蘇科數(shù)學九上新教案2.5直線與圓的位置關系第2課時　圓的切線

數(shù)學新課標（SK）

九年級上冊第2章對稱圖形——圓2.5直線與圓的位置關系探究新知探究新知重難互動探究重難互動探究課堂小結課堂小結新知梳理新知梳理第2課時圓的切線2.5直線與圓的位置關系探究新知活動1知識準備1．直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓________，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點．2．設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么直線l與⊙O相切?_________．d＝r相切2.5直線與圓的位置關系活動2教材導學探索直線與圓的判定方法如圖2－5－16所示，A為⊙O上的一點，你能經過點A畫出⊙O的切線嗎？圖2－5－16第一步：連接OA；第二步：過點A作直線l⊥OA，即直線l就是圓的切線，依據(jù)是________．d＝r2.5直線與圓的位置關系知識鏈接——[新知梳理]知識點二說明：AC是⊙O的切線．嘗試：如圖2－5－17所示，AB是⊙O的直徑，∠ABC＝45°，AC＝AB.圖2－5－17[答案]∵AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝90°.又∵OA是半徑，∴AC是⊙O的切線．2.5直線與圓的位置關系新知梳理知識點一切線的判定定理經過半徑的______并且_______這條半徑的直線是圓的切線．符號語言：如圖2－5－18，點A在圓上，且OA⊥l于點A，∴直線l是⊙O的切線．圖2－5－18[說明]

切線的判定定理是判定直線與圓相切的常用方法．外端垂直于2.5直線與圓的位置關系知識點二切線的判定方法總的來說，判定直線與圓相切的方法有三種：1．根據(jù)定義，即和圓有唯一公共點的直線是圓的切線．2．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線，這種方法多用于未知切點時，可概括為“未知切點，作垂直，證半徑”．3．切線的判定定理，如果已知直線過圓上某一點，則可作出過這一點的半徑，再證明直線垂直于半徑，即“已知切點，連半徑，證垂直”．圓的切線________經過切點的________．符號語言：如圖2－5－19，∵直線l切⊙O于點A，∴OA⊥l.圖2－5－192.5直線與圓的位置關系知識點三切線的性質垂直于半徑[說明]

在解答圓的切線有關問題時通常連接圓心與切點．重難互動探究2.5直線與圓的位置關系探究問題一已知切點證切線例1

如圖2－5－20所示，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAC交⊙O于點E，過點E作ED⊥AC，垂足為D.直線ED是⊙O的切線嗎？為什么？圖2－5－20[解析]連接OE，證明OE⊥ED即可．2.5直線與圓的位置關系解：直線ED是⊙O的切線．理由：連接OE.因為OA＝OE，所以∠OAE＝∠OEA.又因為AE平分∠BAC，所以∠OAE＝∠EAC，所以∠EAC＝∠OEA，所以OE∥AC.因為ED⊥AC，所以ED⊥OE.又因為點E在⊙O上，所以直線ED是⊙O的切線．[歸納總結]

證明一條直線是圓的切線，必須同時滿足兩個條件：一是此直線經過半徑外端，二是此直線與這條半徑垂直．二者缺一不可．當已知直線過圓上某一點，則作出過這一點的半徑，再證明直線垂直于這條半徑．2.5直線與圓的位置關系探究問題二未知切點證切線例2

在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點，以O為圓心的⊙O與AC相切于點D.求證：⊙O與AB相切．[解析]連接AO，OD，過點O作OE⊥AB，根據(jù)△ABC是等腰三角形，O是BC邊的中點，以及AC是⊙O的切線，角平分線的性質，得到OE＝OD，說明OE是⊙D的一條半徑，根據(jù)切線的判定定理證明AB是⊙D的切線．2.5直線與圓的位置關系證明：如圖2－5－22，作OE⊥AB于點E，連接AO，OD.∵AC是⊙O的切線，∴OD⊥AC.∵AB＝AC，O是BC的中點，∴AO平分∠BAC.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴OD＝OE，∴AB是⊙O的切線．圖2－5－222.5直線與圓的位置關系[歸納總結]

本題考查的是切線的判定，作垂直，證半徑，說明AB經過半徑OE的外端，并且垂直于這條半徑，即可得到AB是⊙O的切線．2.5直線與圓的位置關系探究問題三切線性質的應用例3

如圖2－5－23所示，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E.(1)判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．圖2－5－232.5直線與圓的位置關系[解析](1)直線DE與⊙O相切，理由：連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由OA＝OD，根據(jù)等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得出一對內錯角相等，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行得出OD∥AE，由∠AED為直角，得到∠ODE為直角，即DE⊥OD，可得出DE為⊙O的切線；(2)過D作DF⊥AB，交AB于點F，又由AE⊥ED，得到一對直角相等，再由AD為角平分線得到一對角相等，且AD為公共邊，利用AAS證明△ADE與△ADF全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得出AE＝AF，DE＝DF，由AF－OA求出OF的長，在Rt△ODF中，由OD及OF的長，利用勾股定理求出DF的長，即為DE的長．2.5直線與圓的位置關系解：(1)直線DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，如圖2－5－24所示，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴EA∥OD.∵DE⊥EA，∴DE⊥OD.又∵點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切．圖2－5－242.5直線與圓的位置關系(2)如圖2－5－25所示，連接OD，作DF⊥AB，垂足為點F.∴∠DFA＝∠DEA＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.又∵AD＝AD，∴△EAD≌△FAD(AAS)．又∵AE＝8，∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝AF－OA＝8－5＝3.在Rt△DOF中，OD＝5，OF＝3，根據(jù)勾股定理，得DF＝4，則DE＝DF＝4.圖2－5－252.5直線與圓的位置關系[歸納總結]

此題考查了切線的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、平行線的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．2.5直線與圓的位置關系[備選題]

如圖2－5－26，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點B，若PA＝6，PB＝4，則⊙O的半徑是(

)圖2－5－