彈性力學(xué)課件一三

第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—1極坐標(biāo)中的平衡微分方程求解平面問(wèn)題時(shí)，對(duì)于圓形、楔形、扁形等物體，用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便得多，平面內(nèi)任一點(diǎn)的位置，用徑向坐標(biāo)r及環(huán)向坐標(biāo)

來(lái)表示如何建立極坐標(biāo)中的平衡微分方程？從物體（薄板或長(zhǎng)柱體）中取出一微單元PABC，如圖所示，其厚度為1

drPABCxyoKrK

應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定與直角坐標(biāo)中一致建立平衡方程：整理簡(jiǎn)化后得：（2）建立平衡方程：整理簡(jiǎn)化后得：（2）極坐標(biāo)下平面問(wèn)題的平衡微分方程：基本宰未知驚應(yīng)力朗分量慶：

r、

、r=債

r4—弄2意極坐華標(biāo)中侵的幾定何方扮程和鑼物理貨方程一、倡幾何贈(zèng)方程在極宴坐標(biāo)鬧中，

r代表韻徑向匪應(yīng)變量，

代表蔑環(huán)向玩應(yīng)變章，r代表勻剪應(yīng)惠變，ur代表梢徑向進(jìn)位移叢，u

代表正環(huán)向降位移要確虜定幾萬(wàn)何方踏程，柱過(guò)P點(diǎn)取眉圖示揚(yáng)隔離饞體PA照B，如圖外所示其總倆變形澆可由禽兩種較變形方相疊訂加：（1罩）假鐮定只折有徑書(shū)向位植移，霞無(wú)環(huán)施向位怎移PABxyo

drP`B`A`徑向扮正應(yīng)仇變：環(huán)向腸正應(yīng)世變：PABxyo

dP’B’A’rPA的轉(zhuǎn)角：PB的轉(zhuǎn)角：xAPByo

dr（2）假定只有環(huán)向位移，無(wú)徑向位移A”P(pán)”B”剪應(yīng)變：徑向正應(yīng)變：環(huán)向正應(yīng)變：PA的轉(zhuǎn)角：PB的轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變：當(dāng)徑榴向和術(shù)環(huán)向稅都有刃位移鋼時(shí)，溜總應(yīng)咐變?yōu)殡`：這就貌是極傾坐標(biāo)冶中的跑幾何鋒方程二、蹄物理專方程由于開(kāi)極坐蘿標(biāo)和怠直角燦坐標(biāo)歸都是倦正交彈坐標(biāo)鋪，所蝦以極皇坐標(biāo)桑中物碑理方箭程與使直角忍坐標(biāo)蛾中的惠物理酸方程高具有著相同瀉的形牌式：附（平似面應(yīng)倆力情避況）平面感應(yīng)變繞情況濤下的濫物理?yè)醴匠糖冢?—序3村極坐踏標(biāo)中拳的應(yīng)叼力函迎數(shù)和烤相容瞎方程可利用坐標(biāo)變換，將直角坐標(biāo)下的相容方程變換成極坐標(biāo)下的相容方程極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：xyo（x，y）xyr

由此得：是x、拔y的函禿數(shù)，典也是r、斑

的函俘數(shù)，毀所以重復(fù)皺上述蒙運(yùn)算種：同理劫：將上策式相序加得別：直角互坐標(biāo)催下的持相容兔方程趣為：所以孩，極勺直角絡(luò)坐標(biāo)掀下的妥相容愁方程綱為：是光極坐習(xí)標(biāo)下餃的應(yīng)豈力函啟數(shù)，宣是r、病

的函油數(shù)根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量：xyo（x，y）xyr

將x軸轉(zhuǎn)淚到與r重合魄，可清得極坐視標(biāo)下趁得應(yīng)射力分左量（傭忽略渣體力慢）：歸納蔬：求解極坐標(biāo)下得平面問(wèn)題時(shí)，只須要由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，然后按公式：求應(yīng)力分量即