排隊論及應(yīng)用舉例課件

第六章排隊論關(guān)鍵詞排隊（Queue）指數(shù)分布（ExponentialDistribution）單通道、單階段（SingleChannel,singlePhase）排隊系統(tǒng)（QueuingSystem）泊松分布（PoissonDistribution）多通道、多階段（Multichannel,Multiphase）到達率（ArrivalRate）服務(wù)率（ServiceRate）有限隊列（FiniteQueue）第六章排隊論關(guān)鍵詞1一、排隊問題的經(jīng)濟含義在日常經(jīng)濟生活中，經(jīng)常遇到排隊現(xiàn)象，如：在超市等待結(jié)帳、工廠中等待加工的工件或待修理的機器、開車上班等，排隊論是運作管理中重要的方法，它是計劃、工作設(shè)計、存貨控制以及其他問題的基礎(chǔ)。每一個排隊事例的核心問題就是對不同因素作權(quán)衡決策，管理者必須衡量為提供更快捷服務(wù)而增加的成本和等待費用之間的關(guān)系。一種情況是：直接對成本進行權(quán)衡決策，例如考慮到顧客排隊等待可以增加設(shè)備，就要權(quán)衡增加設(shè)備的成本與多服務(wù)顧客所帶來的價值的大小，決策比較直觀和容易；另一種情況是：排隊問題是對醫(yī)院床位的需求，可以估算增加床位帶來的房屋建筑、附加設(shè)備以及增加的維護費用等成本，但衡量標(biāo)準(zhǔn)時什么？因為用金錢成本來度量病人對病床的需求顯然是徒勞的，盡管可以估計出醫(yī)院因病床不足會損失多少收入，但無法估計病人因得不到適當(dāng)?shù)尼t(yī)護所遭受的損失。解決排隊問題的基本目標(biāo)是平衡等待成本與增加資源引起的成本之間的關(guān)系。對于一個服務(wù)系統(tǒng)來說，這意味著若要給顧客創(chuàng)造很短的等待時間，服務(wù)臺的利用率將回降低。排隊問題中一個關(guān)鍵問題是用什么樣的程序或優(yōu)先規(guī)則來選擇下一個產(chǎn)品或顧客作為服務(wù)對象。一、排隊問題的經(jīng)濟含義在日常經(jīng)濟生活中，經(jīng)常遇到排隊現(xiàn)象，如2成本效益平衡服務(wù)成本總成本最小值等待成本最佳能力成本＄服務(wù)設(shè)施能力圖6-1服務(wù)成本與等待成本的關(guān)系

如圖6-1所示，是一個典型（穩(wěn)定）的客運問題中的權(quán)衡。等待成本隨著服務(wù)能力的增大而減小，可以用負(fù)指數(shù)曲線描述；服務(wù)成本可以簡單地用線性變化表示；總成本或復(fù)合成本則是U型曲線。所以，理想的最優(yōu)化（最?。┏杀疚挥诜?wù)成本曲線和等待成本曲線的交點上。排隊問題的實際應(yīng)用顧客到達服務(wù)需求量到達的數(shù)目時間服務(wù)時間普通能力時間圖6-2到達與服務(wù)的關(guān)系

如圖6-2表示的是到達某一服務(wù)機構(gòu)（銀行）的人數(shù)和對這一機構(gòu)服務(wù)的需求（信貸人員）。在服務(wù)系統(tǒng)營業(yè)過程中，每一小時到達系統(tǒng)的顧客人數(shù)是一個很重要的變量。從提供服務(wù)的觀點來看，顧客對于服務(wù)的需求是不斷變化的，而且經(jīng)常超過正常的服務(wù)能力。可以通過不同的方法對到達人數(shù)加以控制。如特殊顧客通道、臨時加班、設(shè)定等待座位數(shù)等。一般服務(wù)時間受到服務(wù)速度、機器運轉(zhuǎn)速度的影響，另外，服務(wù)時間也會因使用的工具、材料或計劃的不同而變化。成本效益平衡服務(wù)成本總成本最小值等待成本最佳能力成本＄服務(wù)設(shè)3二、排隊系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)機構(gòu)等待隊列離開顧客源圖6-3排隊系統(tǒng)的組成如圖5-3所示，一個排隊系統(tǒng)有三個主要部分組成：一是：顧客源和顧客到達系統(tǒng)的方式二是：服務(wù)系統(tǒng)三是：顧客離開系統(tǒng)的方式(是否回到顧客源？)顧客到達到達服務(wù)系統(tǒng)的顧客可以分為兩類：有限總體和無限總體。1.有限總體。要求服務(wù)的顧客數(shù)是有限的，通常是排成一隊的。顧客總體中的某一位離開其位置（如一臺設(shè)備停機待修理），顧客就少一個，同時減少了下一次要求服務(wù)的概率。相反，當(dāng)被服務(wù)的顧客回到顧客總體中，總體人數(shù)對服務(wù)需求的概率也就增加了。2.無限總體。對于服務(wù)系統(tǒng)來說顧客數(shù)量足夠大，由于人數(shù)增減而引起的總體規(guī)模的變化不會對系統(tǒng)的概率分布產(chǎn)生顯著的影響。3.顧客到達的分布。這是一個到達率或單位時間到達數(shù)的問題。固定到達的分布呈周期性的，即相繼到達的兩個顧客之間的時間間隔幾乎相同。在生產(chǎn)系統(tǒng)中，通常運用一些技術(shù)控制顧客在固定的時間間隔內(nèi)到達。多數(shù)情況下，顧客的到達呈隨機分布。

首先，分析相鄰兩個顧客到達的時間間隔是否服從某些統(tǒng)計分布？通常假定相鄰兩次到達的時間間隔服從指數(shù)分布其次，在設(shè)定時間長度為T，然后確定在時間T段內(nèi)有多少顧客到達并進入系統(tǒng)？通常假定單位時間到達的人數(shù)服從泊松分布。二、排隊系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)機構(gòu)等待隊列離開顧客源圖6-344.第一種情況：指數(shù)分布。當(dāng)顧客已完全隨機方式到達服務(wù)機構(gòu)時，相鄰到達時間間隔服從指數(shù)分布。如圖5-4所示。其概率密度函數(shù)為：（6-1）式中代表單位時間段到達的顧客數(shù)量。圖5-4中曲線下方的陰影區(qū)域即為函數(shù)5-1在正數(shù)范圍內(nèi)的積分，即。通過這種方法，就可以計算出某一特定時間顧客到達的概率。例如：在顧客是單個到達服務(wù)系統(tǒng)（）時，可通過兩種方法得到表5-1。一種是根據(jù)式，另一種可以應(yīng)用負(fù)指數(shù)分布。表的第二欄是下一個到達的顧客時間間隔超過分鐘的概率；第三欄為下一個顧客到達時間小于分鐘的概率。圖6-4指數(shù)分布（1）（2）（3）下一個顧客將在下一個顧客將在小于t分鐘大于t分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)到達的概率到達的概率(3)=(1)-(2)01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.86期望值方差4.第一種情況：指數(shù)分布。當(dāng)顧客已完全隨機方式到達服務(wù)5

5.第二種情況:泊松分布。主要針對某一時段T內(nèi)有n人到達的概率，到達過程是隨機的，則服從泊宋分布。如圖5-5所示。計算公式為：（6-2）式5-2表示在T時間內(nèi)有n個顧客到達的概率。例如，如果一個系統(tǒng)的平均到達率是每分鐘有3個顧客到達（），要求1分鐘內(nèi)有5個人到達的概率為：.149.168.224.102.050.224.20.10.05期望值方差平滑曲線12345681012時間T內(nèi)有n人到達的概率到達人數(shù)n圖6-5泊松分布（）0這就是說，在任何一分鐘的間隔期內(nèi)有5人到達的概率是10.1%。泊松分布是一類離散型的分布，但通常用一條平滑曲線來表示（n越大，曲線越平滑）。在這個實例中，n指的是到達系統(tǒng)的人熟，因而該分布是離散的，且必須為整數(shù)。5.第二種情況:泊松分布。主要針對某一時段T內(nèi)有n人到6排隊系統(tǒng)隊列考慮的因素：隊長、隊列數(shù)、排隊規(guī)則隊長無限隊列：即指相對于服務(wù)系統(tǒng)來說是相當(dāng)長的隊列。如：堵塞在立交橋上的車輛、繞這街道排列成隊購買商品的顧客等。有限隊列：是指由于法律或?qū)嶋H空間特點制約，排隊等待服務(wù)的隊長受到限制。如：停車廠、加油站等，但是有可能出現(xiàn)到達后離開，過一會有可能再來或到其他地方尋求服務(wù)。這是有限總體條件下的兩種不同表現(xiàn)。隊列數(shù)單列隊是指只有一個隊列。多列隊指排在兩個或兩個以上服務(wù)臺前的多個單列隊，或者指在中間某點匯集的多個單列隊。多列隊的缺點是如果前面的幾個服務(wù)時間短或者那些在其他隊的顧客需要短服務(wù)時間時，到達的顧客將會挪動隊列。排隊規(guī)劃是指決定隊列中顧客接受服務(wù)次序的一個或一系列優(yōu)先法則。直接影響著隊列中顧客人數(shù)、平均等待時間、等待時間變化范圍以及服務(wù)設(shè)施的效率等。在使用任何優(yōu)先法則時，兩大現(xiàn)實問題：一是確保顧客了解并遵守法則；二是保證有一個能使雇員對隊列進行管理的系統(tǒng)。排隊規(guī)則先來先服務(wù)最短過程時間預(yù)訂優(yōu)先緊急優(yōu)先最優(yōu)顧客優(yōu)先其他最大需求優(yōu)先最大盈利優(yōu)先服務(wù)時間分布在排隊問題中，服務(wù)率通常是指單位時間內(nèi)服務(wù)臺完成服務(wù)的顧客數(shù)，而不是指每位顧客的服務(wù)時間。固定服務(wù)時間是指每次服務(wù)的時間完全相同，這僅限于機器受控運作。當(dāng)服務(wù)時間比較隨機時，則近似指數(shù)分布，一般用作為每時間段內(nèi)被服務(wù)的平均顧客數(shù)。排隊系統(tǒng)在使用任何優(yōu)先法則時，兩大現(xiàn)實問題：排隊規(guī)則先來先服7隊列結(jié)構(gòu)——見圖5-6所示單通道、單階段：最簡單的隊列結(jié)構(gòu)形式。用簡單的公式可以解決到達人數(shù)和服務(wù)時間的標(biāo)準(zhǔn)分布問題。如單人理發(fā)店。單通道、多階段：由一系列以非常標(biāo)準(zhǔn)的順序進行的服務(wù)構(gòu)成。如：洗車服務(wù)的吸塵、打濕、沖洗、晾干、洗車窗和停車。重要的因素是該服務(wù)由多少個步驟組成，在各個不同步驟中又分別形成了隊列。多通道、單階段：如：銀行的出納窗口、大型商場的收銀臺等。每個顧客不均勻的服務(wù)時間會引起隊列流動不均勻，導(dǎo)致某些顧客先于早到的顧客接受服務(wù)，一定程度上影響顧客挪動隊列。為了保證顧客按到達時間順序接受服務(wù)，則要排成一個單隊，當(dāng)一個服務(wù)臺空出來時，隊列最前面的顧客就可以去接受服務(wù)，如銀行自動抽號排隊。最大的問題在于需要對隊列進行刻板的控制以維持秩序和引導(dǎo)顧客到空閑的服務(wù)臺。多通道、多階段：服務(wù)由多個步驟組成，完成每個服務(wù)步驟有兩個或多個服務(wù)臺，一般可有多個顧客同時被服務(wù)。如：醫(yī)院里接待病人的系統(tǒng)：掛號（有多個窗口，病歷上填寫病人信息）、就診（同一科室有多位大夫）、化驗、檢查（同一化驗、檢查有多個窗口和設(shè)施）、回復(fù)就診（同一科室有多位大夫）、處方劃價（多個窗口）、繳費（多個窗口）、取藥（多個窗口）?；旌闲停簝煞N情況：1）多通道—單通道結(jié)構(gòu)；2）交錯通道結(jié)構(gòu)。考慮到階段問題，如：單階段服務(wù)的多通道變成了單通道（如過橋時多隊變成一隊）；多階段服務(wù)的多通道變成了單通道（如多條子裝配線匯成一條主裝配線）上述形式的選擇，一方面依賴于被服務(wù)顧客數(shù)；另一方面，依賴于服務(wù)順序的特殊要求。隊列結(jié)構(gòu)——見圖5-6所示上述形式的選擇，一方面依賴于被服8隊列結(jié)構(gòu)單階段多通道單通道混合式多階段單階段多階段單階段多階段從多通道到單通道交錯通道圖5-6隊列結(jié)構(gòu)隊列結(jié)構(gòu)單階段多通道單通道混合式多階段單階段多階段單階段多階段從多通道到單通道交錯通道圖6-6隊列結(jié)構(gòu)隊列結(jié)構(gòu)單階段多通道單通道混合式多階段單階段多階段單階段多階9顧客離開“經(jīng)常發(fā)生事件（recurring-common-coldcase）”：顧客回到顧客源，馬上成為一名新的顧客要求服務(wù)。如：機器例行修理后重新使用，可能再次出現(xiàn)故障而需要修理。“只發(fā)生一次事件（appendectomy-onlyoncecase）”：顧客重新要求服務(wù)的可能性極小，即不可能重新要求服務(wù)。如：機器進行徹底檢查和修理后，在一段時間內(nèi)不會重新維修。顧客接受服務(wù)后，離開的情況可能有兩種顧客源有限時，對回頭客服務(wù)的任何改變都會改變顧客到達率，引起排隊問題的特征的改變。三、排隊模型問題一：顧客等待。

銀行希望知道有多少顧客在等待其服務(wù)到車（drive-in）出納員的服務(wù)？出納員的效率是多少？如果要求在95%的時間內(nèi)，任一時刻系統(tǒng)中不超過三輛車，則其服務(wù)率應(yīng)達到什么水平？問題二：設(shè)備選擇。

公司有三中不同的設(shè)備可以提供同一種服務(wù)，設(shè)備功率越大，成本也越高，但服務(wù)速度越快。因此作決策時，成本與收入是緊密相聯(lián)的。問題三：服務(wù)人數(shù)決策。

經(jīng)銷公司的一個銷售部門必須決定一個柜臺雇傭多少職員。職員越多，成本也越高，但服務(wù)等待時間的減少能帶來部分成本的節(jié)約。問題四：有限總體。

前述都是無限總體，而對于有限顧客總體，如：車間有若干臺設(shè)備，一名維修工負(fù)責(zé)4臺設(shè)備的運轉(zhuǎn)，在充分考慮設(shè)備閑置成本和維修工的服務(wù)成本的基礎(chǔ)上，決定應(yīng)該雇傭多少名維修工？四種典型的問題顧客離開“經(jīng)常發(fā)生事件（recurring-common-c10模型分布服務(wù)階段顧客源到達人數(shù)分布排隊規(guī)則服務(wù)時間分布允許的隊列長度典型例子1單通道單一無限泊松先來先服務(wù)指數(shù)無限銀行出納員服務(wù)系統(tǒng)；單道收費橋系統(tǒng)2單通道單一無限泊松先來先服務(wù)常數(shù)無限自動洗車服務(wù)；游樂園的滑行鐵道系統(tǒng)3多通道單一無限泊松先來先服務(wù)指數(shù)無限汽車經(jīng)銷公司零件柜臺服務(wù)系統(tǒng)4單通道單一有限泊松先來先服務(wù)指數(shù)無限工廠里故障機器的維修服務(wù)表6-1特殊隊列模型特征在研究上述問題時，給出四種排隊模型及其求解公式。但一個基本假設(shè)是：所研究的過程是持續(xù)穩(wěn)定的。如果在一個問題中，其服務(wù)率或者到達率隨時間而改變的話，運用公式得出的結(jié)果將不很精確。模型分布服務(wù)顧客源到達人排隊規(guī)則服務(wù)時允許的典型例子1單通道11

四種隊列問題的求解公式：模型1：（6-3）模型2：（6-4）模型3：給出P與M值，查表可得（6-5）是有限排隊問題，可以通過有限表來解決。模型4：（6-6）HLn+=四種隊列問題的求解公式：模型1：（6-3）模型2：（6-412公式6-3、4、5、6中符號注釋無限排隊模型（1-3）有限排隊模型4公式6-3、4、5、6中符號注釋無限排隊模型（1-3）13四、應(yīng)用舉例

例1：顧客等待西部開發(fā)銀行正在考慮開設(shè)一個服務(wù)到車的窗口。管理者估計顧客將以每小時15人的速度到達，出納員的服務(wù)速率是每3分鐘服務(wù)一位顧客。第一部分假設(shè)到達人數(shù)服從泊松分布，服務(wù)時間服從指數(shù)分布，求：1）出納員的利用率；2）平均等待顧客數(shù)；3）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)；4）平均等待時間；5）顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間，包括服務(wù)時間。解：四、應(yīng)用舉例例1：顧客等待西部開發(fā)銀行14

第二部分由于空間的限制及對服務(wù)水平的要求，假如銀行經(jīng)理希望能保證以95%的置信度，在任一時刻系統(tǒng)中的車輛數(shù)不超過3輛。那么，在3輛車限制下，服務(wù)水平應(yīng)為多高？出納員的利用率應(yīng)達到什么水平？為保證95%的服務(wù)水平，出納員的服務(wù)率應(yīng)為多少？解：3輛車或更少時的服務(wù)水平是指系統(tǒng)中車輛數(shù)分別為0、1、2或3時的概率。根據(jù)模型1和式（6-3），可得：0.685或68.5%系統(tǒng)中車輛數(shù)大于3的概率為：1.0-0.685=0.315要求系統(tǒng)中不多于3輛車的服務(wù)水平為95%，即應(yīng)該使我們可以用試算法來解這個方程0.685或68.5%系統(tǒng)中車輛數(shù)大于3的概率為：1.0-0.685=0.315要求系統(tǒng)中不多于3輛車的服務(wù)水平為95%，即應(yīng)該使第二部分由于空間的限制及對服務(wù)水平的15這就是說，出納員必須以95%的置信度每小時為32人服務(wù)，這樣才能使系統(tǒng)中的車輛數(shù)不超過3輛。也許通過調(diào)整服務(wù)方式，增加另一個出納員或者限制營業(yè)種類，服務(wù)速率可以大大提高。另外，在95%的置信度下保證系統(tǒng)中不多于3輛車時，出納員將有53%的閑暇時間。

例2：設(shè)備選擇在美國有一個機器人公司被特許將加油業(yè)務(wù)和汽車沖洗業(yè)務(wù)合并在一起。機器人公司對加滿油的車輛提供免費沖洗，對于不加油只沖洗的車收取0.5美元。以往的經(jīng)驗表明：加油并洗車的顧客數(shù)與單獨洗車的顧客數(shù)大致相等。平均家一次油可以盈利0.7美元，洗一次車的成本是0.1美元，機器人每天運轉(zhuǎn)14小時。機器人有三檔功率和驅(qū)動系統(tǒng)，該特許專營店必須先對著三檔功率作出選擇。A檔可以每5分鐘洗一輛車，每天成本為12美元；B檔可以每4分鐘洗一輛車，每天成本為16美元；C檔可以每3分鐘洗一輛車，每天成本為22美元。該專營店估計，每個顧客洗一輛車不愿等待時間超過5分鐘，若等待時間過長，公司將會失去顧客。若估計每小時有10名顧客來洗車，那么該選擇哪檔功率？這就是說，出納員必須以95%的置信度每小時為16解：選擇功率A時，根據(jù)模型2的公式可以計算出顧客的平均等待時間。

如果等待時間是唯一標(biāo)準(zhǔn)，則應(yīng)該選擇功率B，但是在做最終決策結(jié)論之前，還必須比較兩者的利潤。對于功率A，由于等待時間為12.5分鐘，部分顧客會放棄接受服務(wù)?？梢怨烙嫵鲞x擇功率A時營業(yè)額的減少量?？赏ㄟ^增加t1=5分鐘或1/12小時（平均顧客等待時間），從中解得到達率，這將是最有效的顧客到達率。

因此，既然λ的最初估計值是10人/小時，則每小時將失去2名顧客，損失為：2×14小時×1/2（0.7加油效益+0.4洗車效益）=15.40＄/天。因為選擇功率B，成本只增加4＄/天，顯然，選擇功率A所損失的15.40＄的效益能保證功率B的啟動。功率B能滿足最初設(shè)定的5分鐘等待最大限度，因此功率C可以不予考慮，除非到達率有較大的增長。解：選擇功率A時，根據(jù)模型2的公式可以計算出顧客的平均等待時17例3：關(guān)于服務(wù)臺的決策海爾公司住西安售后服務(wù)部門，維修工要為空調(diào)修理或服務(wù)而準(zhǔn)備零件。他的這種需求以表的形式遞交到零件服務(wù)柜臺，由柜臺職員填表，而此時維修工處于等待狀態(tài)。維修工的到達呈泊松分布，到達率為40人/小時，職員填表的速率為20份/小時，且處理時間服從指數(shù)分布。如果柜臺職員的工資為￥6元/小時，維修工的工資為￥12元/小時。請決定柜臺職員的最佳數(shù)。由于到達率很大，所以假設(shè)顧客源是無限的。解：首先假定服務(wù)柜臺安排3名職員，因為只有一個或兩個職員將產(chǎn)生無限長的隊列，原因是：在這里將用到模型3的公式（6-5）。根據(jù)表計算隊列中平均顧客數(shù)。由此可看出，每天隊列中平均等待數(shù)為0.8888，按一天8小時，每小時￥12元計算，維修工等待所付出的代價=0.8888×12×8=￥85.32元。假定增加一個柜臺職員，重新計算維修工的等待時間，比較增加一個柜臺職員的成本與維修工因此而節(jié)約時間所帶來的效益兩者之間的大小。維修工等待成本：0.1730×12×8=￥16.61（元/天）減少維修工等待時間可節(jié)約：85.32-16.61=￥68.71（元/天）增加一名柜臺職員的成本：8×6=￥48（元/天）柜臺職員由3名增加到4名，可節(jié)約成本68.71-48=￥20.71（元/天）所以柜臺職員的最佳數(shù)是4名。該問題可以引伸為由運送員向維修工運送零件的情況，此時解決該問題需要決定運送員的最佳人數(shù)。但是，必須考慮由于傳遞錯誤引起時間耽誤帶來的費用。因為維修工直接到柜臺領(lǐng)取零件可以立即糾正零件提取錯誤。例3：關(guān)于服務(wù)臺的決策海爾公司住西安售后服18例4：有限顧客源某紡織公司對一個車間的一排紡織機（共4臺）進行研究表明，平均每臺機器每小時都需要調(diào)整。就目前的這些調(diào)整服務(wù)人員來說，平均一次調(diào)整的時間為7.5分鐘。假定顧客到達數(shù)服從泊松分布，服務(wù)時間服從指數(shù)分布，每臺機器閑置時每小時損失￥40元。如果有另外一名調(diào)整服務(wù)人員（其平均一次調(diào)整時間也是7.5分鐘）。請決定是否以每小時￥7元的成本雇傭他？解：這是一個有限排隊問題。需要比較機器停工成本（包括等待的和被維修的時間）加上一個調(diào)整服務(wù)人員的成本與機器的停工期成本加上兩位調(diào)整服務(wù)的成本之間的大小。所以必須找出在系統(tǒng)中等待的平均機器數(shù)。設(shè)：N：總體的機器數(shù)；M：調(diào)整服務(wù)人員數(shù)；T：每臺機器的維修；U：在被維修之前，每臺機器的平均運行時間；L：隊列中等待維修的平均機器數(shù)；X：服務(wù)因子或每臺機器維修時間比率（X=T/(T+U)）；H：被維修的平均機器數(shù)。需要從有限排隊表中獲得的值有：D：一臺需要維修的機器需等待的概率；F：效率因子，衡量需維修的機器必須等待的結(jié)果。有限排隊表是根據(jù)三個變量來安排的：N為總體大??；X為服務(wù)路線數(shù)（在此問題中是指維修人員數(shù)）。先找到相應(yīng)的N值的表，查找對應(yīng)的X值以及D與F值。然后用有限排隊系統(tǒng)的模型和公式（6-6）計算其他參數(shù)。表6-24臺機器停工成本與維修成本比較表維修人員數(shù)故障機器數(shù)（H+L）故障機器每小時成本（H+L）×40維修人員成本7元/小時·人每小時總成本10.59723.887.0030.8820.45118.0414.0032.04例4：有限顧客源某紡織公司對一個車間的一排19

為解決此問題，考慮一個維修人員和兩個維修人員兩種情況。情況1：一個維修人員。根據(jù)上述資料可知：N=4，T=7.5分鐘，U=60分鐘，則X=T/（T+U）=7.5/（7.5+60）=0.111通過有限排隊表，即N=4的有限表，當(dāng)X=0.111，且M=1時，可查得F=0.957。隊列中等待維修的機器數(shù)為：L=N（1-F）=4×（1-0.957）=0.172臺機器被維修的機器數(shù)為：H=FNX=0.957×4×0.111=0.425臺機器表6-2表示的是由于故障機器停工期和維修人員引起的成本。情況2：兩個維修人員。根據(jù)上述資料可知：N=4，T=7.5分鐘，U=60分鐘，則X=T/（T+U）=7.5/（7.5+60）=0.111通過有限排隊表，即N=4的有限表，當(dāng)X=0.111，且M=2時，可查得F=0.998。隊列中等待維修的機器數(shù)為：L=N（1-F）=4×（1-0.998）=0.008臺機器被維修的機器數(shù)為：H=FNX=0.998×4×0.111=0.433臺機器機器閑置成本與兩個維修人員的成本顯示在表6-2中。最后一列表明，安排一名調(diào)整維修人員是最佳選擇。四、排隊問題的計算機仿真

一些排隊問題看視簡單，但真正做起來非常困難甚至不可能。前面討論了獨立條件的排隊問題，也就是說，無論是由單階段構(gòu)成的整個系統(tǒng)還是系列服務(wù)中的一個，它們都是獨立的，也就是當(dāng)一個服務(wù)的輸出發(fā)生在下一個服務(wù)之前，從實質(zhì)上說，該輸出成為下一個服務(wù)的輸入。當(dāng)一系列服務(wù)依次進行，且前一個服務(wù)的輸出率是后一個服務(wù)的輸入率時，就不能簡單地運用前面介紹的公式；另外，當(dāng)問題不滿足前面公式規(guī)定的條件時，也不能運用前面的公式。這時解決問題的最好手段是——計算機仿真。為解決此問題，考慮一個維修人員和兩個維修人員20例：兩階段裝配線

一條裝配線上所組裝的產(chǎn)品的體積是裝配線分析和設(shè)計所要考慮的重要因素。因為每個工作站所能存放的產(chǎn)品數(shù)量將會影響工人的工作。如果產(chǎn)品體積很大，那么相鄰的工作站存在著相互依賴的關(guān)系。如圖6-6，A和B在一個兩階段裝配線上工作，中間沒有可以存放半成品的地方，A如果干的慢，B就會被迫等待；相反如果A干得快或者說B完成工作比A用時要長，那么A就得等B。工作站1工作站2員工A員工B圖6-6一條裝配線上的兩個工作站

假設(shè)A是組裝線上的第一個工人，他能夠在任何時候拿到需要組裝的半成品進行工作。

該問題分析研究的重點就是A和B彼此間的相互影響。

研究的目標(biāo)：1）每個工人的平均完工時間是多少？2）這條組裝線的生產(chǎn)率是多少？3）A等待B的時間是多少？4）B等待A的時間是多少？5）如果兩個工作站間的空間加大，可以存儲半成品，從而增加工人的獨立性，那么這對于生產(chǎn)率、等待時間等問題會有什么影響？

數(shù)據(jù)的采集：一種方法是將裝配時間分割開，對每個工人單獨觀測，然后進行匯總。

仿真作為一項分析工具，她的動態(tài)性決定了它在定量分析方面具有很大的優(yōu)勢。而解析方法則不同，它表示的是系統(tǒng)長期運轉(zhuǎn)的平均結(jié)果。例：兩階段裝配線工作站1工作站2員工A員工B圖6-6一21秒工人A工人B次數(shù)次數(shù)5~14.994415~24.996525~34.9910635~44.9920745~54.99401055~64.9911865~74.995675~84.994410050表6-3工人觀測數(shù)據(jù)收集表表6-3是觀測工人A、B兩人裝配時間的數(shù)據(jù)收集表。為了簡化操作，裝配時間以10秒為區(qū)間進行劃分。對工人A觀測100次，對B觀測了50次。一般地觀測次數(shù)越多、時間間隔劃分越小，則研究的準(zhǔn)確性越高。但是投入的時間和人力就會越多，編程和仿真模型運行的時間就會越長。

隨機數(shù)區(qū)間分配表6-4是根據(jù)實際觀測數(shù)據(jù)的相同比率進行分配的隨機數(shù)區(qū)間。例如，工人A在100次操作中有4次在10秒種內(nèi)完成。因此，我們用100個數(shù)進行分配。應(yīng)該分配4個數(shù)與10秒鐘相對應(yīng)。這4個數(shù)可以是任意的4個數(shù)，例如，42、18、12和93，但是，這樣會使查找變得非常困難。所以在此，我們分配連續(xù)的數(shù)給他，比如00、01、02和03。我們得到工人B的50個觀測值。有兩種辦法分配隨機數(shù)。第一種：只用50個數(shù)（如00~49）來進行分配，并在仿真是忽略所有超過49的數(shù)，這樣將丟棄隨機數(shù)列中50%的數(shù)，是一種浪費。第二種：將頻率次數(shù)加倍。例如，不是將00~03分配給50次觀測中裝配時間為10秒的4次觀測，而是將00~07分配給100次觀測中的8次觀測，這樣，觀測次數(shù)加倍了但比例不變。秒工人A工人B次數(shù)次數(shù)5~14.994415~24.99622秒A的次數(shù)隨機數(shù)區(qū)間B的次數(shù)隨機數(shù)區(qū)間10400~03400~0720604~09508~17301010~19618~29402020~39730~43504040~791044~63601180~90864~7970591~95680~9180496~99492~9910050表6-4工人A和B的隨機數(shù)區(qū)間

簡單仿真表6-5是工人A和B裝配10件產(chǎn)品的手工仿真結(jié)果。隨機數(shù)來自隨機數(shù)表，從二位數(shù)的第一列開始向下取數(shù)。假定從00時間開始，接下來以秒計算。第一個隨機數(shù)56對應(yīng)于工人A裝配第一個工作用時55秒。這個工件送給工人B，他的開始時間是50秒。接下來的隨機數(shù)是83，根據(jù)表6-4，工人B用70秒完成了工作。同時，工人A開始裝配下一件產(chǎn)品，從第50秒開始用時50秒（因為接下來的隨機數(shù)是55），在第100秒完成。然而，工人A無法開始第三件產(chǎn)品的工作，因為工人B在第120秒才干完一件活。因此，工人A等待了20秒。（如果他們之間有存儲空間，工人A干完的活可以移出工作站，他在第100秒就可以干下一件活。）表6-5中其他數(shù)據(jù)可以用同樣的方法來