雙曲線及其標準方程2

2.3.1雙曲線及其標準方程生活中的雙曲線法拉利主題公園巴西利亞大教堂麥克唐奈天文館探究點1雙曲線的定義問題1：橢圓的定義？

平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫做橢圓.問題2：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差等于非零常數(shù)的點的軌跡”是什么？①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（非零常數(shù)）.

上面兩條曲線合起來叫做雙曲線,每一條叫做雙曲線的一支.看圖分析動點M滿足的條件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.圖圖①兩個定點F1，F(xiàn)2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——雙曲線的焦距.oF2F1M

平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.雙曲線定義||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<2c)注意1.定義中為什么要強調差的絕對值？【舉一反三】若不加絕對值，則曲線為雙曲線的一支.2.定義中的常數(shù)2a可否為0，2a=2c,2a>2c？不能.若為0，曲線就是F1F2的垂直平分線了；若為2a=2c,曲線應為以F1,F2為端點的兩條射線；若為2a>2c,這樣的曲線不存在.明確了雙曲線的定義，你能根據(jù)定義求出其方程嗎？探究點2雙曲線的標準方程1.建系.

如圖建立直角坐標系xOy，使x軸經過兩焦點F1，F(xiàn)2，y軸為線段F1F2的垂直平分線.F2F1MxOy

設M(x,y)為雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距為2c(c>0),則F1(-c,0),F2(c,0)，又設點M與F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a.2.設點.3.列式由定義可知，雙曲線就是集合：P={M

|||MF1|-|MF2||

=2a},

4.化簡代數(shù)式化簡得：由雙曲線的定義知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得：

上面方程是雙曲線的方程,我們把它叫做雙曲線的標準方程.它表示焦點在x軸上，焦點分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.想一想：焦點在y軸上的雙曲線的標準方程應該是什么？我們應該如何求解？【歸納總結】1.對雙曲線定義的三點說明(1)a，c關系：0<2a<2c，可用雙曲線焦點三角形PF1F2的兩邊之差小于第三邊來記憶，若點P剛好是雙曲線與F1，F(xiàn)2所在直線的交點，此時構不成三角形，仍然很容易得到2a<2c.(2)關鍵詞：“平面內”“距離差的絕對值”“常數(shù)2a(a>0)小于|F1F2|”.(3)左右支：當M滿足|MF1|-|MF2|=2a<|F1F2|時，M點的軌跡是離點F2較近的雙曲線一支；當M滿足|MF2|-|MF1|=2a<|F1F2|時，M點的軌跡是離點F1較近的雙曲線一支.2.對雙曲線標準方程的四點說明(1)雙曲線的焦點在x軸上?標準方程中的x2項的系數(shù)為正；雙曲線的焦點在y軸上?標準方程中的y2項的系數(shù)為正.(2)求雙曲線的標準方程，首先要確定焦點的位置，選擇好標準方程的形式，再根據(jù)條件求出a2和b2的值即可，也就是先定位再定型.(3)注意標準方程中字母參數(shù)a，b與半焦距c的條件及關系：c2=a2+b2，c>a>0，c>b>0，a與b的大小不定.(4)當且僅當雙曲線的中心在原點，其焦點在坐標軸上時，雙曲線的方程才是標準方程.

定義

方程

焦點a,b,c的關系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|

橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）【總結提升】例1題型一利用雙曲線的定義求軌跡問題動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝1內切，求動圓圓心M的軌跡方程．【名師點評】利用定義法求雙曲線的標準方程，首先找出兩個定點(即雙曲線的兩個焦點)；然后再根據(jù)條件尋找動點到兩個定點的距離的差(或差的絕對值)是否為常數(shù)，這樣確定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，進而求雙曲線的方程．課本例2

使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.例3.(課本第54頁例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為例2:如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解:方程可以表示哪些曲線？_____________.思考：例2【名師點評】雙曲線的定義是解決與雙曲線有關的問題的主要依據(jù)，在應用時，一是注意條件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結合，經常利用正、余弦定理，同時要注意整體運算思想的應用．跟蹤訓練方法感悟1．對雙曲線定義的理解雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了絕對值符號，當2a＝|F1F2|時表示兩條射線．解題時，也要注意“絕對值”這一個條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支．2．雙曲線方程的求法求雙曲線的標