彈性力學(xué)課件一二

第四章平面問題的極坐標(biāo)解答4—1極坐標(biāo)中的平衡微分方程4—2極坐標(biāo)中的幾何方程和物理方程4—3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程4—4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式4—5軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移4—6圓環(huán)或圓筒受均布壓力4—9半平面體在邊界上受集中力4—8圓孔的孔邊、應(yīng)力集中4—10半平面體在邊界上受分布力4—1極坐標(biāo)中的平衡微分方程求解平面問題時，對于圓形、楔形、扁形等物體，用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便得多，平面內(nèi)任一點的位置，用徑向坐標(biāo)r及環(huán)向坐標(biāo)

來表示如何建立極坐標(biāo)中的平衡微分方程？從物體（薄板或長柱體）中取出一微單元PABC，如圖所示，其厚度為1

drPABCxyoKrK

應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定與直角坐標(biāo)中一致建立平衡方程：整理簡化后得：（1）建立平衡方程：整理簡化后得：（2）極坐標(biāo)下平面問題的平衡微分方程：基本未知應(yīng)力分量：

r、

、r=r4—2極坐標(biāo)中的幾何方程和物理方程一、幾何方程在極坐標(biāo)中，

r代表徑向應(yīng)變，

代表環(huán)向應(yīng)變，r代表剪應(yīng)變，ur代表徑向位移，u

代表環(huán)向位移要確定幾何方程，過P點取圖示隔離體PAB，如圖所示其總變形可由兩種變形相疊加：PABxyo

drP`B`A`（1）假定只有徑向位移，無環(huán)向位移徑向恒正應(yīng)丸變：環(huán)向貴正應(yīng)壞變：PABxyo

dP’B’A’rPA的轉(zhuǎn)謠角：PB的轉(zhuǎn)亡角：剪應(yīng)變：xAPByo

dr（2貨）假屋定只稍有環(huán)雨向位露移，叢無徑允向位杜移A”P”B”徑向正應(yīng)變：環(huán)向正應(yīng)變：PA的轉(zhuǎn)角：PB的轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變：當(dāng)徑妥向和理環(huán)向駕都有君位移倡時，堵總應(yīng)麥變?yōu)槿拢哼@就哪是極追坐標(biāo)直中的海幾何積方程二、礙物理策方程由于蘿極坐唇標(biāo)和成直角次坐標(biāo)暖都是態(tài)正交斃坐標(biāo)恐，所筍以極堡坐標(biāo)過中物返理方顫程與匯直角盾坐標(biāo)盯中的羨物理阻方程皇具有碌相同窄的形雹式：騰（平您面應(yīng)福力情橫況）平面軟應(yīng)變盒情況棵下的碰物理賴方程礎(chǔ)：4—肢3皂極坐拳標(biāo)中準(zhǔn)的應(yīng)簡力函峽數(shù)和求相容扣方程可利用坐標(biāo)變換，將直角坐標(biāo)下的相容方程變換成極坐標(biāo)下的相容方程極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：xyo（x，y）xyr

由此得：是x、蘋y的函杏數(shù)，磨也是r、誦

的函掩數(shù)，軋所以重復(fù)合上述原運(yùn)算紹：同理松：將上訂式相甚加得據(jù)：直角纖坐標(biāo)世下的正相容段方程島為：所以竄，極礦直角凳坐標(biāo)磚下的籌相容亭方程走為：是罷極坐幅標(biāo)下吼的應(yīng)蓄力函批數(shù)，訪是r、允

的函烤數(shù)根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量：xyo（x，y）xyr

將x軸轉(zhuǎn)存到與r重合監(jiān)，可址得極坐冠標(biāo)下垃得應(yīng)隊力分木量（惠忽略字體力嶼）：歸納切：求解極坐標(biāo)下的平面問題時，只須要由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，然后按公式：求應(yīng)力分量即可應(yīng)力馬分量咬必須競滿足匆位移劃單值襪條件性，在浩邊界軌上滿救足應(yīng)歷力邊赤界條障件極坐甲標(biāo)下陣的應(yīng)肢力邊煮界條匆件：4—姻4蝕應(yīng)力暈分量笑的坐圾標(biāo)變攤換式直角虛坐標(biāo)峰下的成應(yīng)力元分量

x、y、

xy和極還坐標(biāo)潤下的駱應(yīng)力訴分量

r、

、r可以橡通過隨坐標(biāo)攪變換義相互即求得酸，這子種表顛示兩肅個坐樹標(biāo)系誤中應(yīng)乳力分奸量的剖關(guān)系逝式，女稱為攤坐標(biāo)籌變換北式已知

x、y、

xy，如何華求r、

、r？從物飲體取猛小三碎角板A，如圖傷所示值，其蔽厚度兆為1ab沿y方向體，ac沿x方向盼，bc沿

方向族，長歉度為ds，各邊太應(yīng)力摸分量答如圖反所示

x

xy

y

yx

r

r

Axyoacb

ab=ds鋤·c灶os

ac條=ds梢·s鉛in

建立平衡方程：同理，由平衡方程：為求

，另取微單元B，各面上的應(yīng)力分量如圖所示，板厚為1

xBxyo

y

yx

xy

r由平衡方程：應(yīng)力短分量市由直氧角坐求標(biāo)向怕極坐郵標(biāo)的伶坐標(biāo)互坐標(biāo)倦變換沫式：反之冊，應(yīng)突力分攻量由砌極坐影標(biāo)向捷直角橋坐標(biāo)羅的坐厘標(biāo)坐陣標(biāo)變隱換式涌：同學(xué)魯們可送以自蒸行推我導(dǎo)4—則5貝軸對高稱應(yīng)招力和努相應(yīng)源的位鐘移一、周軸對沈稱問后題的祝應(yīng)力熱分量應(yīng)力仗狀態(tài)扛對稱箱于過z軸的氣任意塵平面果，也碧就是榴繞z軸是妹對稱撒的，俗所以討，應(yīng)毒力分墾量也觀是軸終對稱沉的，殼也即兄，應(yīng)獻(xiàn)力分承量只沾是r的函映數(shù)，季不隨而治變化用逆喜解法策：設(shè)枯應(yīng)力永函數(shù)雄為=礎(chǔ)

遣（r）相應(yīng)圓的應(yīng)蟻力分害量為摘：將應(yīng)給力函贊數(shù)代瞧入相捧容方萄程得堵：四階常系數(shù)齊次微分方程此方程得通解為：其中，A、B、C、D是待定常數(shù)相應(yīng)的應(yīng)力分量由此哪可以瓶看出挨，應(yīng)斷力分泛量只宋是r得函餡數(shù)，界不隨而變泳化，漆且只河有正忽應(yīng)力紙，無釀剪應(yīng)朗力二、丙軸對霉稱問收題的產(chǎn)應(yīng)變藏和位駛移1、肺應(yīng)變快分量由此析可見毒，應(yīng)孕變分蓋量也驗只是r的函犯數(shù)，掏與無螞關(guān)，鉤即應(yīng)分變繞z軸對遲稱2、插位移停分量積分季得：由此序求得禮：將ur、u

代入下式由此得：整理后得：此式艇左邊獸是r的函槐數(shù)，嘆右邊義是的甲函數(shù)飄，要古使左廳邊與散右邊子保持傘相等偏，只稠可能腥等于仇同一厚常數(shù)F，即（1）（2）由（1）式求得：由（2）式求得：將以值上各番式代躬入位役移分看量得餐表達(dá)礦式，扔可得螞軸對層稱應(yīng)洞力狀片態(tài)下朽的位階移分洽量：上式濃中H、撕F、抓I、護(hù)K是待溜