2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何第二講空間空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課件理

第八章立體幾何第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系要點(diǎn)提煉

平面的基本性質(zhì)考點(diǎn)11.四個(gè)公理名稱圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言用途公理1如果一條直線上的________

在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α

.證明“點(diǎn)在面內(nèi)”或“線在面內(nèi).公理2過(guò)_________________

的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.A,B,C不共線?有且只有一個(gè)平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α.(1)確定一個(gè)平面;(2)判斷兩個(gè)平面是否重合;(3)證明點(diǎn)、線共面.兩點(diǎn)l?α

不在一條直線上

平面的基本性質(zhì)考點(diǎn)1公理3如果兩個(gè)不重合的平面

那么它們有且只

有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.P∈α∩β?α∩β=l,且________.(1)證明“三點(diǎn)共線“三線共點(diǎn)”;(2)確定兩平面的交線.公理4平行于同一條直線的兩條直線__________.若直線a∥b,b∥c,

.判斷直線平行.續(xù)表有一個(gè)公共點(diǎn)P∈l平行a∥c

平面的基本性質(zhì)考點(diǎn)12.公理2的推論推論1

經(jīng)過(guò)一條直線和

外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2

經(jīng)過(guò)兩條

直線,有且只有一個(gè)平面.推論3

經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.直線相交

空間中直線間的位置關(guān)系考點(diǎn)21.空間兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)相交在同一平面內(nèi)有且只有____個(gè)平行在同一平面內(nèi)____個(gè)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)____個(gè)100說(shuō)明

(1)過(guò)平面外一點(diǎn)A和平面內(nèi)一點(diǎn)B的直線,與平面內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線;(2)異面直線既不平行,也不相交;(3)異面直線不具有傳遞性,即若直線a與b異面,b與c異面,則a與c不一定是異面直線.

空間中直線間的位置關(guān)系考點(diǎn)22.等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角____________.3.異面直線所成的角(1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,如圖,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O,分別作直線a'∥a,b'∥b,a'和b'所成的_____________叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).特別地,當(dāng)兩條異面直線所成的角是_______時(shí),則稱這兩條直線互相垂直.(2)范圍:

.

相等或互補(bǔ)銳角（或直角）直角

空間中直線、平面間的位置關(guān)系考點(diǎn)3

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α=A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α_____個(gè)平面與平面平行α∥β______個(gè)相交α∩β=l無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)數(shù)0理解自測(cè)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”).(1)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面. ()(2)梯形一定是平面圖形. ()(3)若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合. (

)(4)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線. (

)(5)若兩個(gè)不重合的平面α,β有一條公共直線a,則平面α,β相交,并記作α∩β=a. (

)(6)若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線l于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面. (

)?√??√√2.[教材改編]若直線a不平行于平面α,且a?α,則下列結(jié)論成立的是(

)A.α內(nèi)的所有直線與a異面B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D.α內(nèi)的直線與a都相交3.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過(guò)(

)A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)MBD考向掃描

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向11.典例[2020全國(guó)卷Ⅱ][理]設(shè)有下列四個(gè)命題:p1:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是

.

①p1∧p4 ②p1∧p2③?p2∨p3 ④?p3∨?p4①③④

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向1解析

對(duì)于p1,由題意設(shè)直線l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,則A,B,C三點(diǎn)不共線,所以此三點(diǎn)確定一個(gè)平面α,則A∈α,B∈α,C∈α,所以AB?α,BC?α,CA?α,即l2?α,l3?α,l1?α,所以p1是真命題.對(duì)于p2,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不共線時(shí),過(guò)A,B,C三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面;當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí),過(guò)A,B,C的平面有無(wú)數(shù)個(gè),所以p2是假命題,?p2是真命題.對(duì)于p3,若空間兩條直線不相交,則這兩條直線可能平行,也可能異面,所以p3是假命題,?p3是真命題.對(duì)于p4,很顯然p4是真命題,則?p4是假命題.故p1∧p4為真命題,p1∧p2為假命題,?p2∨p3為真命題,?p3∨?p4為真命題.綜上可知,真命題的序號(hào)是①③④.

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向12.典例[截面交線問(wèn)題]已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,在圖(1)中,E,F分別是D1C1,B1B的中點(diǎn),畫(huà)出圖(1)(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線,并給出證明.

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向1解析

在圖(1)中,過(guò)點(diǎn)E作EN∥B1B交CD于點(diǎn)N,連接NB并延長(zhǎng)交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接AM,則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.在圖(2)中,過(guò)點(diǎn)C1作C1M∥A1B交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接BM,則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向1證明如下:在圖(1)中,因?yàn)橹本€EN∥BF,所以B,N,E,F四點(diǎn)共面,因此EF與BN相交,交點(diǎn)為M.因?yàn)镸∈EF,且M∈NB,而EF?平面AEF,NB?平面ABCD,所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A是平面AEF和平面ABCD的公共點(diǎn),故AM為兩平面的交線;在圖(2)中,C1M在平面DCC1D1內(nèi),因此C1M與DC的延長(zhǎng)線相交,交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M為平面A1C1B與平面ABCD的公共點(diǎn),又點(diǎn)B是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),因此直線BM是兩平面的交線.

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向1方法技巧1.證明點(diǎn)共線問(wèn)題的常用方法公理法先找出兩個(gè)平面,然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在交線上.納入直線法選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.2.證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向13.證明點(diǎn)、直線共面問(wèn)題的常用方法納入平面法先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).輔助平面法先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向13.變式(1)以下四個(gè)命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是(

)①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;②若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.A.0 B.1 C.2 D.3（2)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是(

)A.A,M,O三點(diǎn)共線B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面B

A

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考向1解析

(1)①顯然是正確的,可用反證法證明;②若A,B,C三點(diǎn)共線,則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面,②不正確;③直線b,c也可能異面,故③不正確;④空間四邊形中四條線段不共面,故④不正確.(2)由ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,易得A1,C1,A,C四點(diǎn)共面.∵M(jìn)∈A1C,A1C?平面ACC1A1,∴M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,∴A,M,O三點(diǎn)共線,故A正確,B,C錯(cuò)誤.對(duì)于D,BB1與OM異面,故D不正確.

空間兩直線的位置關(guān)系考向24.典例已知平面α,β,γ兩兩垂直,直線a,b,c滿足a?α,b?β,c?γ,則直線a,b,c可能滿足以下關(guān)系:①兩兩相交;②兩兩平行;③兩兩異面.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(

)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③解析

對(duì)于①,如圖(1),當(dāng)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b時(shí),直線a,b,c兩兩相交,所以①正確;對(duì)于②,如圖(2),假設(shè)a∥b∥c,α∩γ=m,易證m∥b,因?yàn)槠矫姒?β,γ兩兩垂直,所以m⊥β,因?yàn)閎?β,所以m⊥b,這與m∥b相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以②不正確;對(duì)于③,如圖(3),當(dāng)a,b,c分別平行于平面α與β,β與γ,α與γ的交線時(shí),a,b,c兩兩異面,所以③正確.綜上,正確結(jié)論的編號(hào)是①③.c

空間兩直線的位置關(guān)系考向25.典例[2019全國(guó)卷Ⅲ][理]如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則(

)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線B

空間兩直線的位置關(guān)系考向2

空間兩直線的位置關(guān)系考向2方法技巧

空間兩直線的位置關(guān)系考向26.變式若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交D

空間兩直線的位置關(guān)系考向2解析

A項(xiàng),如左圖所示,l2與l相交,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng),如左圖所示,l1∥l,l1與l不相交,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng),如右圖所示,l與l1,l2都相交,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng),假設(shè)l與l1,l2不相交,因?yàn)閘與l1共面且l與l2共面,所以l1∥l∥l2,這與l1,l2為異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交,故D項(xiàng)正確.

求異面直線所成的角考向3

D

求異面直線所成的角考向3

求異面直線所成的角考向3

求異面直線所成的角考向3方法技巧

求異面直線所成角的方法1.平移法具體步驟如下:

求異面直線所成的角考向3

求異面直線所成的角考向3

C

求異面直線所成的角考向3

求異面直線所成的角考向3

攻堅(jiān)克難

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題數(shù)學(xué)探索角度1判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀9.典例[2021福州三中6月檢測(cè)]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).若P到直線BC的距離等于它到直線C1D1的距離,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是