【解析】2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊 19.4 線段的垂直平分線 同步分層訓練基礎卷(滬教版五四制)

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2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊19.4線段的垂直平分線同步分層訓練基礎卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八上·華鎣期末）已知：如圖，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB、AC于點D、E.若AD=3，BC=5，則ΔBEC的周長為（）

A．8B．10C．11D．13

2．（2023八上·平桂期末）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P、Q，作直線PQ交AB于點D，連接AD，若△ABC的周長為15，AB＝6，則△ADC的周長為（）

A．6B．7C．8D．9

3．（2023七下·光明期末）如圖，在中，分別以A，B為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點P和點O，作直線交于點E，交于點D，若，，則的周長為（）

A．9B．C．13D．18

4．（2023七下·晉中期末）如圖，等腰中，是等邊三角形，點P是的角平分線上一動點，連按，則的最小值為（）

A．16B．20C．24D．32

5．（2023七下·淄川期末）如圖，在中，點F是邊，的垂直平分線的交點，連接，，若，則等于（）

A．B．C．D．

6．（2023七下·防城期中）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（）

A．7B．9C．10D．14

7．（2023七下·農安期中）在同一平面內，若與的兩邊分別垂直，且比的3倍少40°，則的度數(shù)為（）．

A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°

8．（2023八上·南寧期末）如圖，中，是高，，則長為（）

A．4B．5C．6D．7

二、填空題

9．（2023八上·平南期末）如圖，在中，是的垂直平分線，3cm，的周長為12cm，則的周長是.

10．（2023八上·平南期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為12cm，則△ABC的周長是.

11．（2023七下·晉中期末）已知等腰，，若邊上的垂直平分線與直線所夾的銳角為，則等腰底角的度數(shù)為．

12．（2023七下·錦江期末）如圖，垂直平分，垂直平分．若，，則的周長為．

13．（2023八上·渭濱期末）如圖，在中，AB＝AC，BC＝4，面積是10.AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點，若點F為BC邊的中點，點P為線段ED上一動點，則PBF周長的最小值為.

三、解答題

14．（2023七下·鄠邑期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，為線段的中點，.求證：.

15．（2022八上·長春期末）如圖，在中，，是的垂直平分線，交于點E．已知的周長是24，的長是5．求的周長．

四、綜合題

16．（2023七下·松江期末）如圖，在中，，垂足為D，，垂足為E，，與相交于點F．

（1）請說明的理由．

（2）如果，說明的理由．

17．（2022八上·寶應期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，于，．

（1）求證：為線段的中點．

（2）若，求的度數(shù)．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵DE垂直平分線段AB，

∴AD=BD，AE=BE，

∵AD=3，

∴AB=AC=2AD=6，

∵BC=5，

∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=5+6=11；

故答案為：C.

【分析】由線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得AD=BD，AE=BE，則AB=AC=6，進而根據(jù)線段的和差、三角形周長的計算方法及等量代換可得C△BEC=BC+AC，據(jù)此就可以算出答案了.

2．【答案】D

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵根據(jù)題意得出PQ是線段AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，

∴AD+CD＝BC.

∵△ABC的周長為15，AB＝6，

∴△ADC的周長＝AC+BC＝△ABC的周長﹣AB＝15﹣6＝9.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意得出PQ是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AD=BD，進而根據(jù)三角形周長的計算方法等量代換及線段的和差可求出答案.

3．【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：由作圖可得DP為線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∴△BDC的周長為BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=5+8=13.

故答案為：C.

【分析】由作圖可得DP為線段AB的垂直平分線，則AD=BD，進而可將△BDC的周長轉化為AC+BC，據(jù)此計算.

4．【答案】B

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質

【解析】【解答】解：連接BP，

∵點P是的角平分線上一點，AB=AC，

∴AP垂直平分BC，

∴BP=PC，

欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，

∴當B、P、D三點共線時，BP+PD的值最小，即為BD的長，

∵△ABD是等邊三角形，AB=20，

∴BD=AB=20，

∴BP+PD的值最小為20；

故答案為：B.

【分析】連接BP，易得AP垂直平分BC，可得BP=PC，欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，可知當B、P、D三點共線時，BP+PD的值最小，即為BD的長，利用等邊三角形的性質即可求解.

5．【答案】A

【知識點】三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：連接AF并延長至點D，如圖所示：

∵點F是邊，的垂直平分線的交點，

∴BF=AF，CF=AF，

∴∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，

∵∠BFD、∠CFD分別為△ABF、△ACF的外角，

∴∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，

∴，

∴，

故答案為：A

【分析】連接AF并延長至點D，根據(jù)垂直平分線的性質結合等腰三角形的性質即可得到∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，進而根據(jù)三角形外角的性質即可得到∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，進而結合題意即可運用即可求解。

6．【答案】A

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：連接，

，點為的中點，，

，，

，

的面積為10，

，

是的垂直平分線，

，

，

，

周長的最小值為7，

故答案為：A.

【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質求出AF、BF的長，在根據(jù)兩點之間線段最短得到三角形周長的最小值.

7．【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】設∠B是x度，根據(jù)題意，得

①兩個角相等時，如圖1：

∠B＝∠A＝x，

x＝3x﹣40

解得，x＝20，

故∠A＝20°，

②兩個角互補時，如圖2：

x+3x﹣40＝180，

所以x＝55，

3×55°﹣40°＝125°

故∠A的度數(shù)為：20°或125°．

【分析】因為兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補，可設∠B是x度，利用方程即可解決問題

8．【答案】B

【知識點】三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：如圖所示，在上取一點E使得，連接，則，

∵是的高，

∴是的垂直平分線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案為：B.

【分析】在上取一點E使得，連接，利用線段垂直平分線的性質可得AE=AB，利用等邊對等角可得，由三角形外角的性質可得∠AEB=∠C+∠CAE，結合∠B=2∠C可得，利用等角對等邊可得，即得.

9．【答案】18cm

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴，

∵3cm，的周長為12cm，

∴cm，cm，

∴△ABC的周長是.

故答案為：18cm.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AD=CD，AE=CE，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差可得AB+BC=12cm，據(jù)此就不難求出△ABC的周長了.

10．【答案】18cm

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴AD＝CD，AE＝CE，

∵AE＝3cm，△ABD的周長為12cm，

∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，

∴△ABC的周長是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）.

故答案為：18cm.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得AD＝CD，AE＝CE，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差即可得出答案.

11．【答案】65°或25°

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：①當點F在AC上時，如圖，則∠AFD=40°，

∵DF⊥AB，

∴∠ADF=90°，

∵∠AFD=40°，

∴∠A=90°-40°=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；

②當點F在CA的延長線上時，如圖，則∠AFD=40°，

同理可得∠FAD=50°，

∴∠FAD=∠B+∠C=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C==25°，

∴等腰底角的度數(shù)為65°或25°.

故答案為：65°或25°.

【分析】分兩種情況：①當點F在AC上時，②當點F在CA的延長線上時，根據(jù)等腰三角形的性質、直角三角形的性質及三角形內角和分別求解即可.

12．【答案】7

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，

∴AB=AD，CD=BD，

∴的周長為AB+AD+BD=3+2+2=7，

故答案為：7

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質即可得到AB=AD，CD=BD，進而根據(jù)三角形的周長即可求解。

13．【答案】7

【知識點】垂線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：如圖，連接AF，AP

，

，

，

，

垂直平分線段AB，

的周長，

，

的最小值為5，

的周長的最小值為7.

故答案為：7.

【分析】連接AF、AP，由等腰三角形的性質可得AF⊥BC，由三角形的面積公式可得AF的值，根據(jù)垂直平分線的性質可得PA=PB，則△PBF的周長可轉化為PA+PF+2，故當點A、P、F共線時，PA+PF最小，為AF的值，據(jù)此求解.

14．【答案】解：連接AE，

∵EF垂直平分AB，∴

∵∴

∵D是EC的中點∴

【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【分析】連接AE，利用垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可證得AE=BE，可推出AE=AC，利用點D是EC的中點，可證得結論.

15．【答案】解：∵是的垂直平分線，

∴，，

∵，

∴，

∵的周長為24，

∴，

∵

∴的周長為14．

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質可得，，再的周長公式及等量代換可得。

16．【答案】（1）證明：∵，，

∴，

又，，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又，

∴垂直平分，

∴．

【知識點】垂線；線段垂直平分線的性質；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）由余角的性質可得，根據(jù)AAS證明；

（2）由（1），可得AF=BC，結合AF=2BD，可得BD=CD，由AD⊥BC可得AD垂直平分BC，利用線段垂直平分線的性質即得結論.

17．【答案】（1）證明：連接AE，如圖所示，

∵EF垂直平分AB，

，

，

，

△ACE是等腰三角形，

，

∴D是EC的中點，

（2）解：設；

，

，

，

，

，

在三角形ABC中，，

解得，

．

【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）連接AE，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=BE，結合已知可得AE=AC，進而根據(jù)等腰三角形的三線合一可得ED=CD，即點D為CE的中點；

（2）設∠B=x°，由等邊對等角得∠BAE=∠B=x°，由三角形外角性質得∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，再由等邊對等角得∠C=∠AEC=2x°，在△ABC中，根據(jù)三角形的內角和定理建立方程，可求出x的值，從而得到答案.

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2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊19.4線段的垂直平分線同步分層訓練基礎卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八上·華鎣期末）已知：如圖，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB、AC于點D、E.若AD=3，BC=5，則ΔBEC的周長為（）

A．8B．10C．11D．13

【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵DE垂直平分線段AB，

∴AD=BD，AE=BE，

∵AD=3，

∴AB=AC=2AD=6，

∵BC=5，

∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=5+6=11；

故答案為：C.

【分析】由線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得AD=BD，AE=BE，則AB=AC=6，進而根據(jù)線段的和差、三角形周長的計算方法及等量代換可得C△BEC=BC+AC，據(jù)此就可以算出答案了.

2．（2023八上·平桂期末）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P、Q，作直線PQ交AB于點D，連接AD，若△ABC的周長為15，AB＝6，則△ADC的周長為（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】D

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵根據(jù)題意得出PQ是線段AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，

∴AD+CD＝BC.

∵△ABC的周長為15，AB＝6，

∴△ADC的周長＝AC+BC＝△ABC的周長﹣AB＝15﹣6＝9.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意得出PQ是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AD=BD，進而根據(jù)三角形周長的計算方法等量代換及線段的和差可求出答案.

3．（2023七下·光明期末）如圖，在中，分別以A，B為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點P和點O，作直線交于點E，交于點D，若，，則的周長為（）

A．9B．C．13D．18

【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：由作圖可得DP為線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∴△BDC的周長為BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=5+8=13.

故答案為：C.

【分析】由作圖可得DP為線段AB的垂直平分線，則AD=BD，進而可將△BDC的周長轉化為AC+BC，據(jù)此計算.

4．（2023七下·晉中期末）如圖，等腰中，是等邊三角形，點P是的角平分線上一動點，連按，則的最小值為（）

A．16B．20C．24D．32

【答案】B

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質

【解析】【解答】解：連接BP，

∵點P是的角平分線上一點，AB=AC，

∴AP垂直平分BC，

∴BP=PC，

欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，

∴當B、P、D三點共線時，BP+PD的值最小，即為BD的長，

∵△ABD是等邊三角形，AB=20，

∴BD=AB=20，

∴BP+PD的值最小為20；

故答案為：B.

【分析】連接BP，易得AP垂直平分BC，可得BP=PC，欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，可知當B、P、D三點共線時，BP+PD的值最小，即為BD的長，利用等邊三角形的性質即可求解.

5．（2023七下·淄川期末）如圖，在中，點F是邊，的垂直平分線的交點，連接，，若，則等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：連接AF并延長至點D，如圖所示：

∵點F是邊，的垂直平分線的交點，

∴BF=AF，CF=AF，

∴∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，

∵∠BFD、∠CFD分別為△ABF、△ACF的外角，

∴∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，

∴，

∴，

故答案為：A

【分析】連接AF并延長至點D，根據(jù)垂直平分線的性質結合等腰三角形的性質即可得到∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，進而根據(jù)三角形外角的性質即可得到∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，進而結合題意即可運用即可求解。

6．（2023七下·防城期中）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（）

A．7B．9C．10D．14

【答案】A

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：連接，

，點為的中點，，

，，

，

的面積為10，

，

是的垂直平分線，

，

，

，

周長的最小值為7，

故答案為：A.

【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質求出AF、BF的長，在根據(jù)兩點之間線段最短得到三角形周長的最小值.

7．（2023七下·農安期中）在同一平面內，若與的兩邊分別垂直，且比的3倍少40°，則的度數(shù)為（）．

A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°

【答案】C

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】設∠B是x度，根據(jù)題意，得

①兩個角相等時，如圖1：

∠B＝∠A＝x，

x＝3x﹣40

解得，x＝20，

故∠A＝20°，

②兩個角互補時，如圖2：

x+3x﹣40＝180，

所以x＝55，

3×55°﹣40°＝125°

故∠A的度數(shù)為：20°或125°．

【分析】因為兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補，可設∠B是x度，利用方程即可解決問題

8．（2023八上·南寧期末）如圖，中，是高，，則長為（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【知識點】三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：如圖所示，在上取一點E使得，連接，則，

∵是的高，

∴是的垂直平分線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案為：B.

【分析】在上取一點E使得，連接，利用線段垂直平分線的性質可得AE=AB，利用等邊對等角可得，由三角形外角的性質可得∠AEB=∠C+∠CAE，結合∠B=2∠C可得，利用等角對等邊可得，即得.

二、填空題

9．（2023八上·平南期末）如圖，在中，是的垂直平分線，3cm，的周長為12cm，則的周長是.

【答案】18cm

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴，

∵3cm，的周長為12cm，

∴cm，cm，

∴△ABC的周長是.

故答案為：18cm.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AD=CD，AE=CE，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差可得AB+BC=12cm，據(jù)此就不難求出△ABC的周長了.

10．（2023八上·平南期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為12cm，則△ABC的周長是.

【答案】18cm

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴AD＝CD，AE＝CE，

∵AE＝3cm，△ABD的周長為12cm，

∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，

∴△ABC的周長是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）.

故答案為：18cm.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得AD＝CD，AE＝CE，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差即可得出答案.

11．（2023七下·晉中期末）已知等腰，，若邊上的垂直平分線與直線所夾的銳角為，則等腰底角的度數(shù)為．

【答案】65°或25°

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：①當點F在AC上時，如圖，則∠AFD=40°，

∵DF⊥AB，

∴∠ADF=90°，

∵∠AFD=40°，

∴∠A=90°-40°=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；

②當點F在CA的延長線上時，如圖，則∠AFD=40°，

同理可得∠FAD=50°，

∴∠FAD=∠B+∠C=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C==25°，

∴等腰底角的度數(shù)為65°或25°.

故答案為：65°或25°.

【分析】分兩種情況：①當點F在AC上時，②當點F在CA的延長線上時，根據(jù)等腰三角形的性質、直角三角形的性質及三角形內角和分別求解即可.

12．（2023七下·錦江期末）如圖，垂直平分，垂直平分．若，，則的周長為．

【答案】7

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，

∴AB=AD，CD=BD，

∴的周長為AB+AD+BD=3+2+2=7，

故答案為：7

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質即可得到AB=AD，CD=BD，進而根據(jù)三角形的周長即可求解。

13．（2023八上·渭濱期末）如圖，在中，AB＝AC，BC＝4，面積是10.AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點，若點F為BC邊的中點，點P為線段ED上一動點，則PBF周長的最小值為.

【答案】7

【知識點】垂線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質

【解析】【解答】解：如圖，連接AF，AP

，

，

，

，

垂直平分線段AB，

的周長，

，

的最小值為5，

的周長的最小值為7.

故答案為：7.

【分析】連接AF、AP，由等腰三角形的性質可得AF⊥BC，由三角形的面積公式可得AF的值，根據(jù)垂直平分線的性質可得PA=PB，則△PBF的周長可轉化為PA+PF+2，故當點A、P、F共線時，PA+PF最小，為AF的值，據(jù)此求解.