水工結構工程計算中的組合網格算法

水工結構工程計算中的組合網格算法

科學、技術計算中存在許多接觸問題。例如，在地質工程中會遇到在幾百米的地層中分析幾十厘米厚的斷層，重力壩和拱壩工程中的壩踵開裂、接縫張開和閉合、邊坡穩(wěn)定等，接觸區(qū)域常常又是工程的關鍵部位。對于這種問題，常規(guī)有限元計算經常采用的方法是在局部加密以代替整體加密；但是局部加密常常會帶來有限元網格剖分十分困難，即便能剖分網格，粗細網格的過渡也會造成節(jié)點過多，矩陣病態(tài)的問題，使得計算精度降低或計算無法進行。特別是三維問題，在六面體網格方面想要得到一個具有局部加密的高質量的網格還是很不容易的。常規(guī)有限元解決混凝土壩的接觸問題，網格尺寸通常為10～30m，一旦一個單元發(fā)生拉開或剪切，則10～30m內的混凝土全部拉開或發(fā)生剪切破壞。這對精確描述混凝土壩的接觸行為顯然是不夠的。為此，我們提出了用組合網格法(cgm)來解決混凝土壩的接觸問題。1采用粗網格求解組合網格算法采用兩套網格求解，在整個求解區(qū)域采用較粗網格，并且不考慮接觸的影響。即認為：在整體區(qū)域是連續(xù)的，在接縫附近區(qū)域采用較細網格考慮接縫的影響，整體粗網格求解和局部細網格求解反復迭代，求得最終結果。其中，引入插值矩陣使得粗細兩套有限元網格無需嵌套，并能夠適用于非規(guī)則網格。即，粗細網格皆可獨立生成，彼此互不制約，同時能真正地應用于工程實際問題。在整體區(qū)域和局部區(qū)域材料參數相同的條件下，許進超和周愛輝教授1.1組合網格法的計算格式為了闡述方便，我們考慮如下的齊次邊值問題：式中，L問題對應的虛功方程為：將式（2）中兩式相加得由此可得到如下組合網格法的計算格式：式中，u1.2算法步驟初始化：n=0,u步1：求v步2：求u2整體區(qū)域收斂控制準則基于以上討論，本文選用北京飛箭有限元公司的有限元程序生成系統(tǒng)（FEPG）作為開發(fā)工具和平臺，開發(fā)、設計相應的數值模擬分析程序軟件。為了數值分析的高效及可靠性，本文采用模塊化設計思路。程序設計分：整體區(qū)域不考慮接縫影響計算、局部區(qū)域考慮接縫影響計算、局部區(qū)域不考慮接縫影響計算、局部區(qū)域考慮接縫影響反力計算、局部區(qū)域不考慮接縫影響反力計算5個模塊。收斂控制準則通過整體區(qū)域計算結果來實現。每個相對獨立模塊間的數據通訊由批處理指令自動執(zhí)行。程序計算流程：(1）整體區(qū)域不考慮接縫影響計算。(2）讀入（1）的計算結果并插值作為局部區(qū)域邊界，局部區(qū)域考慮接縫影響計算。(3）讀入（1）的計算結果并插值作為局部區(qū)域邊界，局部區(qū)域不考慮接縫影響計算。(4）讀入（2）的計算結果，局部區(qū)域考慮接縫影響反力計算。(5）讀入（3）的計算結果，局部區(qū)域不考慮接縫影響反力計算。(6）讀入（4）和（5）的計算結果并將（5）-（4）的值通過插值讀入（1）中，進入下一流程，直至滿足收斂要求。軟件框架（見圖2）。3計算3.1靜力中斷3.1.1基于約束條件的乘子求解包含lagrange乘子的有限元方程：式中，A為剛度矩陣；U為位移項；F為右端載荷項；B表示位移與接觸力的相關矩陣；λ表示接觸力；g為點對中某端受約束的約束值。綜合式（7）、（8）得：對于等式約束，無需修正乘子λ，由式（9）直接求解乘子λ，利用求解得到的乘子λ帶入U=A對于有摩擦的不等式約束，通過整體坐標與局部坐標之間的轉換矩陣T，將乘子轉到局部坐標系下λ式中，μ表示摩擦系數；c表示粘聚力；λ迭代結束后通過λ=T局部區(qū)域連續(xù)模塊和接縫模塊用一套網格，連續(xù)模塊用等式約束來實現，接縫模塊用不等式約束實現。3.1.2與組合網格法計算結果比較計算模型示意見圖3。模型參數：彈性模量E=1.0×10按照前面接觸問題的組合網格算法，在縫的附近取1個3m×3m幾何模型作為局部區(qū)域，整體區(qū)域不考慮縫的影響，整體區(qū)域粗網格尺寸為0.5m，局部區(qū)域細網格尺寸為0.1m（如圖4、5所示）。為了驗證組合網格法計算結果的合理有效性，將整體加密（網格尺寸為0.1m）計算結果與組合網格法計算結果加以比較（見圖6）。從圖6可以看出，兩種方法得到節(jié)點對的開裂位移結果基本一致，說明組合網格法計算接觸問題算法是合理有效的。通過比較在靜力開裂情況下組合網格法與整體加密方法計算的節(jié)點對開裂位移，說明組合網格法在計算接觸類問題是有效可靠的，為下一步計算大型水工結構中的壩踵開裂、大壩加高后在地震作用下的反應以及橫縫接觸問題奠定了基礎。3.2各網格的組合網格法為了研究丹江口水庫加高后新老混凝土接觸面的地震反應，在新老混凝土接觸面附近用細網格加密作為局部計算區(qū)域，而在整體區(qū)域上新老混凝土接觸面認為是連續(xù)的，并不考慮接縫的影響，這樣可以在整體區(qū)域采用較粗的網格。整體區(qū)域粗網格尺寸在1m左右，其計算模型及網格示意如圖7。局部區(qū)域細網格尺寸為0.2m，其計算模型及網格示意如圖8。兩套網格相互獨立，按照前面接觸問題的組合網格法算法計算上述兩個獨立的區(qū)域。節(jié)點對開裂位移時程如圖9、10所示