七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題05 有理數(shù)的加減乘除乘方的實(shí)際應(yīng)用（解析版）

/專題05有理數(shù)的加減乘除乘方的實(shí)際應(yīng)用1．四個(gè)村莊，，，之間有小路相連，每條小路的長(zhǎng)度如圖所示（單位：）．從任一村莊出發(fā)，不重復(fù)走任意一條小路（四個(gè)村莊都要到達(dá)）的最長(zhǎng)路線的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】因?yàn)閺哪硞€(gè)村莊出發(fā)，不重復(fù)走任意一條小路（四個(gè)村莊都要到達(dá)），最多需要經(jīng)過條小路，從而可得最長(zhǎng)線路長(zhǎng)，再確定經(jīng)過的路徑即可.【詳解】解：因?yàn)閺哪硞€(gè)村莊出發(fā)，不重復(fù)走任意一條小路（四個(gè)村莊都要到達(dá)），最多需要經(jīng)過條小路，所以為達(dá)到不重復(fù)走任意一條小路（四個(gè)村莊都要到達(dá)）的最長(zhǎng)路線的長(zhǎng)度為：路徑為：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是分析問題的能力，有理數(shù)的加法運(yùn)算，理解題意得出為達(dá)到目的最多需要經(jīng)過條小路是解題的關(guān)鍵.2．小王在word文檔中設(shè)計(jì)好一張A4規(guī)格的表格根據(jù)要求，這種規(guī)格的表格需要設(shè)計(jì)1000張，小王欲使用“復(fù)制一粘貼”（用鼠標(biāo)選中表格，右鍵點(diǎn)擊“復(fù)制”，然后在本word文檔中“粘貼”）的辦法滿足要求．請(qǐng)問：小王需要使用“復(fù)制一粘貼”的次數(shù)至少為（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，即可得出規(guī)律，第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，問題得解．【詳解】解：由題意得第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，第四次復(fù)制最多得2×2×2×2=24=16張，……，第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，1024＞1000，所以至少需要10次．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乘方運(yùn)算規(guī)律，并正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．3．甲、乙兩人同時(shí)從相距2000米的兩地出發(fā)，相向而行，甲每分鐘走45米，乙每分鐘走55米，一只小狗以每分鐘200米的速度與甲同時(shí)、同地、同向而行，遇到乙后立即轉(zhuǎn)頭向甲跑去，如此循環(huán)，直到兩人相遇，則這只小狗一共跑了（

）米A．3000 B．4000 C．5000 D．6000【答案】B【解析】【分析】根據(jù)小狗用的時(shí)間是甲、乙兩人相遇用的時(shí)間，先求出甲、乙兩人相遇的時(shí)間，然后乘以小狗的速度即可求出小狗的路程．【詳解】解：由題意知，甲、乙兩人相遇的時(shí)間為分鐘∴小狗共跑了米故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于明確小狗用的時(shí)間是甲、乙兩人相遇用的時(shí)間．4．甲、乙兩瓶中分別有水4升和10升，現(xiàn)要從這兩瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，使三個(gè)瓶中水量的比為3：2：1，那么乙瓶需倒出水

_____升．【答案】3升或5【解析】【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出最后三個(gè)瓶中水的升數(shù)，再根據(jù)題意可以確定最少的為甲瓶中的水，然后分兩種情況，列出相應(yīng)的方程，再求解即可．【詳解】解：（10+4）÷（3+2+1）＝14÷6＝（升），則最后三個(gè)瓶中的水分別為：（升），（升），（升），∵甲、乙兩瓶中分別有水4升和10升，現(xiàn)要從這兩瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，∴最后甲瓶中一定有水升，則乙瓶中有水7升或升，設(shè)乙瓶倒出水x升，則10﹣x＝7或10﹣x＝，解得x＝3或，即乙瓶需倒出水3升或升，故答案為：3升或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程，注意要分類討論，不要漏解．5．眾所周知，公元紀(jì)年中沒有公元零年．歷史的長(zhǎng)河就像一條如圖的“缺零數(shù)軸”一樣．比如阿基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零數(shù)軸”中的﹣287表示，那么，公元a年和公元前b相差的年數(shù)為_____．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)公元1年與公元前1年相差1年，公元前b用“缺零數(shù)軸”中的﹣b表示，公元a年和公元前b相差的年數(shù)為即可．【詳解】解：∵公元前b用“缺零數(shù)軸”中的﹣b表示，∴公元a年和公元前b相差的年數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查“缺零數(shù)軸”表示相反意義的數(shù)，利用有理數(shù)減法計(jì)算，掌握“缺零數(shù)軸”表示相反意義的數(shù)，利用有理數(shù)減法列式時(shí)與有0數(shù)軸相差1計(jì)算是解題關(guān)鍵．6．斐波那契數(shù)列，是由一串有數(shù)學(xué)美感的數(shù)字排列而成，因以兔子繁殖為例作引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．仿照“兔子數(shù)列”有如下問題：一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，假設(shè)一對(duì)兔子每個(gè)月能生出2對(duì)小兔子來，且兔子不會(huì)死亡．育才校園養(yǎng)了1對(duì)小兔子：一個(gè)月后，小兔子沒有繁殖能力，所以還是1對(duì)；兩個(gè)月后，兔子生下兩對(duì)小兔子，所以是3對(duì)；三個(gè)月后，小兔子沒有繁殖能力，老兔子生下2對(duì)小兔子，所以一共是5對(duì)；以此類推，八個(gè)月后，一共有________對(duì)兔子．【答案】171【解析】【分析】根據(jù)大兔，中兔與小兔進(jìn)行分類大兔的2倍是小兔，小兔1個(gè)月后變中兔，三類兔子之和是總共有的兔子，根據(jù)有理數(shù)的加法求和即可．【詳解】解：設(shè)兩月后的兔子稱“大兔”，一個(gè)月后的兔子稱“中兔”，剛出生的兔子稱“小兔”一個(gè)月后中兔1對(duì)，共1對(duì)兔，二個(gè)月后大兔1對(duì)，小兔2對(duì)，共有1+2=3對(duì)兔，三個(gè)月后大兔1對(duì)，中兔2對(duì)，小兔2對(duì)，共有1+2+2=5對(duì)兔，四個(gè)月后大兔3對(duì)，中兔2對(duì)，小兔6對(duì)，共有3+2+6=11對(duì)兔，五個(gè)月后大兔5對(duì)，中兔6對(duì)，小兔10對(duì)，共有5+6+10=21對(duì)兔，六個(gè)月后大兔11對(duì)，中兔10對(duì)，小兔22對(duì)，共有11+10+22=43對(duì)兔七個(gè)月后大兔21對(duì)，中兔22對(duì)，小兔42對(duì)，共有21+22+42=85對(duì)兔，八個(gè)月后大兔43對(duì)，中兔42對(duì)，小兔86對(duì)，共有43+42+86=171對(duì)兔．故答案為171．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)分類確定大兔，中兔與小兔的對(duì)數(shù)是解題關(guān)鍵．7．如圖，在甲，乙兩個(gè)十字路口各方向均設(shè)有人行橫道和交通信號(hào)燈，小宇在甲路口西南角的A處，需要步行到對(duì)面乙路口東北角B處附近的餐館用餐，已知兩路口人行橫道交通信號(hào)燈的切換時(shí)間與小宇的步行時(shí)間如下表所示：（圖中箭頭↑所示方向?yàn)楸保┤诵袡M道交通信號(hào)燈的切換時(shí)間小宇的步行時(shí)間甲路口每沿人行橫道穿過一條馬路乙路口每在甲、乙兩路口之間（段）假定人行橫道的交通信號(hào)燈只有紅、綠兩種，且在任意時(shí)刻，同一十字路口東西向和南北向的交通信號(hào)燈顏色不同，行人步行轉(zhuǎn)彎的時(shí)間可以忽略不計(jì)．若小宇在A處時(shí)，甲、乙兩路口人行橫道東西向的交通信號(hào)燈均恰好轉(zhuǎn)為紅燈，小宇從A處到達(dá)B處所用的最短時(shí)間為________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)A向東過路口，等待0.5秒后，再向北過路口，在CD對(duì)面平行的路線到乙路口，共用時(shí)間7.5秒，當(dāng)?shù)竭_(dá)乙路口時(shí)東西向的交通信號(hào)燈正處于綠燈，不用等待，過路口后直接到達(dá)B點(diǎn)．【詳解】解：由已知得：（min）故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算．理清時(shí)間，弄清路口是否等待是解題關(guān)鍵．8．小明有一把兩條直角邊都帶有刻度的三角尺，直角頂點(diǎn)的刻度為．愛研究數(shù)學(xué)的小明做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，他把三角尺的直角邊放到水平的數(shù)軸上，通過左右移動(dòng)三角尺子，他發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上表示數(shù)字和的點(diǎn)剛好能與直角邊上的刻度和分別重合，如圖1，于是他又將該三角板尺子繞著此時(shí)的點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，結(jié)果他又發(fā)現(xiàn)另一條直角邊上的點(diǎn)與數(shù)軸上表示數(shù)字的點(diǎn)也重合，如圖2，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下，則點(diǎn)在直角邊上所表示的刻度應(yīng)為________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題意先求得點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)，即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得點(diǎn)在直角邊上所表示的刻度．【詳解】數(shù)軸上表示數(shù)字和的點(diǎn)剛好能與直角邊上的刻度和分別重合，，即數(shù)軸上1個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)三角尺上10個(gè)單位，，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)表示是，直角邊上的點(diǎn)與數(shù)軸上表示數(shù)字的點(diǎn)也重合，，點(diǎn)在直角邊上所表示的刻度為10．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，求得點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．仔細(xì)觀察下列規(guī)律：……請(qǐng)完成下列題目（結(jié)果可以保留指數(shù)形式）（1）計(jì)算：________（直接寫出答案）（2）發(fā)現(xiàn)：__________（直接寫出答案）（3）計(jì)算：【答案】（1）；（2）；（3）1．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律2得a次方減去2的b次方（a，b為兩個(gè)相鄰的正整數(shù)，a＞b）可得a的b次方，根據(jù)規(guī)律可得答案；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可得答案；（3）依據(jù)（1）中的規(guī)律依次相減即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3）＝＝＝．．．．．＝＝1．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘方運(yùn)算的規(guī)律、探索與表達(dá)規(guī)律．能找出題干所給的規(guī)律是解題關(guān)鍵．10．已知一個(gè)三角形院墻，第一條邊長(zhǎng)為3a＋2b，第二條邊比第一邊長(zhǎng)a﹣b，第三條邊比第二條邊短2a．（1）求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)（用含有a、b表示）．（2）當(dāng)求a＝2米，b＝1米時(shí)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少米？（3）在（2）的條件下，圍成院墻的材料20米以內(nèi)收費(fèi)每米180元，超過的部分每米只收費(fèi)150元，請(qǐng)問圍成這個(gè)三角形的院墻至少要花費(fèi)多少錢？【答案】（1）9a＋4b；（2）22米；（3）3900元．【解析】【分析】（1）先求出第二邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)利用整式的加法求和即可；（2）把a(bǔ)＝2米，b＝1米代入代數(shù)式求值即可；（3）把三角形的周長(zhǎng)分成兩部分20×180+2×150計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵第一條邊長(zhǎng)為3a＋2b，第二條邊長(zhǎng)為3a＋2b+a﹣b=4a＋b，第三條邊長(zhǎng)為4a＋b-2a=2a＋b這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3a＋2b+4a＋b+2a＋b=9a＋4b；（2）a＝2米，b＝1米時(shí)，9a＋4b=9×2+4×1=18+4=22(米)；（3）圍成這個(gè)三角形的院墻至少要花費(fèi)20×180+2×150=3600+300=3900(元)．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的加法，代數(shù)式的值，有理數(shù)乘法運(yùn)算，掌握列代數(shù)式，整式的加法，代數(shù)式的值，有理數(shù)乘法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．11．大商超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，優(yōu)惠規(guī)定如下：A如果一次性購(gòu)物在500元以內(nèi)，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；B如果一次性購(gòu)物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．（1）李叔叔在該超市購(gòu)買了一臺(tái)標(biāo)價(jià)為780元的洗衣機(jī)，他應(yīng)付多少元錢？（2）王阿姨先后兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元和554元，如果王阿姨一次性購(gòu)買，只需要付款多少元？能節(jié)省多少元？【答案】（1）他應(yīng)付錢674元；（2）王阿姨一次性購(gòu)買，只需要付款730元，能節(jié)省22元．【解析】【分析】（1）根據(jù)780元＞500元，分兩部分計(jì)算500元九折+超過部分八折計(jì)算即可；（2）先求出兩次構(gòu)買物品的標(biāo)價(jià)，將兩次物品標(biāo)價(jià)求和，再按一次性購(gòu)物計(jì)算500元九折+超過部分八折，再計(jì)算王阿姨兩次購(gòu)物付款總和-一次性付款即可．【詳解】解：（1）∵李叔叔在該超市購(gòu)買了一臺(tái)標(biāo)價(jià)為780元的洗衣機(jī)，780元＞500元，∴他應(yīng)付錢為：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；（2）王阿姨第一次去該超市購(gòu)物付款198元，該物品標(biāo)價(jià)為198÷0.9=220元，第二次去該超市購(gòu)物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，兩次購(gòu)物標(biāo)價(jià)為220+630=850元，∴王阿姨應(yīng)付錢為：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，198+554-730=22元，王阿姨一次性購(gòu)買，只需要付款730元，能節(jié)省22元．【點(diǎn)睛】本題考查商品打折問題，掌握分類計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)和計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．12．外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過40單（送一次外賣稱為一單）的部分記為“”，低于40單的部分記為“”，下表是該外賣小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（單位：?jiǎn)危?3+4-5+14-8+7+12(1)求該外賣小哥這一周平均每天送餐多少單？(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的部分，每單補(bǔ)貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補(bǔ)貼6元；超過50單的部分，每單補(bǔ)貼8元．求該外賣小哥這一周工資收入多少元？【答案】(1)43單(2)元【解析】【分析】（1）由40單加上超過或不足部分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)即可得到答案；（2）每天的工資由底薪加上送餐部分的補(bǔ)貼，分別計(jì)算每天的工資，再求解代數(shù)和即可.(1)解：該外賣小哥這一周平均每天送餐為：答：該外賣小哥這一周平均每天送餐43單.(2)解：該外賣小哥這一周工資收入為【點(diǎn)睛】本題考查的是正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，平均數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的加法與乘法的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確的列代數(shù)式計(jì)算計(jì)算是解本題的關(guān)鍵.13．（1）觀察下列各式：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：①的個(gè)位數(shù)字是___________；的個(gè)位數(shù)字是___________；②的個(gè)位數(shù)字是___________；的個(gè)位數(shù)字是___________；（2）自主探究回答問題：①的個(gè)位數(shù)字是___________，的個(gè)位數(shù)字是___________；②的個(gè)位數(shù)字是___________，的個(gè)位數(shù)字是___________．（3）若n是自然數(shù)，則的個(gè)位上的數(shù)字（

）A．恒為0

B．有時(shí)為0，有時(shí)非0

C．與n的末位數(shù)字相同

D．無法確定【答案】（1）①9；7

②7；7

（2）①3；3

②8；8

（3）A【解析】【分析】（1）根據(jù)已知式子可以得到末尾數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，據(jù)此解得即可；（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，據(jù)此解得即可；（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論可知與個(gè)位上的數(shù)字相同即可得出答案．【詳解】解：（1）①3的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是9；13的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是7；故答案為：9；7；②由①可知尾號(hào)為3的數(shù)的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是7，的個(gè)位數(shù)字是7；故答案為：7；7；（2）①7的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是7，9，3，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是3，的個(gè)位數(shù)字是3故答案為：3；3②2的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是2，4，8，6，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)52的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是2，4，8，6，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是8，的個(gè)位數(shù)字是8故答案為：8；8（3）由（1）（2）中的結(jié)論可知與個(gè)位上的數(shù)字相同的個(gè)位上的數(shù)字恒為0故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．14．若一個(gè)三位數(shù)t＝（其中a，b，c不全相等且都不為0），重新排列各數(shù)位上的數(shù)字必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，此最大數(shù)和最小數(shù)的差叫作原數(shù)的差數(shù)，記為F（t）．例如，246的差數(shù)F（246）＝642﹣246＝396，452的差數(shù)F（452）＝542﹣245＝297．（1）已知一個(gè)三位數(shù)（其中a＞b＞2）的差數(shù)F（a2b）＝693，則a＝．（2）若一個(gè)三位數(shù)t＝（其中a、b都不為0）能被4整除，將百位上的數(shù)字移到個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)被4除余3，再將新數(shù)的百位數(shù)字移到個(gè)位得到另一個(gè)新數(shù)被4除