數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)課件

復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)⑴定義：大小的不能比較大小

⑵三種幾何表示方法：點(diǎn)，向量，復(fù)球面⑶數(shù)學(xué)表示法①②③⑶復(fù)數(shù)的運(yùn)算Z的n次方的計(jì)算復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)⑵三種幾何表示方法：點(diǎn)，向量，復(fù)球面⑶1數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件2數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件3數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件4數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件5數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件6數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件7數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件8數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件9復(fù)變函數(shù)3.復(fù)變函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)是一個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的有序組合

復(fù)變函數(shù)3.復(fù)變函數(shù)10可導(dǎo)的必要與充要條件必要條件：四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在：滿足C-R條件：充分必要條件：1.四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)2.滿足C-R條件可導(dǎo)的必要與充要條件必要條件：11解析函數(shù)的概念定義：解析的充要條件：該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)的充要條件處處成立函數(shù)解析與可導(dǎo)、連續(xù)、極限的關(guān)系

解析函數(shù)的概念定義：函數(shù)解析與可導(dǎo)、連續(xù)、極限的關(guān)系

12解析函數(shù)的性質(zhì)1.C-R：2.判斷一個(gè)函數(shù)是否解析解析函數(shù)的性質(zhì)1.C-R：13數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件14數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件15數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件16數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件17數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件18數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件19數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件20數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件21數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件22數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件23數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件24數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件25數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件26Y(X,Y)0(X,0)XY027Y(X,Y)0(X,0)XY028數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件29數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件30數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件31數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件32數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件332.復(fù)變函數(shù)的積分①C分段光滑②在線段C上連續(xù)定義式分解式2.復(fù)變函數(shù)的積分①C分段光滑定義式342.復(fù)積分的基本性質(zhì)

1.2.3.2.復(fù)積分的基本性質(zhì)

1.35復(fù)積分的基本性質(zhì)

4.

5.復(fù)積分的基本性質(zhì)

36數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件37復(fù)通區(qū)域的科西定理

復(fù)通區(qū)域的科西定理

38復(fù)積分的計(jì)算方法1.定義式2.分解式：3.極坐標(biāo)法：積分曲線為圓周時(shí)4.科西定理：復(fù)積分的計(jì)算方法1.定義式39科西積分公式科西積分公式40二.科西公式的推論

二.科西公式的推論

41高階導(dǎo)數(shù)公式的說明1.2.3.高階導(dǎo)數(shù)公式的說明1.2.3.42圍道積分計(jì)算總結(jié)科西定理：科西公式：科西導(dǎo)數(shù)公式綜合式（復(fù)連通區(qū)域?qū)?shù)公式）如：圍道積分計(jì)算總結(jié)科西定理：43例：計(jì)算其中為以為中心，為半徑的正方向，為整數(shù)解：的方程為所以：例：計(jì)算其中為以為解：的方程為44結(jié)論非常重要，必須記?。浩涮攸c(diǎn)是與積分路線的圓周中心及半徑無關(guān)．結(jié)論非常重要，必須記住：其特點(diǎn)是與積分45例２：試沿區(qū)域內(nèi)的圓弧計(jì)算的值例２：試沿區(qū)域內(nèi)的圓弧46例：計(jì)算的值，為包含圓周的任何正向簡單閉曲線．例：計(jì)算的值，為包含圓周47柯西定理的應(yīng)用由的積分之值，證明:證明:因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分圍道外，故在內(nèi)解析，因而有:

柯西定理的應(yīng)用由48例：求下列積分（沿圓周正向）的值例：求下列積分（沿圓周正向）的值49柯西公式應(yīng)用應(yīng)用舉例例1問題：計(jì)算回路積分分析：與柯西公式比較，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式柯西公式應(yīng)用應(yīng)用舉例分析：與柯西公式比較，可知f(z)=c50柯西公式應(yīng)用已知,求的值柯西公式應(yīng)用已知51解：當(dāng)|x|<3時(shí)，由Cauchy公式有：解：當(dāng)|x|<3時(shí)，由Cauchy公式有：52冪級(jí)數(shù)收斂半徑例1.求解冪級(jí)數(shù)收斂半徑例1.求解53泰勒級(jí)數(shù)設(shè)f(z)在區(qū)域D解析，則在該區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)z=b的領(lǐng)域含于D內(nèi)，f(z)可以展開為唯一的冪級(jí)數(shù)：b泰勒級(jí)數(shù)設(shè)f(z)在區(qū)域D解析，則在該區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)z=b的54基本函數(shù)的泰勒展開例1.例2.例3.基本函數(shù)的泰勒展開例1.例2.例3.55泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)56羅朗級(jí)數(shù)上一致收斂羅朗級(jí)數(shù)上一致收斂57羅朗級(jí)數(shù)C羅朗級(jí)數(shù)C58展開方法例4（1）以Z=0為中心進(jìn)行羅朗展開（2）在環(huán)域∣Z-1∣＞1中展開例5展開方法例459

解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)

1.孤立奇點(diǎn)概念

解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)

1.孤立奇點(diǎn)概念60孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類61孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類62孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類63孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類64孤立奇點(diǎn)的分類例2

孤立奇點(diǎn)的分類例265

孤立奇點(diǎn)的分類

孤立奇點(diǎn)的分類

66留數(shù)定理在D內(nèi)將孤立奇點(diǎn)分別用互不包含且互不相交的圍線Ck圍繞起來，而圍線L包圍了所有的奇點(diǎn)，應(yīng)用復(fù)連通區(qū)域的科西積分定理得：→→留數(shù)定理在D內(nèi)將孤立奇點(diǎn)分別用互不包含且互不相交的圍線Ck圍67留數(shù)定理留數(shù)定理68無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)69留數(shù)定理留數(shù)定理70

留數(shù)的計(jì)算方法

留數(shù)的計(jì)算方法

71留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)的計(jì)算方法72留數(shù)的計(jì)算實(shí)例例2.

留數(shù)的計(jì)算實(shí)例例2.73留數(shù)的計(jì)算實(shí)例留數(shù)的計(jì)算實(shí)例74留數(shù)的計(jì)算實(shí)例例3.留數(shù)的計(jì)算實(shí)例例3.75留數(shù)的計(jì)算實(shí)例留數(shù)的計(jì)算實(shí)例76①利用留數(shù)計(jì)算圍道積分例4①利用留數(shù)計(jì)算圍道積分例4772.用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分

2.用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分

78例4例479數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件80類型二：★★：此處Zk為上半平面奇點(diǎn)，不包括下半平面奇點(diǎn)例5類型二：★★：此處Zk為上半平面奇點(diǎn)，不包括下半平面奇點(diǎn)例581傅里葉變換傅里葉變換8212：12：83數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件84數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件85數(shù)學(xué)模型的建立和邊界條件數(shù)學(xué)模型的建立和邊界條件86定解條件定解條件87定解條件例2.規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值

定解條件例2.規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)88定解條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值

例3.物體冷卻時(shí)放出的熱量-與物體和外界的溫度差（u-u0）成正比，其中u0為周圍介質(zhì)的溫度。定解條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上89定解條件定解條件90行波法

行波法解題思想：（也叫通解法，并不僅僅局限于求解波動(dòng)方程）先求出通解代入定解條件求出定解行波法

行波法解題思想：（也叫通解法，并不僅僅局限于求解波動(dòng)91不同邊界條件下的本征值問題形式2不同邊界條件下的本征值問題形式292解：步驟1，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。令帶入方程：令帶入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律一有界弦的自由振動(dòng)解：步驟1，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。帶入方程93分情況討論：1）2）3）令，為非零實(shí)數(shù)特征值問題特征值與特征函數(shù)分情況討論：1）2）3）令94步驟2，疊加原理做出解的線性組合。步驟2，疊加原理做出解的線性組合。95步驟3，其余的定解條件求出系數(shù)。步驟3，其余的定解條件求出系數(shù)。96?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常97不同邊界條件下的本征值問題形式3形式4作業(yè)：分別求出本征值和本征函數(shù)=？不同邊界條件下的本征值問題形式3形式4作業(yè)：分別求出本征值和98數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)ppt課件99實(shí)根特征根通解求方程的通解的步驟為：(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程實(shí)根特征根通解求方程的通解100

特征根通解求方程的通解的步驟為：(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征根通解求方程的通解的步101球函數(shù)10.1.1勒讓德方程勒讓德多項(xiàng)式在分離變量法一章中，我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程球函數(shù)10.1.1勒讓德方程勒讓德多項(xiàng)式102

（10.1.1）在球坐標(biāo)系下分離變量后得到歐拉型常微分方程和球諧函數(shù)方程（10.１.2）(10.1.2)式的解與半徑無關(guān)，故稱為球諧函數(shù)，或簡稱為球函數(shù)．（10.1.1103球諧函數(shù)方程進(jìn)一步分離變量，令得到關(guān)于的常微分方程

（10.1.3）

稱為階連帶勒讓德方程.令

和

把自變數(shù)從換為，則方程（19.1.3）可以化為下列階連帶勒讓德方程

形式的球諧函數(shù)方程進(jìn)一步分離變量，令得到關(guān)于的常微分方程104

（10.1.4）

若所討論的問題具有旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱性，即定解問題的解與無關(guān)，則，即有

（10.1.5）

稱為階勒讓德（legendre）方程．

（10.1.4）若所討論的問題具有旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱性，即105同樣若記，，則上述方程也可寫為下列形式的階勒讓德方程

(10.1.6)

同樣若記，，則上述方程也可寫為下列形式的階勒讓德方程10610．1．2勒讓德多項(xiàng)式的表示1.勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表示我們知道：在自然邊界條件下，勒讓德方程的解為

（10.1.7）式中

上式具有多項(xiàng)式的形式，故稱為階勒讓德多項(xiàng)式．勒讓德多項(xiàng)式也稱為第一類勒讓德函數(shù)．10．1．2勒讓德多項(xiàng)式的表示1.勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表示107式（10.1.7）即為勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表示．注意到,故可方便地得出前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式:

式（10.1.7）即為勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表示．注意到,故可108計(jì)算，這應(yīng)當(dāng)?shù)扔诙囗?xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)．

如為（即為奇數(shù)）時(shí)，

則只含奇

數(shù)次冪，不含常數(shù)項(xiàng)，所以

（19.１.8）

（即為偶數(shù)）時(shí)，

則含有常數(shù)項(xiàng)，即

（19.１.7）中

的那一項(xiàng)，所以

（19.１.9）

式中記號(hào)

而因此，．計(jì)算，這應(yīng)當(dāng)?shù)扔诙囗?xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)．如為（即為奇數(shù)）時(shí)，則只10910.2勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)10.2.1勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)

1.勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)對(duì)于勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)，有如下結(jié)論：（i）的個(gè)零點(diǎn)都是實(shí)的，且在內(nèi)；（ii）的零點(diǎn)與的零點(diǎn)互相分離．

2.奇偶性根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的定義式，作代換容易得到

（10.2.1）

即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式為偶函數(shù)，為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)

10.2勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)10.2.1勒讓德多項(xiàng)式的性1103.勒讓德多項(xiàng)式的正交性及其模不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間上滿足(10.2.2)其中當(dāng)時(shí)滿足，(10.2.3)稱為正交性．相等時(shí)可求出其模

(10.2.4)3.勒讓德多項(xiàng)式的正交性及其模不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間上滿1114.廣義傅里葉級(jí)數(shù)定理10.2.1在區(qū)間[-1,1]上的任一連續(xù)函數(shù),可展開為勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)

（10.2.5）

其中系數(shù)