高等數(shù)學(xué)方明亮31-微分中值定理課件

高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）8/14/20231高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibni第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)洛必達(dá)法則第二節(jié)泰勒(Taylor)公式第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值第一節(jié)微分中值定理第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)曲率8/14/20232第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)洛必達(dá)法則第一節(jié)微分中值定理第三章二、微分中值定理一、函數(shù)的極值三、小結(jié)與思考題（TheMeanValueTheorem）羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理8/14/20233第一節(jié)微分中值定理第三章二、微分中值定理一、函數(shù)一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）8/14/20234一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．函數(shù)的極值是對(duì)一點(diǎn)的鄰域來說的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的簡稱）是整體性概念．8/14/20235注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．費(fèi)馬引理（FermatLemma）且存在證:設(shè)則證畢8/14/20236費(fèi)馬引理（FermatLemma）且存在證:設(shè)則證畢8二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)8/14/20237二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在若M=m,則因此若M>m,則M和m

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使則由費(fèi)馬引理得注意:定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,8/14/20238若M=m,則因此若M>m,則M和m提示：8/14/20239提示：8/5/20239有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)例2證明方程（補(bǔ)充題）8/14/202310有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在2.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.證畢8/14/2023112.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則拉格朗日中值定理的有限增量形式:8/14/202312推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在I上必為常數(shù).證:在證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在I上例3證明等式8/14/202313證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有例4證明不等式8/14/202314證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有例4證明不等式8/3、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:要證8/14/2023153、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.證:作輔助函數(shù)8/14/202316且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯西定理的下述證法解題思路：8/14/202317解題思路：8/5/202317內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理8/14/202318內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日課后練習(xí)習(xí)題3-13；5；7；8；12；14思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間上.方程8/14/202319課后練習(xí)習(xí)題3-13；5；7；8；12；14思考與練習(xí)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)2.設(shè)8/14/202320且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.3.若8/14/202321可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使證:法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:4.試證至少存在一點(diǎn)8/14/202322使證:法1用柯西中值定理.則f(x),F(使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在4.試證至少存在一點(diǎn)8/14/202323使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅使法3

令則f(x)在[1,e]上滿足零點(diǎn)定理?xiàng)l件,由于4.試證至少存在一點(diǎn)故由零點(diǎn)定理即證！8/14/202324使法3令則f(x)在[1,e]上滿足零考研真題提示：8/14/202325考研真題提示：8/5/202325法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.費(fèi)馬(1601–1665)8/14/202326法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.拉格朗日(1736–1813)8/14/202327法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要法國數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,