模型假設(shè)四條腿8模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線(xiàn))的對(duì)稱(chēng)性用

(對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離xBADCOD′C′B′A′

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子9f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(

),g(

)至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意

，f(

)?g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(10模型求解將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線(xiàn)AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子？

和f(

),g(

)的確定模型求解將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線(xiàn)AC和BD互換。評(píng)注和思考建112.3.2席位的公平分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問(wèn)題三個(gè)系學(xué)生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10,6,4席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系,三系人數(shù)為103,63,34,如何分配20席?若代表會(huì)議增加1席，如何分配21席?比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.000212.3.2席位的公平分配系別學(xué)生比例12背景Hamilton(比例加慣例)方法------1792年美國(guó)國(guó)會(huì)用于分配各州眾議員名額已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N.記qi=Npi/P,稱(chēng)為第i方的份額(i=1,2,…,m)各方先分配qi的整數(shù)部分[qi],總余額為記ri=qi-[qi],則第i方的分配名額ni為背景Hamilton(比例加慣例)方法------已知:13Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,pm不變,N的增加會(huì)使某個(gè)ni減少(上例).系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,pm14Hamilton方法的不公平性2.N不變,pi比pj的增長(zhǎng)率大,會(huì)使ni減少nj增加(下例).pinii=110310i=2636i=3344總和20020pi1146338215增長(zhǎng)率10.6%11.7%

ni116320Hamilton方法的不公平性2.N不變,pi比pj的15“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5實(shí)際上右面對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖然左右兩種情況的絕對(duì)不公平度相同.若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)16公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席,若增加1席,問(wèn)應(yīng)分給A,還是B?不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平.~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類(lèi)似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義公平分配方案應(yīng)使rA,rB盡量小設(shè)A,B已分別有n171）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況:初始p1/n1>p2/n2

問(wèn)：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B“公平”分配方法1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A218當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位計(jì)算該席給Q值最大的一方Q

值方法“公平”分配方法當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),19三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席Q2,Q3同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將120模型的公理化研究Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的公理(1974)份額qi=Npi/P,分配名額ni

=ni(N,p1,…,pm)已知p1,p2,…,pm,P,N1)[qi]

ni

[qi]+1

(i=1,2,…m)~公平分配性2)ni

(N,p1,,…pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)~名額單調(diào)性模型的公理化研究Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分21“比例加慣例”方法滿(mǎn)足公理1，但不滿(mǎn)足公理2.Q值方法滿(mǎn)足公理2,但不滿(mǎn)足公理1（如下例）.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4不存在滿(mǎn)足上述公理的席位分配方法(1982)“比例加慣例”方法滿(mǎn)足公理1，但不滿(mǎn)足公理2.Q值方22公平的席位分配建立“公平分配席位”模型的關(guān)鍵是建立衡量公平程度的數(shù)量指標(biāo).在以相對(duì)不公平度為衡量指標(biāo)的前提下,Q值方法比“比例加慣例”方法更加公平.如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原則，那么該問(wèn)題尚未解決——已證明不存在滿(mǎn)足一組公理的席位分配方法.

公平的席位分配建立“公平分配席位”模型的關(guān)鍵是建立衡量公平23年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)2.3.3人口發(fā)展問(wèn)題年162518301924指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)中學(xué)數(shù)學(xué)思想x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)?指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)中學(xué)數(shù)學(xué)思想x(t25阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增26dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線(xiàn),x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線(xiàn),x27參數(shù)估計(jì)用阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r,xm利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合（用MATLAB軟件）例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滯增長(zhǎng)模型r=0.2557,xm=392.1參數(shù)估計(jì)用阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二28模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)x(2010)=306.0令t=2000，r=0.2557,xm=392.1相對(duì)誤差為2.5%模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為229例

商人們?cè)鯓影踩^(guò)河?問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人搶貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)例商人們?cè)鯓影踩^(guò)河?問(wèn)題(智力游戲)3名30模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸31模型求解窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.d1,，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}模型求解窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)32應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、幾何、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特性?xún)?yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線(xiàn)性和非線(xiàn)性離散和連續(xù)2.4數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分3