定積分的概念

1.5.2汽車行駛的路程1.5.3定積分的概念高二數(shù)學(xué)選修2-2

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi]，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似之。(3)取極限:，所求曲邊梯形的面積S為取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在區(qū)間[a,b]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:每個(gè)小區(qū)間寬度⊿x一、定積分的定義如果當(dāng)n

∞時(shí)，S的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。

按定積分的定義，有

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為(2)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為定積分的定義：1xyOf(x)=x2Ovt12

說明：

(1)定積分是一個(gè)數(shù)值,

它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即òbaf(x)dx

=òbaf(x)dx

-(3)(2)定積分的幾何意義：Oxyaby

f(x)x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

當(dāng)f(x)

0時(shí)，由y

f(x)、x

a、x

b

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，xyO=-．a(chǎn)by

f(x)y

-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。

定積分的幾何意義：=-S當(dāng)函數(shù)f(x)在x

[a,b]有正有負(fù)時(shí),定積分幾何意義就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的代數(shù)和,(x軸上方面積取正號,x軸下方面積取負(fù)號)OXS2S1yS3定積分的幾何意義：

例1求下列定積分:

(1)例題分析:

(2)求定積分，只要理解被積函數(shù)和定積分的意義，并作出圖形，即可解決。用定積分表示下列陰影部分面積S=______;S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOyy=cosxaby

f(x)Oxy探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?aby

f(x)Oxy三:定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.三:定積分的基本性質(zhì)

定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3.Oxyaby

f(x)Ｃ例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積

例3：利用定積分的定義,計(jì)算的值.