機(jī)械制圖教案2

第2章點(diǎn)、直線和平面的投影2.1投影法的基本知識(shí)

2.2點(diǎn)的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影2.1投影法的基本知識(shí)2.1.1投影法的基本概念

2.1.2投影法的分類

2.1.1投影法的基本概念PABCcba●S投影面投射線投射中心（光源）投影投影法：由投射中心發(fā)出的投射線通過(guò)物體，向選定的投影面進(jìn)行投影，并在投影面上得到圖形的方法。2.1.2投影法的分類中心投影法平行投影法正投影斜投影投影方法2.2點(diǎn)的投影Pa●A1●a●A2●A3●A●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定該點(diǎn)的空間位置。V2.2.1點(diǎn)的兩面投影1、兩投影面體系的建立HOX正立投影面V（簡(jiǎn)稱正面）水平投影面H（簡(jiǎn)稱水平面）1四個(gè)分角：兩投影面把空間分為四個(gè)區(qū)域234互相垂直的兩投影面投影軸（OX軸）：兩投影面之間的交線2、點(diǎn)在兩投影面體系中的投影繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90o不動(dòng)XOVH●A●a●a

axaa

●●HVOXaxXO●●aaxa

3、點(diǎn)的兩面投影規(guī)律（1）點(diǎn)的兩面投影的連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX。

（2）點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離反映A點(diǎn)到H面的距離；點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離反映該點(diǎn)到V面的距離，即aaX＝Aa′

和aXa′＝Aa。2.2.2點(diǎn)的三面投影1.三投影面體系的建立HWVOXZY互相垂直的三投影面正立投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）側(cè)立投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）投影軸OX軸（簡(jiǎn)稱X軸）：V面與H面的交線OY軸（簡(jiǎn)稱Y軸）：H面與W面的交線OZ軸（簡(jiǎn)稱Z軸）：V面與W面的交線空間點(diǎn)A的三面投影HWVOXZYa

●a●a

●A●2．點(diǎn)在三投影面體系中的投影a'——點(diǎn)A的正面投影

a——點(diǎn)A的水平投影

a"——點(diǎn)A的側(cè)面投影

ZHWVOXYAa

aa

●●●●axaYaZ保持不動(dòng)向右旋轉(zhuǎn)90o向下旋轉(zhuǎn)90oWVHZaa

axXYHYWO●aZa

aYHaYW●●Zaa

axXO●aZa

aYHaYW●●YHYW3.點(diǎn)的三面投影規(guī)律（1）點(diǎn)的兩面投影的連線，必定垂直于相應(yīng)的投影軸。即：點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸：

aa'⊥OX；點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸：a'a"⊥OZ；由于水平投影和側(cè)面投影不能直接連線，需借助45o斜線實(shí)現(xiàn)聯(lián)系，這時(shí)a、a"滿足：aaYH⊥OYH、a"aYW⊥OYW。（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于空間點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距離。即：a'aX

＝a"aY

＝A點(diǎn)到H面的距離aaX＝a"aZ

＝A點(diǎn)到V面的距離aaY＝a'aZ＝A點(diǎn)到W面的距離4.點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)空間點(diǎn)到投影面的距離就等于點(diǎn)相應(yīng)的空間坐標(biāo)值，即：Aa"＝aXO＝XA，Aa'＝aYO＝Y(jié)A，Aa＝aZO＝ZA。

例2-1

已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（15、10、20），求點(diǎn)A的三面投影。1）畫投影軸,建立三投影面體系；2）沿OX軸正方向量取15，得到aX；3）過(guò)aX作OX軸的垂線，并使aXa＝10，aXa'＝20，分別得到a和a'；ZXOYHYWax15●a●10a

●204）過(guò)a'點(diǎn)作OZ軸的垂線，并使aZa″＝10，得到a″。

利用45o斜線，求得a″。

或aYHaYWa

aZ●10例2-2

已知點(diǎn)A的兩面投影（a'、a"），求作第三面投影a。

Za

XO●a

●YWYH2）自a"作OYW的垂線與OYW相交于aYW；1）過(guò)a′作OX軸的垂線，a必然在這條垂線上；axaYW3）以O(shè)為圓心、OaYW為半徑作圓弧，與OYH軸相交于aYH；aYH4）過(guò)aYH作OYH的垂線與aaX相交，即得到a點(diǎn)。a●2.2.4兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置就是指兩點(diǎn)間左右、前后、上下的位置關(guān)系。1.兩點(diǎn)相對(duì)位置的確定

兩點(diǎn)間的相對(duì)位置可以通過(guò)投影圖上各組同面投影的坐標(biāo)差來(lái)確定。判斷方法如下：兩點(diǎn)間的左、右位置關(guān)系：由X坐標(biāo)差來(lái)確定，坐標(biāo)值大者在左邊兩點(diǎn)間的前、后位置關(guān)系：由Y坐標(biāo)差來(lái)確定，坐標(biāo)值大者在前邊兩點(diǎn)間的上、下位置關(guān)系：由Z坐標(biāo)差來(lái)確定，坐標(biāo)值大者在上邊Zaa

XO●a

●●YHYW●●●bb

b

A點(diǎn)在B點(diǎn)的左、后、下方ZfXOf

●●YHYW●●●ee

2.重影點(diǎn)

當(dāng)兩點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)相等時(shí)，該兩點(diǎn)位于同一投射線上，它們?cè)谕渡渚€所垂直的投影面上的投影是重合的，這兩個(gè)點(diǎn)就稱為該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)。重影點(diǎn)可見性的判斷H面重影點(diǎn)根據(jù)Z坐標(biāo)差確定其可見性，Z坐標(biāo)大者可見，即“上遮下”；

V面重影點(diǎn)根據(jù)Y坐標(biāo)差確定其可見性，Y坐標(biāo)大者可見，即“前遮后”；

W面重影點(diǎn)根據(jù)X坐標(biāo)差確定其可見性，X坐標(biāo)大者可見，即“左遮右”。

e(f')e'可見f'不可見，不可見者用（）ZXYWOYH●aYH●aaX●●a

●aZa

●例2－3：如圖所示為點(diǎn)A的三面投影，已知點(diǎn)B在點(diǎn)A的左方15mm、后方5mm、上方10mm，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正后方10mm處，試求作B、C兩點(diǎn)的三面投影?！瘛馼XbYHbZ●●●●bb

b

作圖步驟：

1、分別自aX、aYH、aZ沿OX、OYH、OZ軸量取15mm、5mm、10mm，得到bX、bYH、bZ；2、根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，作出B點(diǎn)的三面投影b、b′、b″。求C點(diǎn)三面投影的作圖步驟

1、從A的水平投影a沿aaX方向量取10mm，得到c；2、由aXc=cYH

，根據(jù)投影關(guān)系求出c″；3、c'與a'重合，其中a'可見，c'不可見?！馽●c

（c

）2.3直線的投影2.3.1直線投影的基本性質(zhì)2.3.2直線的三面投影圖

2.3.3各種位置直線的投影特性2.3.4直線上的點(diǎn)2.3.5兩直線的相對(duì)位置2.3.1直線投影的基本性質(zhì)（1）顯實(shí)性平行于投影面時(shí)其投影反映實(shí)長(zhǎng)

（2）積聚性（3）類似性PABabPABa(b)●垂直于投影面時(shí)其投影積聚為一點(diǎn)

PABab傾斜于投影面時(shí)其投影仍為直線，但小于實(shí)長(zhǎng)

2.3.2直線的三面投影圖ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的同面投影。2.3.3各種位置直線的投影特性正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）投影面平行線：平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線：垂直于某一投影面水平線（平行于Ｈ面）一般位置直線：同時(shí)傾斜于三個(gè)投影面的直線特殊位置直線ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

1．投影面平行線βγαγαβ①在直線平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，且反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。α、β、γ分別為直線對(duì)H面、V面、W面的傾角

水平線投影特性正平線側(cè)平線ZXYWOYH●a

a

●●●●b(a)b

b

ZXYWOYH●a●a

●●●bb

b(a")ZXYWOYH●a●a(b')a

●●●bb

鉛垂線2．投影面垂直線正垂線側(cè)垂線投影特性①在直線垂直的投影面上，投影具有積聚性。②另外兩個(gè)投影，反映線段實(shí)長(zhǎng)，且同時(shí)平行于一根投影軸。3．一般位置直線ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

投影特性三面投影都是直線，且同時(shí)傾斜于三個(gè)投影面,即不反映實(shí)長(zhǎng)，又不反映實(shí)際夾角。HWVOXZYAb

aa

●b●●●●●b

a

Bαγ●●β求一般位置直線段的實(shí)長(zhǎng)和直線與投影面的夾角

方法1：過(guò)b點(diǎn)作ab的垂線bB0，在此垂線上量取bB0＝zB－zA，則aB0即為所求直線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠B0ab即為傾角α。方法2：過(guò)a'

作X軸的平行線，與b'b相交于b0（b'b0＝zB－zA），量取b0A0＝ab，則b'A0也是所求直線段的實(shí)長(zhǎng)，∠b'A0b0即為傾角α。

2.3.4直線上的點(diǎn)從屬性

直線上的點(diǎn)的投影必然在該直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。定比性

點(diǎn)分線段成定比，其投影也成同樣的比例。

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

●●●k

k

k判斷點(diǎn)屬于直線的方法

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

●●●dd

d

點(diǎn)K在直線AB上，滿足ak：kb＝a'k'：k'b'＝a"k"：k"b"由于d"不在a"b"上，所以點(diǎn)D不屬于直線AB。2.3.5兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置有平行、相交和交叉三種情況。

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則它們的各組同面投影必然互相平行；反之，如果兩直線的各組同面投影互相平行，則空間兩直線必平行。ZXYWOYHaa

a

bb

d

b

c

c

d

cdZXYWOYHaa

a

bb(d")d

b

c

c

dc平行不平行2．兩直線相交ZXYWOYHaa

a

bb

b

●●●cdc

c

d

kkk

k

若兩直線相交，則兩直線的各組同面投影必相交，交點(diǎn)同時(shí)屬于兩直線，為兩直線的共有點(diǎn)，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。ZXYWOYHaa

b

bb

a

●cdc

c

d

●d

●●哪個(gè)是交點(diǎn)？?jī)芍本€不相交3．兩直線交叉既不平行，又不相交的兩條直線稱為交叉兩直線。

★同面投影可能相交，但投影的“交點(diǎn)”不滿足點(diǎn)的投影規(guī)律?！锿队暗摹敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。d

b

a

abcdc

OX1

(2

)3(4)●12●●投影特性

●3

4

●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)2.4平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2平面的投影特性

2.4.3各種位置平面的三面投影及特性2.4.4平面上的點(diǎn)和直線的投影2.4.1平面的表示法●●●●●●abca

b

c

●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●●●●●●●abca

b

c

直線及該直線外一點(diǎn)兩平行直線兩相交直線平面圖形不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)2.4.2平面的投影特性顯實(shí)性積聚性類似性平面平行于投影面時(shí)其投影反映實(shí)形平面垂直于投影面時(shí)其投影積聚為一條直線平面傾斜于投影面時(shí)其投影為原形的類似形CPABacbPACBacbPACBacb2.4.3各種位置平面的三面投影及特性

正平面（平行于Ｖ面）側(cè)平面（平行于Ｗ面）正垂面（垂直于Ｖ面）側(cè)垂面（垂直于Ｗ面）鉛垂面（垂直于Ｈ面）投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面投影面垂直面垂直于某一投影面傾斜于另兩個(gè)投影面水平面（平行于Ｈ面）一般位置平面與三個(gè)投影面都傾斜特殊位置平面1.投影面平行面a

b

c

a

b

c

abcZXYWOYH投影特性1、在平面所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；2、另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。反映實(shí)形積聚成直線且平行于OX積聚成直線且平行于OY2.投影面垂直面投影特性1.在平面所垂直的投影面上的投影積聚成直線；2.另兩個(gè)投影面上的投影分別為原形的類似形。積聚成直線原形的類似形原形的類似形a

b

c

a

b

c

abcZX