特殊四邊形：旋轉(zhuǎn)變換

特殊四邊形之旋轉(zhuǎn)問題題型一：如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E為CD邊上一點(diǎn)，DE=1.以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得△ABE，連接EE，則EE'的長(zhǎng)等于 .已知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE=2，EC=1（如圖4所示）把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為 .已知ABCD是正方形ZMAN=45度，求證：BM+ND=MN如圖，正方形ABCD中，E為DC上任意一點(diǎn)，ZBAE的平分線交BC于F.試判斷AE、DE、BF之間存在怎樣的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并說明理由.已知在四邊形ABCD中，已知在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,AB=AD，求證:ZACD=ZACB例5如圖，在四邊形ABCD中，ZBAC=120°,BC=CD=DB.C求ZBAC的度數(shù)；C若AB=3,AD=2,求AC的長(zhǎng).如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,ZABC與ZADC互補(bǔ).求ZC的度數(shù).若BC>CD且AB=AD,請(qǐng)?jiān)趫D5上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個(gè)正方形，并說明理由；若CD=6,BC=8,S=49，求AB的值.四邊形ABCD7.如圖(6-1)，五邊形ABCDE中，ZABC=乙AED=900,AB=CD=AE=BC+DE=1,求這個(gè)五邊形ABCDE的面積？8.已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,D為斜邊上任意一點(diǎn),求證：BD+DC2=2AD2.9.如圖：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=1,PB=2,PC=3,求此正方形ABCD面積。已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC.⑴將APAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到AP'CB的位置。設(shè)AB的長(zhǎng)為aPB的長(zhǎng)為b(b<a),求APAB旋轉(zhuǎn)到AP'CB的過程中邊PA所掃過的區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積；若PA=2,PB=4,ZAPB=135°，求PC的長(zhǎng)。(1)如圖2,若PA2+PC2二2PB2，請(qǐng)說明點(diǎn)P必在對(duì)角線AC上。圖⑴ 圈(2)11.已知：正方形abcd中，ZMAN=45°,上MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N.當(dāng)上MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1）,易證BM+DN=MN.（1）當(dāng)上MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM豐DN時(shí)（如圖2）,線段BM,DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明.（2）當(dāng)上MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.圖1 圖2圖1 圖2題型二：1.如圖.邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積 .2?如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O’。2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是 .如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到正方形AB'C'D',圖中陰影部分的面積為（ ）_1 v3 <3A.2 B.3 C.1-3D.1-4如圖，先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中,使點(diǎn)A與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上(如圖①所示)，再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°(如圖②所示)，若AB=4,BC=3,則圖①和圖②中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 5?如圖9,點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,PE交邊BC于點(diǎn)F,連接BE,DF.求證：ZADP=ZEPB；求ZCBE的度數(shù)；(3)當(dāng)AP的值等于多少時(shí)，△PFDs^BFP?并說明理由.AB6.已知：如圖1,0為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F,0D到點(diǎn)E,使OF=2OA,OE

=20D,連結(jié)EF,將厶FOE繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到△F'OE'(如圖2).探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；當(dāng)a=30。時(shí)，求證：AAOE，為直角三角形.7?如圖1,獎(jiǎng)三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F,另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證：EF=EG；如圖2,移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,其他條件不變.(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；如圖3,將(2)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B,EF其他條件不變，若AB=a,BC=b,求 的值.EG&已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF丄BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG.求證：EG=CG；將圖①中厶BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.將圖①中厶BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？(均不要求證明)

第24題圖①第24題圖②第24題圖③第24題圖①第24題圖②第24題圖③10.如圖12,B、C、E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與四邊形CEFG是都是正方形.連接BG、DE.（1） 觀察猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2） 在圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)指出，并說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請(qǐng)說明理由.如圖8-1，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與A、C重合），PE丄BC于點(diǎn)E,PF丄CD于點(diǎn)F.（1） 求證：BP=DP；（2） 如圖8-2,若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)用反例加以說明；⑶試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論?AA圖8-1 圖8-2如圖1,已知正方形ABCD是邊cd的正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC。試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC,你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明：若不成立，請(qǐng)說明理由。13..如圖10，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG丄CE.當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖11的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明;若不成立，請(qǐng)說明理由.當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖12的位置時(shí)，延長(zhǎng)CE交AG于H,交AD于M.①求證：AG丄CH；②當(dāng)AD=4,DGr：2時(shí)，求CH的長(zhǎng).圖10HG圖10HGqd'fM/I——C\Jc圖11圖12已知正方形ABEF和正方形ACGH在BAC的外側(cè)，M是BC邊的中點(diǎn)，試說明線段FH與線段AM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'在線段OP或其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度0，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，0），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，0叫做旋轉(zhuǎn)角．（1）填空：如圖1,將AABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△ade，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（ ， ）；如圖2,△ABC是邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（\；3,90。），得到△ADE，則線段BD的長(zhǎng)為 cm；（2）如圖3,分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA'點(diǎn)O1，O2，O3分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用與厶ABI，△CIB與ACAO一之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說明線段OO與AOD之間的關(guān)系．板DEF的直角頂點(diǎn)E與厶ABI，△CIB與ACAO一之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說明線段OO與AOD之間的關(guān)系．板DEF的直角頂點(diǎn)E圖1,/一副直角三角板滿OEBCl2OH三BC，a+e，zab「defo° "30。AC上，再將16.【操作】耳 … E旋轉(zhuǎn),A使邊D0與邊AB交于點(diǎn)P，C邊EF【探究一】圖E旋轉(zhuǎn)過程中， 圖2CE如圖2,當(dāng)石丁=1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.EA于三角板ABC的斜邊BC于點(diǎn)Qf G圖3角板DEF繞點(diǎn)1；CE（2） 如圖3,當(dāng)土=2時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由.EACE（