彈塑性本構關系

彈塑性本構關系第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1塑性位勢理論流動法則

模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應力增量引起的塑性應變增量大小本節(jié)內容屈服后塑性應變增量的方向，也即各分量的比值第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1加載與卸載準則1加載曲面(后繼屈服面)由單向拉伸試驗知道，對理想塑性材料，一旦屈服以后，其應力保持常值(屈服應力)，卸載后再重新加載時其屈服應力的大小也不改變(沒有強化現象)。對于強化材料則不同，在開始屈服之后，隨著塑性變形的發(fā)展其應力值繼續(xù)增加。卸載后再重新加載至開始屈服的應力時材料并不屈服，要加到原來卸載開始時的應力，材料才再次屈服，因此重新加載時的屈服應力要高于原始加載時的屈服應力，這就是強化現象。與簡單應力狀態(tài)相同，當材料在復雜應力狀態(tài)下進入塑性后卸載，然后再次加載時，屈服函數也會隨著發(fā)生過的塑性變形歷史而有所改變。當應力分量滿足某種關系時，材料將重新進入塑性狀態(tài)而產生新的塑性變形。這種現象稱為強化。材料在初始屈服后再次進入塑性狀態(tài)時，應力分量間所必須滿足的函數關系稱為后繼屈服條件或加載條件。該條件在應力空間中的圖形稱為后繼屈服曲面或加載曲面。第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月OΣΣ'σij0dσij后繼屈服曲面(加載曲面)初始屈服曲面2簡單加載和復雜加載其中分別為某一定值，t為由零開始的單調增函數。此時顯然Lode應力參數保持不變，從而使應力張量（應力偏張量）的主方向保持不變，這種加載方式稱為簡單加載或比例加載。在簡單加載過程中，一點的應力狀態(tài)在應力空間中將沿矢徑移動，如圖所示。在復雜加載時，一點的應力張量各分量不按比例增加，在改變，應力張量和應力偏張量的主方向也隨之改變。一點應力狀態(tài)在應力空間中的運動軌跡就不再是從原點開始的射線，如圖所示。第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)理想彈塑性材料的加載和卸載準則理想彈塑性材料在應力空間中的屈服面位置和形狀是不變的，當應力點保持在屈服面上時稱之為加載，這時塑性變形可任意增長(后面將證明，各塑性應變分量之間的比例不是任意的，需要滿足一定的關系)；當應力點從屈服面上改變屈服面之內時稱之為卸載。如果以F(σij)=0表示屈服面，則可以把上述加載和卸載準則用數學形式表示如下：第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)加工硬化材料的加載和卸載準則加工硬化材料的屈服面隨著塑性變形的發(fā)展而不斷地變化，加工硬化材料的加載和卸載準則與理想彈塑性材料不同，對加工硬化材料，當dσ指向屈服面之外時才算加載，而當dσ正好沿著屈服面變化時，屈服面不會發(fā)生變化，這種變化過程叫做中性變載。它對應于應力狀態(tài)從一個塑性狀態(tài)過渡到另一個塑性狀態(tài)，但不會引起新的塑性變形。對單向應力狀態(tài)或理想彈塑性材料沒有這個過程，當dσ向著屈服面內部變化時，稱之為卸載過程，如果用φ

(σij,Hα)=0表示后繼屈服條件，則：應力空間第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)加工軟化材料的加載和卸載準則軟化材料，應力變化矢量指向屈服面內部，須在應變空間中判斷加卸載應變空間第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2德魯克塑性公設穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料德魯克塑性公設的表述德魯克公設的重要推論德魯克塑性公設的評述依留申塑性公設的表述第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月附加應力對附加應變負做功，即附加應力對附加應變做功為非負，即有(1)穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料非穩(wěn)定材料（應變硬化和理想塑性材料）（應變軟化材料）德魯克公設和依留申公設是傳統塑性力學的基礎，它把塑性勢函數與屈服函數緊密聯系在一起。德魯克公設只適用于穩(wěn)定材料，而依留申既適用于穩(wěn)定材料，又適用于不穩(wěn)定材料。第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)

德魯克塑性公設的表述

德魯克公設可陳述為：對于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質點(試件)，借助于一個外部作用在其原有應力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加壓力，在附加應力的施加和卸除循環(huán)內，外部作用所作之功是非負的。設材料單元體經歷任意應力歷史后，在應力σij0下處于平衡，即開始應力σij0在加載面內，然后在單元體上緩慢地施加一個附加力，使σij0達到σij，剛好在屈服面上，再繼續(xù)加載到σij+dσij，在這一階段，將產生塑性應變dεijp，最后應力又卸回到σij0。若整個應力循環(huán)過程中，附加應力dσij所作的塑性功不小于零，即附加應力的塑性功不出現負值，則這種材料就是穩(wěn)定的，這就是德魯克公設。第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月在應力循環(huán)中，外載所作的功為：不論材料是不是穩(wěn)定，上述總功不可能是負的，不然，我們可通過應力循環(huán)不斷從材料中吸取能量，這是不可能的。要判斷材料穩(wěn)定必須依據德魯克公設，即附加應力所作的塑性功不小零得出由于彈性應變εije在應力循環(huán)中是可逆的，因而于是有：第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)

德魯克塑性公設的重要推論屈服面的外凸性塑性應變增量方向與加載曲面正交第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1

屈服曲面的外凸性此式限制了屈服面的形狀：對于任意應力狀態(tài)，應力增量方向與塑性應變向量之間所成的夾角不應該大于90°穩(wěn)定材料的屈服面必須是凸的.(a)滿足穩(wěn)定材料的屈服面(b)不滿足穩(wěn)定材料的屈服面第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2

塑性應變增量向量與屈服面法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0A·dεp≥0不成立(如右圖)。標量dλ，稱為塑性因子表明，塑性應變分量σij之間的比例可由在加載面上Φ的位置確定。加載準則意義：只有當應力增量指向加載面的外部時才能產生塑性變形。第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3德魯克塑性公設的評述德魯克公設的適用條件：（1）應力循環(huán)中外載所作的真實功與

ij0起點無關；應力循環(huán)中外載所作真實功與附加應力功(2)附加應力功不符合功的定義，并非真實功第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）德魯克公設的適用條件：①

ij0在塑性勢面與屈服面之內時，德魯克公設成立；②

ij0在塑性勢面與屈服面之間時，德魯克公設不成立；附加應力功為非負的條件（3）非真實物理功不能引用熱力學定律；勢面線屈服面（5）金屬材料的塑性勢面與屈服面基本一致。第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3

依留申塑性公設的表述

依留申塑性公設：在彈塑性材料的一個應變循環(huán)內，外部作用做功是非負的，如果做功是正的，表示有塑性變形，如果做功為零，只有彈性變形發(fā)生。設材料單元體經歷任意應力歷史后，在應力σij0下處于平衡，即初始的應變εij0在加載面內，然后在單元體上緩慢地施加荷載，使εij達到屈服面，再繼續(xù)加載達到應變點εij+dεij，此時產生塑性應變dεijp。然后卸載使應變又回到原先的應變狀態(tài)εij0，并產生了與塑性變量所對應的殘余應力增量dσijp。第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月殘余應力增量與塑性應變增量存在關系：式中，D為彈性矩陣。根據依留申公設，在完成上述應變循環(huán)中，外部功不為負，即只有在彈性應變時，上述WI=0。根據Druker塑性公設可將Druker塑性公設改寫成：第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖(a)可知，對于彈性性質不隨加載面改變的非耦合情況，外部作用在應變循環(huán)內做功WI和應力循環(huán)所作的外部功之間僅差一個正的附加項：因此可將應變循環(huán)所作的外部功，寫成上式表明，如果德魯克塑性公設成立，WD≥0，則依留申塑性公設也一定成立，反之，依留申塑性公設成立，并不要求WD≥0，也就是說，德魯克塑性公設是依留申塑性公設的充分條件，而不是必要條件。ABCD當應力點由A到B時，dσ<0,但dσp>0,塑性變形dεp>0，總變形dε>0第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月應變空間加載面外凸①加載準則(取大于號表示有新的塑性變形發(fā)生)②塑性勢面與屈服面相同③根據關于的正交法則，可得：由應力空間中的屈服與應變空間中屈服面的轉換關系，可得：結合可得：第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.4塑性位勢理論與流動法則與彈性位勢理論相類似，Mises于1928年提出塑性位勢理論。他假設經過應力空間的任何一點M，必有一塑性位勢等勢面存在，其數學表達式稱為塑性位勢函數，記為：或式中，為硬化參數。塑性應變增量可以用塑性位勢函數對應力微分的表達式來表示，即：第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月上式就稱為塑性位勢理論。它表明一點的塑性應變增量與通過該點的塑性勢面存在著正交關系，這就確定了應變增量的方向，也就確定了塑性應變增量各分量的比值。流動規(guī)則也稱為正交定律，是確定塑性應變增量各分量的比值，也即塑性增量方向的一條規(guī)定。上式是流動規(guī)則的一種表示形式，另外還有另一種表示形式：它表明塑性應變增量與通過該點的屈服曲面成正交關系。第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月與德魯克公設表達式比較，可以看出，服從于德魯克公設的材料，塑性勢函數g就是屈服函數Φ。即g=Φ，由此得到的塑性應力應變關系通常稱為與加載條件相關聯的流動法則。如果g≠Φ，即屈服面與塑性應變增量不正交，則其相應的塑性應力應變關系稱為非關聯流動法則。在應變空間，流動規(guī)則可用下式表示：和都為非負的比例系數。第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2硬化規(guī)律塑性模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應力增量引起的塑性應變增量大小本節(jié)內容第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月硬化規(guī)律：加載面在應力空間中的位置、大小和形狀的變化規(guī)律。（確定加載面依據哪些具體的硬化參量而產生硬化的規(guī)律稱為硬化定律）硬化模型：實際土體硬化規(guī)律+簡化假設（如采用等值面硬化理論，主應力方向不旋轉，加載面形狀不變等）金屬材料：采用等向強化和隨動強化；巖土材料：靜力問題采用等向強化；循環(huán)荷載和動力問題采用隨動強化或混合強化常用模型第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1等向強化模型這種模型無論在哪個方向加載拉伸和壓縮強化總是相等地產生和開展；在復雜加載條件下，即表示應力空間中作形狀相似的擴大，如圖中OABDD'E'代表等向強化，圖中B與D'點所對應的應力值均為σ's(指絕對值)，在這種情況下，壓縮屈服應力和彈性區(qū)間都隨著材料強化而增大。第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月在應力空間中，這種后繼屈服面的大小只與最大的應力狀態(tài)有關，而與中間的加載路徑無關。在右圖中，路徑1與路徑2的最終應力狀態(tài)都剛好對應于加載過程中最大應力狀態(tài)，因此兩者的最終后繼屈服是一樣的；而路徑3的最終后繼屈服面由加載路徑中最大應力狀態(tài)來定。第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2隨動強化模型圖中OABCDE代表隨動強化模型，彈性卸載區(qū)間是襯始屈服應力σs的兩倍。根據這種模型，材料的彈性區(qū)間保持不變，但是由于拉伸時的強化而使壓縮屈服應力幅值減小。與等向強化模型不同，隨動強化模型是考慮包辛格效應的。在單向拉壓情況下，隨動強化模型可以用下式表示：第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月包辛格逆效應（Bauschinger）分直接包辛格效應及包辛格逆效應。直接包辛格效應指拉伸后鋼材縱向壓縮屈服強度小于縱向拉伸屈服強度，如圖1所示；包辛格逆效應在相反的方向產生相反的結果，如圖2所示。

第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月普拉格將隨動強化模型推廣到復雜應力狀態(tài)中，他假定在塑性變形過程中，屈服面形狀和大小都不改變，只是在應力空間內作剛體平移。第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3混合強化模型運動硬化和等向硬化的組合，可以構成更一般的硬化模型，稱為混合強化模型這時，后繼屈服面既有位置的改變，也產生均勻的膨脹。等向強化混合強化隨動強化(運動強化)初始屈服面第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4加工硬化規(guī)律加工硬化規(guī)律是決定一個給定的應力增量引起的塑性應變增量的一條規(guī)則，在流動規(guī)律中，dλ這個因素可以假定為：式中，A為硬化參數Hα的函數。不同的學者曾建議不同的硬化規(guī)律來計算A的數值，常用的硬化規(guī)律有下列幾種：第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性功Wp硬化定律：矩陣形式：由得：第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性應變εijp硬化定律：進一步有：由得：第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性體應變εvp硬化定律設廣義塑性力學中，如果取于是：矩陣形式：由則有：第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3彈塑性本構關系屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應力增量引起的塑性應變增量大小本節(jié)內容塑性本構關系彈性本構關系彈塑性本構關系第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性增量理論又稱為塑性流動理論，它把塑性變形看成非線性流動。塑性增量理論把應變增量分為彈性應變增量和塑性應變增量兩部分，即

式中，彈性應變增量應用廣義虎克定律計算，塑性應變增量根據塑性增量理論計算。塑性增量理論主包括三個部分：關于屈服面理論，關于流動規(guī)則理論，關于加工硬化(或軟化)理論。應用彈塑性增量理論計算塑性應變：首先，要確定材料的屈服條件，對加工硬化材料，需要確定材料是否服從相關聯流動規(guī)則。若材料服從不相聯流動規(guī)則，沿需確定材料的塑性勢函數。然后，還需要確定材料的硬化或軟化規(guī)律。最后可運用流動規(guī)則理論確定塑性應變增量的方向，根據硬化規(guī)律計算塑性應變增量的大小。3.3.1塑性增量理論第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2一個普遍的彈塑性模量張量表達式加工硬化規(guī)律是決定一個給定的應力增量引起的塑性應變增量的一條規(guī)則，在流動規(guī)律中，dλ這個因素可以假定為：廣義虎克定律用增量形式表示：根據塑性勢函數：以及進一步有：(b)(a)第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月將(b)代入(a)得：再代入(b)得：彈塑性模量張量第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性狀態(tài)應力狀態(tài)彈性應變塑性狀態(tài)當前應力狀態(tài)、加卸載狀態(tài)、加載歷史、加載路徑、微觀結構塑性應變<增量關系>沿加載路徑積分應力應變全量關系應力應變增量關系彈塑性本構關系的建立第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月