中考數(shù)學(xué)：點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生路徑長(zhǎng)問(wèn)題

中考數(shù)學(xué)：點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生路徑長(zhǎng)問(wèn)題點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生的路徑長(zhǎng)問(wèn)題近年來(lái)，中考和我們同學(xué)做的中考模擬試卷中，經(jīng)常出現(xiàn)因動(dòng)點(diǎn)計(jì)算路徑長(zhǎng)的問(wèn)題。這種題型難以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算比較繁瑣，在填空題和選擇題中比較多。只要同學(xué)們?cè)谧鲱}的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)是這種題型，那么點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑一般就是兩種結(jié)果：線段和圓弧。因?yàn)橹挥羞@兩個(gè)圖形可以計(jì)算路徑長(zhǎng)，其他圖形我們目前還無(wú)法計(jì)算路徑長(zhǎng)。下面我們來(lái)看看幾種常見(jiàn)的題型。題型1：簡(jiǎn)單的圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題。解法：這種題型比較簡(jiǎn)單。只要找出旋轉(zhuǎn)圓心、旋轉(zhuǎn)時(shí)圓的半徑和圓心角，然后利用扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式來(lái)計(jì)算。注意，如果是圓弧旋轉(zhuǎn)的話，圓心的路徑是直線。例題1：一塊邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的木板，沿水平線翻滾，求B點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度。試題分析：B點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束走過(guò)了4條弧，每條弧是一等邊三角形的邊為半徑的扇形，圓心角為等邊三角形的內(nèi)角，所以B點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束所走過(guò)的路程長(zhǎng)度=4l=點(diǎn)評(píng)：本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是找出扇形的圓心角和半徑，考查學(xué)生的空間想象能力。例題2：矩形ABCD的邊AB=8，AD=6，放在直線l上且沿著l向右作無(wú)滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開(kāi)始的位置A時(shí)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是多少？題型2：線段型問(wèn)題也就是路徑長(zhǎng)是線段，我們會(huì)遇到兩種情況。第一種情況是動(dòng)點(diǎn)始終到某直線的距離是一個(gè)定值。第二種情況需要建立直角坐標(biāo)系來(lái)解決，或者動(dòng)點(diǎn)與起始時(shí)連線始終和某個(gè)直線的夾角是一個(gè)定值。第二種情況的難度明顯比第一種要大。例題6：如圖，已知AB=10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是多少？例題7：等邊三角形ABC中，BC=6，D、E是邊BC上兩點(diǎn)，且BD=CE=1，點(diǎn)P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC、AB的平行線交AB、AC于點(diǎn)M、N，連接MN、AP交于點(diǎn)G，則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)E的過(guò)程中，線段BG掃過(guò)的區(qū)域面積為多少？例題8：如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）。（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，點(diǎn)P、C、Q所構(gòu)成的三角形與直角三角形ABC相似。（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為多少？例題9：如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為23的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N。若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)。求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？例題10：如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限。一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒。在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BP的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將線段PE繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段PC。（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OA的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為什么？（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)。（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。例題11：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG。（1）設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍。解法：根據(jù)題意，可以得到以下關(guān)系式：EF=x+2EG=√(x^2+4)GF=2-x因此，△EGF的面積為：y=1/2*EF*EG*sin(∠EGF)代入上述公式，化簡(jiǎn)得：y=x/2*√(4+x^2)自變量x的取值范圍為0≤x≤2。（2）P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)。解法：由題意可知，P是MG的中點(diǎn)，因此PM=MG/2。由于G是EF的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)，因此可以得到：MG=BG-BMBG=BE+EGBE=AB-AE=2-xEG=√(x^2+4)因此，MG=(2-x)+√(x^2+4)-BM。又因?yàn)锽M=BP+PM，其中BP=2，PM=MG/2，因此BM=2+MG/2。代入上式得：MG=(2-x)+√(x^2+4)-(2+MG/2)化簡(jiǎn)得：MG=4-x-√(x^2+4)因此，P的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為：L=∫(0,2)√(1+(dy/dx)^2)dx代入dy/dx=-1/((x/2)*√(4+x^2))，化簡(jiǎn)得：L=∫(0,2)√(1+1/(4+x^2))dx用代換法可得：L=2*ln(2+√5)-√5因此，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為2*ln(2+√5)-√5米。例題12：一根長(zhǎng)為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時(shí)BC為1米，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A'處并且A'C=1米時(shí)，木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為多少米。解法：由題意可知，當(dāng)A下滑至A'處并且A'C=1米時(shí)，可以得到：AC=√(AB^2-BC^2)=√3AP=AA'-A'P=√3-1因此，P的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為：L=2*∫(0,√3-1)√(1+(dy/dx)^2)dx代入dy/dx=-x/√(3-x^2)，化簡(jiǎn)得：L=2*(3-√3-ln(2+√3))因此，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為2*(3-√3-ln(2+√3))米。例題13：在Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿PB折疊，得到點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過(guò)程對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)是多少。解法：由題意可知，將紙片沿PB折疊后，可以得到：BD=BP=√(4-x^2)CD=4-x因此，D的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為：L=∫(0,4)√(1+(dy/dx)^2)dx代入dy/dx=-x/√(16-x^2)，化簡(jiǎn)得：L=∫(0,4)√(1+x^2/(16-x^2))dx用代換法可得：L=2*ln(2+√3)-√3因此，折疊過(guò)程對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)為2*ln(2+√3)-√3米。例題14：半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為多少。解法：由題意可知，可以得到以下關(guān)系式：OD=4OB=2√3AB=4BC=4-AB/2=2CF=AE*AB/2/(AE^2+BE^2)^(1/2)=2/√5因此，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為：L=∫(0,π)√(1+(dy/dx)^2)dx代入dy/dx=-4sinx/(4cosx+2√3)+2/√5，化簡(jiǎn)得：L=∫(0,π)√(1+16/(16+16√3cosx+12cos^2x+5sin^2x))dx用代換法可得：L=4*ln(1+2√3)-2√3因此，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為4*ln(1+2√3)-2√3米。例題15：直線y=﹣x+4與兩坐標(biāo)軸交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過(guò)點(diǎn)A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為多少。解法：由題意可知，可以得到以下關(guān)系式：AM=AP*BP/(AP+BP)=x(4-x)/(2+x)BM=BP-PM=BP-AP*AM/BP=2-2x/(2+x)因此，M的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為：L=∫(0,2)√(1+(dy/dx)^2)dx代入dy/dx=-2x/(2+x)^2*√(1+(4-2x/(2+x))^2)，化簡(jiǎn)得：L=∫(0,2)√(1+4x^2/(2+x)^2)dx用代換法可得：L=2*ln(2+√5)-√5因此，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為2*ln(2+√5)-√5米。例題16：半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P．從點(diǎn)P向上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H．設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在A處時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為多少。解法：由題意可知，可以得到以下關(guān)系式：AP=2PH=√3OH=1因此，可以得到以下關(guān)系式：tan∠OPH=PH/OH=√3sin∠OPI=sin(45°)=1/√2因此，可以得到以下關(guān)系式：PI=PH/sin∠OPI=2√2OI=2-PI=2-2√2因此，I的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為：L=∫(0,2)√(1+(dy/dx)^2)dx代入dy/dx=-2x/(4-x^2)*√(1+(4-x^2)/(4-x^2)^2)，化簡(jiǎn)得：L=∫(0,2)√(1+4x^2/(4-x^2)^2)dx用代換法可得：L=2*ln(2+√3)-√3因此，當(dāng)點(diǎn)P在A處時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2*ln(2+√3)-√3cm。例題18：已知正方形ABCD，AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，邊長(zhǎng)為2，求線段DH長(zhǎng)度的最小值。首先，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知AE=BC=DF=2，而且CF與BE互相垂直，且交于正方形的中心點(diǎn)O。因此，我們可以通過(guò)計(jì)算三角形AOC與三角形DOB的面積來(lái)求出線段DH的長(zhǎng)度。設(shè)線段DH的長(zhǎng)度為x，則有：三角形AOC的面積為：1/2*AO*OC=1/2*2*(2-x)=2-x三角形DOB的面積為：1/2*DO*OB=1/2*(2-x)*2=2-x因?yàn)槿切蜛OC與三角形DOB的面積相等，所以有：2-x=2-x解得x=2，因此線段DH的最小值為2。例題19：已知點(diǎn)A（1,0）與點(diǎn)B（5,0）都在x軸上，求是否存在點(diǎn)C在y軸上，使得∠ACB=30°，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。