第6講 最值問題

第6講最值問題一、問題綜述1．最值定義：1）一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：=1\*GB3①對于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得，那么稱是函數的最大值，記為．2）一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：=1\*GB3①對于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得，那么稱是函數的最小值，記為．2．最值定理：一般地，如果在區(qū)間上函數的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．3．用導數求函數在上最值的步驟：（1）求在內的極值；（2）將的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．二、典例分析類型1：求函數的最大（?。┲?．函數表達式中不含參的最值問題【例1】已知函數為奇函數，其圖像在點處的切線與直線垂直，導函數的最小值為．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區(qū)間，并求函數在上的最大值和最小值．【解析】（1）因為為奇函數，則，所以．因為的最小值為，所以又，所以．所以．（2）由（1）得，令解得．列表如下：極大值極小值所以函數的單調遞增區(qū)間是和；又，在上的最大值是，最小值是．【方法小結】1．用導數求函數最值和求函數的極值方法類似，在給定區(qū)間是閉區(qū)間時，極值要和區(qū)間端點的函數值進行比較；2．當函數多項式的次數大于2或者用傳統(tǒng)方法不易求最值時，可考慮用導數的方法求解．2．函數表達式中含參的最值問題【例2】已知函數．（1）當時，求的值及曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最大值．解析：（1），則，所以，所以曲線在點處的切線方程為．（2）令，解得．當，即時，在上單調遞增，所以；當，即時，在上單調遞減，所以；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以．綜上所述，．類型2：已知函數最值求參數【例3】已知函數時，的最大值為3，最小值為，求的值．解析：由題設知，否則為常數，與題設矛盾．又，（1）當時，列表如下：則；又，則，解得．（2）當時，同理可得；，解得．綜上可得，或．【方法小結】1．本題因參數的取值對的最值產生影響，從而對分大于、等于和小于三類情況加以討論；2．在涉及參數的最值問題中，常因最值的大小不定而需討論，求解時務必“分清主次，統(tǒng)一標準”，做到“不重不漏”．類型3：與函數最值有關的恒成立問題1．不等式恒成立的參數探討【例4】已知函數在處取得極值，其中為常數．若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】由．所以，當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增．所以，解得．所以的取值范圍為．【例5】已知．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）對一切的恒成立，求實數的取值范圍．【解析】（1），所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．（2）由題意得恒成立，所以．設，則．所以，所以實數的取值范圍為．【方法小結】1．涉及不等式恒成立、能成立的問題時，一般需轉化為函數最值來解決．若不等式中含參數，則可考慮分離參數，以避免分類討論．2．不等式恒成立問題常見的轉化策略：（1）恒成立，恒成立．（2）恒成立．（3）恒成立．2．不等式的證明【例6】已知定義在正實數集上的函數．設兩曲線有公共點，且在該點處的切線相同．（1）用表示，并求的最大值；（2）求證：．【解析】設兩曲線的公共點為，則，即，又，由得，因為，所以，所以．構造函數，由得，當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，即實數的最大值為．（2）設．則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以．所以，即．【方法小結】不等式證明的步驟：（1）構造函數；（2）求導，判斷函數的單調性；（3）將函數與某個特殊的函數值作比較；（4）下結論．類型4：與函數最值有關的存在性問題【例7】（2010年山東高考理22）已知函數．(Ⅰ)當時，討論的單調性；（Ⅱ）設當時，若對任意，存在，使，求實數取值范圍．【解析】(Ⅰ)，令（1）當時，，當,函數單調遞減；當，函數單調遞增．(2)當時，由，即，解得．當時，恒成立，此時，函數單調遞減；當時，，時，函數單調遞減；時，，函數單調遞增；時，，函數單調遞減．當時，當,函數單調遞減；當，函數單調遞增．綜上所述：當時，函數在單調遞減，單調遞增；當時，恒成立，此時，函數在單調遞減；當時，函數在單調遞減，單調遞增，單調遞減．（Ⅱ）當時，在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，，（*）又當時，與（*）矛盾；當時，也與（*）矛盾；當時，．綜上，實數的取值范圍是．【方法小結】利用函數的最值研究不等式存在性問題一般轉化為不等式問題來處理：成立；成立．注：不等式存在性問題所求最值恰與不等式恒成立問題所求最值相反，即恒成立，則；，使，則．類型5：生活中的優(yōu)化問題【例7】（2015江蘇高考）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為，計劃修建的公路為．如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距離分別為5千米和40千米，點到的距離分別為20千米和2．5千米，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系．假設曲線符合函數（其中為常數）模型．（1）求的值；（2）設公路與曲線相切于點,的橫坐標為．=1\*GB3①請寫出公路長度的函數解析式，并寫出其定義域；=2\*GB3②當為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．OOC解析：（1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，2．5），將其分別代入，得解得（2）=1\*GB3①由（1）知，（），則點的坐標為，設在點處的切線交，軸分別于，點，，則的方程為，由此得，故=2\*GB3②設，則，令，解得當時，是減函數；當時，是增函數．從而，當時，函數有極小值，也是最小值，所以，此時答：當時，公路的長度最短，最短長度為千米．【方法小結】解生活優(yōu)化的綜合問題關鍵注意以下幾點：（1）理解實際問題的情景和背景，抓住關鍵詞句，理出主線，設置主元，將多變量轉化為主元的函數關系式，即建立正確的數學模型；（2）求函數模型的最大（小）值，在實際問題中若僅出現(xiàn)唯一的極值點通常就是最優(yōu)點；（3）注意所求的最值點是否在函數定義域內，是否符合實際問題的意義．三、鞏固練習1．求下列函數的最值：（1）；（2）；（3）．2．（2017北京高考理19）已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值．3．（2019全國Ⅲ理20）已知函數．（1）討論的單調性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．4．（2017新課標Ⅲ）已知函數．(1)若，求的值；(2)設為整數，且對于任意正整數，，求的最小值．5．已知函數．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）對任意的恒成立，求的最小值．6．（2015新課標Ⅱ）已知函數．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍．7．（2016年山東理20）已知．（=1\*ROMANI）討論的單調性；（=2\*ROMANII）當時，證明對于任意的成立．8．（2017新課標Ⅲ）已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，證明．9．（2014新課標Ⅰ）設函數，曲線在點處的切線斜率為0．（1）求b；（2）若存在，使得，求的取值范圍．10．（2013重慶）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率)．（1）將表示成的函數，并求該函數的定義域；（2）討論函數的單調性，并確定和為何值時該蓄水池的體積最大．四、鞏固練習參考答案1．（1）．令，解得，列表如下：所以，；．（2），所以在上單調遞減，故；．（3）得所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無最大值．2．（1），，，在處的切線方程為，即（2）令，則，時，，在上單調遞減，時，，即，在上單調遞減，時，有最大值，時，有最小值．解法2．設對恒成立；在上單調遞減又，即又因為當時，時，在上單調遞增，在上單調遞減；在上單調遞減解法3．令則則在上單調遞增設對恒成立，則在上單調遞增在上單調遞減3．（1）．令，解得，或．①時，，函數在上單調遞增．②時，函數在，，上單調遞增，在上單調遞減．③時，函數在，上單調遞增，在，上單調遞減．（2）由（1）可得：①時，函數在，上單調遞增．則，（1），解得，，滿足條件．②時，函數在，上單調遞減．，即時，函數在，上單調遞減．則，（1），解得，，滿足條件．，即時，函數在，上單調遞減，在，上單調遞增．則，而，（1），（1），聯(lián)立解得：無解，舍去．③時，函數在，上單調遞增，則，（1），解得，，不滿足條件，舍去．綜上可得：存在，，即，或，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．4．⑴，則，且當時，，在上單調增，所以時，，不滿足題意；當時，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增．①若，在上單調遞增∴當時矛盾②若，在上單調遞減∴當時矛盾③若，在上單調遞減，在上單調遞增∴滿足題意綜上所述．⑵當時即則有當且僅當時等號成立∴，一方面：，即．另一方面：當時，∵，，∴的最小值為．5．（1），所以的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為．（2）對任意的，即恒成立．令，則，令，則，故在上為減函數，所以，從而，所以在上為增函數，，則的最小值為．6．（Ⅰ）的定義域為，．若，則，所以在單調遞增．若，則當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在上無最大值；當時，在取得最大值，最大值為．因此等價于．令，則在單調遞增，．于是，當時，；當時，．因此的取值范圍是．7．（Ⅰ）的定義域為；．當，時，，單調遞增；，單調遞減．當時，．（1），，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；（2）時，，在內，，單調遞增；（3）時，，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減．綜上所述，當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增；當時，在內單調遞增；當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，，，令，．則，由可得，當且僅當時取得等號．又，設，則在單調遞減，因為，所以在上存在使得時，，時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，因此，當且僅當時取等號，所以，即對任意的恒成立．8．（1）的定義域為，．若，則當時，，故在單調遞增．若，則當時，；當時，．故在QUOTE0,-12a單調遞增，在單調遞減．（2）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為．所以等價于，即．設，則．當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．故當時，取得最大值，最大值為．所以當時，．從而當時，，即QUOTEfx≤-34a-2．

9．（I），由題設知，，解得．（Ⅱ）的定義域為