第6章-動(dòng)力學(xué)課件

動(dòng)力學(xué)是機(jī)器人控制的基礎(chǔ)，本章主要從控制的角度來研究機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問題。機(jī)械手通常是一種開鏈?zhǔn)蕉嚓P(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，是一種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，需要采用系統(tǒng)的分析方法來研究它的動(dòng)態(tài)特性。本章我們運(yùn)用拉格朗日力學(xué)原理來分析機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問題，因?yàn)槔窭嗜辗椒芤宰詈唵蔚男问角蟮梅浅?fù)雜的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。本章的主要內(nèi)容如下：運(yùn)用拉格朗日力學(xué)原理分析和求取兩自由度機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程；介紹六自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求取方法和步驟；

推導(dǎo)出完整的動(dòng)力學(xué)方程，然后根據(jù)有效性分析來簡化這些方程。6.1引言(Introduction)1動(dòng)力學(xué)是機(jī)器人控制的基礎(chǔ)，本章主拉格朗日算子L定義為系統(tǒng)的動(dòng)能K與勢能P的差

L=K–P

(6.1)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能可以用任何能使問題簡化的坐標(biāo)系統(tǒng)來表示，并不一定要使用笛卡爾坐標(biāo)。動(dòng)力學(xué)方程通常表述為其中，qi是表示動(dòng)能和勢能的坐標(biāo)值，是速度，而Fi是對(duì)應(yīng)的力或力矩，F(xiàn)i是力還是力矩，這取決于qi是直線坐標(biāo)還是角度坐標(biāo)。這些力、力矩和坐標(biāo)分別稱為廣義力、廣義力矩和廣義坐標(biāo)。(6.2)

6.2拉格朗日力學(xué)——一個(gè)簡例(LagrangianMechanics—ASimpleExample)2拉格朗日算子L定義為系統(tǒng)的動(dòng)能

為了說明問題，我們看一個(gè)具體例子，假定有如圖6.1所示的兩連桿的機(jī)械手，兩個(gè)連桿的質(zhì)量分別為m1、m2，由連桿的端部質(zhì)量代表，兩個(gè)連桿的長度分別為d1、d2，機(jī)械手直接懸掛在加速度為g的重力場中，廣義坐標(biāo)為θ1和θ2。m2d1d2m1xy圖6.1兩連桿的機(jī)械手3為了說明問題，我們看一個(gè)具體例子，假定有如圖6.1動(dòng)能的一般表達(dá)式為，質(zhì)量m1的動(dòng)能可直接寫出

勢能與質(zhì)量的垂直高度有關(guān)，高度用y坐標(biāo)表示，于是勢能可直接寫出

對(duì)于質(zhì)量m2，由圖6.1，我們先寫出直角坐標(biāo)位置表達(dá)式，然后求微分，以便得到速度(6.4)(6.3)(6.5)(6.6)6.2.1動(dòng)能和勢能(TheKineticandPotentialEnergy)4動(dòng)能的一般表達(dá)式為速度的直角坐標(biāo)分量為

速度平方的值為(6.8)(6.7)(6.9)5速度的直角坐標(biāo)分量為速度平方的值為(6.8)(6.7)(6從而動(dòng)能為(6.10)質(zhì)量的高度由式(6.6)表示，從而勢能就是(6.11)6從而動(dòng)能為(6.10)質(zhì)量的高度由式(6.6)表示，從而勢能拉格朗日算子L=K–P可根據(jù)式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得(6.12)6.2.2拉格朗日算子(TheLagrangian)7拉格朗日算子L=K–P可根據(jù)式(6.3)、(6.為了求得動(dòng)力學(xué)方程，我們現(xiàn)在根據(jù)式(6.2)對(duì)拉格朗日算子進(jìn)行微分（6.13）（6.14）（6.15）

6.2.3動(dòng)力學(xué)方程(TheDynamicsEquations)8為了求得動(dòng)力學(xué)方程，我們現(xiàn)在根據(jù)式(6.2)對(duì)拉格朗日算子進(jìn)根據(jù)式(6.2)，把式(6.14)與(6.15)相減就得到關(guān)節(jié)1的力矩（6.16）9根據(jù)式(6.2)，把式(6.14)與(6.15)相減就得到關(guān)(6.17)(6.18)(6.19)用拉格朗日算子對(duì)求偏微分，進(jìn)而得到關(guān)節(jié)2的力矩方程10(6.17)(6.18)(6.19)用拉格朗日算子對(duì)于是關(guān)節(jié)2的力矩為（6.20）將式(6.16)和(6.20）重寫為如下形式（6.21）（6.22）11于是關(guān)節(jié)2的力矩為（6.20）將式(6.16)和(6.20

在方程（6.21）和（6.22）中各項(xiàng)系數(shù)D的含義如下：Dii

—關(guān)節(jié)i的等效慣量（Effectiveinertia），關(guān)節(jié)i的加速度使關(guān)節(jié)i產(chǎn)生的力矩Dij

—關(guān)節(jié)i與關(guān)節(jié)j之間的耦合慣量（Couplinginertia）關(guān)節(jié)i或關(guān)節(jié)j的加速度分別使關(guān)節(jié)j或i產(chǎn)生的力矩和Dijj

—由關(guān)節(jié)j的速度產(chǎn)生的作用在關(guān)節(jié)i上的向心力系數(shù)（Centripetalforce）Dijk—作用在關(guān)節(jié)i上的復(fù)合向心力（哥氏力Coriolisforce）的組合項(xiàng)系數(shù)，這是關(guān)節(jié)j和關(guān)節(jié)k的速度產(chǎn)生的結(jié)果Di—作用在關(guān)節(jié)i上的重力（Gravity）12在方程（6.21）和（6.22）中各項(xiàng)系數(shù)

把方程(6.16)、(6.20)與(6.21)、(6.22)比較，我們就得到各項(xiàng)系數(shù)的值：等效慣量 D11=[(m1+m2)d12+m2d22+2m2d1d2cos(θ2)](6.23) D22=m2d22(6.24)耦合慣量 D12=m2d22+m2d1d2cos(θ2)(6.25)向心加速度系數(shù) D111=0(6.26) D122=-m2d1d2sin(θ2)(6.27) D211=m2d1d2sin(θ2)(6.28) D222=0(6.29)13把方程(6.16)、(6.20)與(6.2哥氏加速度系數(shù)D112=D121=-m2d1d2sin(θ2)(6.30)D212=D221=0(6.31)重力項(xiàng)為D1=(m1+m2)gd1Sin(θ1)+m2gd2Sin(θ1+θ2) (6.32)D2=m2gd2Sin(θ1+θ2)(6.33)14哥氏加速度系數(shù)14下面給兩連桿機(jī)械手賦予具體數(shù)值，并且對(duì)于靜止?fàn)顟B(tài)（）和在無重力環(huán)境中的機(jī)械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在下列兩種條件下進(jìn)行:關(guān)節(jié)2處于鎖定狀態(tài)（）；關(guān)節(jié)2處于自由狀態(tài)(T2=0)。在第一種條件下,方程(6.21)和(6.22)簡化為

在第二種條件下，T2=0，我們可以由方程(6.22)解出，再把它代入方程(6.21)，得到T1于是代入方程(6.21)有

(6.36)(6.35)(6.34)15下面給兩連桿機(jī)械手賦予具體數(shù)值，

現(xiàn)在，取定d1=d2=1，m1=2，而對(duì)于三個(gè)不同的m2值，分別求出各個(gè)系數(shù)：m2=1，表示機(jī)械手無負(fù)載情況；m2=4，表示有負(fù)載；m2=100，表示位于外太空(無重力環(huán)境)的機(jī)械手的負(fù)載。在外太空，沒有重力負(fù)載，允許非常大的工作負(fù)載。根據(jù)求得的系數(shù)以及方程(6.34)和(6.35)，分別對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)2的四種不同的鎖定狀態(tài)IL和自由狀態(tài)If，計(jì)算關(guān)節(jié)1的慣量如下表所示（表中IL表示鎖定狀態(tài)，If表示自由狀態(tài)）。表6.1m1=2,m2=1,d1=1,d2=1D11D12D22ILIf

Cosθ2162162

041143-120122

041143θ216現(xiàn)在，取定d1=d2=1，m1=表6.2m1=2,m2=4,d1=1,d2=1D11D12D22ILIf

Cosθ211884182

01044106-120422

01044106表6.3m1=2,m2=100,d1=1,d2=1D11D12D22ILIf

Cosθ214022001004022

0202100100202102-12010022

0202100100202102θ2θ217表6.2m1=2,m2=4,d1=1上面三個(gè)表格中，靠右兩列表明關(guān)節(jié)1的等效慣量。表6.1說明，對(duì)于無負(fù)載的機(jī)械手來說，θ2從0°變?yōu)?80°，在鎖定狀態(tài)情況下，等效慣量IL的變化為3:1。同時(shí)，在θ2＝0°時(shí)，鎖定狀態(tài)（IL）和自由狀態(tài)（If）等效慣量的變化也為3:1。從表6.2可以看出，對(duì)于加載機(jī)械手，θ2從0°變?yōu)?80°，在

鎖定狀態(tài)情況下，等效慣量IL的變化為9:1。而自由狀態(tài)等效慣量If的變化為3:1。對(duì)于表6.3所示的負(fù)載為100的外太空機(jī)械手，在不同狀態(tài)下慣量的變化竟為201:1。這些關(guān)聯(lián)的變化情況對(duì)于機(jī)械手的控制問題將有重要的影響。18上面三個(gè)表格中，靠右兩列表明關(guān)節(jié)1的等效慣量。6.3機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程(TheManipulatorDynamicsEquation)推導(dǎo)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程可按下述五個(gè)步驟進(jìn)行首先計(jì)算機(jī)械手任意連桿上任意一點(diǎn)的速度；再計(jì)算它的動(dòng)能K

；然后推導(dǎo)勢能P

；形成拉格朗日算子L=K－P

；對(duì)拉格朗日算子進(jìn)行微分得到動(dòng)力學(xué)方程。196.3機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程(TheManipulat假定機(jī)械手的連桿i上有一個(gè)點(diǎn)ir，它在基坐標(biāo)中的位置為于是，它的速度就是速度的平方或者用矩陣形式表為（6.37）（6.39）（6.38）6.3.1機(jī)械手上一點(diǎn)的速度(TheVelocityofaPointontheManipulator)z0ziyxiryixiTi·20假定機(jī)械手的連桿i上有一個(gè)點(diǎn)ir，它在基坐標(biāo)中的位置為

根據(jù)方程(6.38)可得（6.40）21根據(jù)方程(6.38)可得（6.40）21

在連桿i上ir

處，質(zhì)量為dm的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能是于是，連桿i的動(dòng)能就是(6.42)(6.41)6.3.2動(dòng)能(TheKineticEnergy)22在連桿i上ir處，質(zhì)量為dm的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能是于是，式(6.42)中的積分稱為偽慣量矩陣，可由下式確定

（6.43）òòòòòòòòòòòòòòòòòúúúúúúúú?ùêêêêêêêê?é==iiiiiiiiiiiiiiiiilinklinklinkilinkilinkilinkilinkilinkiilinkiilinkilinkiilinkilinkiilinkilinkiilinkiilinkiTiiidmzdmydmxdmzdmdmzzdmyzdmxydmzdmydmyydmxxdmzdmxydmxdmxdmrrJ22223式(6.42)中的積分稱為偽慣量矩陣，可由下式確定（6.4回顧一下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，慣量叉積和物體的一階動(dòng)量的定義為24回顧一下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，慣量叉積和物體的一階動(dòng)量的定義為24從而

(6.46)

(6.44)

(6.45)

25從而(6.46)(6.44)(6.45)25

于是，Ji就能表示為（6.47）機(jī)械手的總動(dòng)能就是（6.48）26于是，Ji就能表示為（6.47）機(jī)械手的總動(dòng)能就是（

上面這個(gè)方程表示了機(jī)械手結(jié)構(gòu)的動(dòng)能，然而，動(dòng)能還有另外一個(gè)重要組成部分，即各個(gè)關(guān)節(jié)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能（對(duì)非直接驅(qū)動(dòng)機(jī)械手而言）。我們通過傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的慣量以及有關(guān)的關(guān)節(jié)速度表示這部分動(dòng)能

把Trace運(yùn)算和求和運(yùn)算相互交換一下，再加上傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能部分，最后得到機(jī)械手的總動(dòng)能為在棱柱形滑動(dòng)關(guān)節(jié)的情況下，Ia成為一個(gè)等價(jià)質(zhì)量。(6.49)27上面這個(gè)方程表示了機(jī)械手結(jié)構(gòu)的動(dòng)能，然而

在重力場g中，一個(gè)物體的質(zhì)量為m，位于某個(gè)參考零點(diǎn)之上的高度為h，它的勢能為

P=mgh

(6.50)

如果由重力引起的加速度表示為矢量g，物體質(zhì)心的位置表為矢量，那么式(6.50)就變?yōu)?/p>

例如，在重力場中，g=0i+0j–32.2k，=10i+20j+30k

，位于r處的質(zhì)量m就有勢能966n·m。(6.51)6.3.3勢能(ThePotentialEnergy)28在重力場g中，一個(gè)物體的質(zhì)量為m，位于某個(gè)參考零

如果連桿i的質(zhì)心用矢量表示，它相對(duì)于坐標(biāo)系Ti的勢能為其中從而，機(jī)械手的總勢能就是(6.52)(6.54)(6.53)29如果連桿i的質(zhì)心用矢量表示，它相對(duì)于坐標(biāo)由式(6.49)和(6.54)得到的K和P，可計(jì)算拉格朗日算子

L=K-P應(yīng)用歐拉—拉格朗日方程

我們就可求得動(dòng)力學(xué)方程。(6.55)(6.56)

6.3.4拉格朗日算子(TheLagrangian)30由式(6.49)和(6.54)得到的K和P，可計(jì)算拉格

先求方程(6.56)第一項(xiàng)中的偏微分

把上式第二項(xiàng)中的腳標(biāo)j

變?yōu)閗，把第一項(xiàng)中Trace運(yùn)算換成(6.57)我們就得到(6.58)6.3.5動(dòng)力學(xué)方程(TheDynamicsEquations)31先求方程(6.56)第一項(xiàng)中的偏微分把上式第二項(xiàng)中的腳

由于(p>i時(shí))，最后得到現(xiàn)在求式(6.59)對(duì)于時(shí)間t的微分

(6.59)(6.60)32由于(p>i時(shí))，最后得到現(xiàn)在歐拉—拉格朗日方程的第二項(xiàng)是

把式(6.61)第二項(xiàng)中求和運(yùn)算的腳標(biāo)j換成k

，再把第二項(xiàng)與第一項(xiàng)合并，就得到(6