利用基本不等式解高考選做題

利用基本不等式解高考選做題引入：用基本不等式證明不等式用基本不等式證明不等式，要分析不等式的左右結(jié)構(gòu)特征，通過拆(添)項創(chuàng)設一個應用基本不等式的條件．【例1】已知a，b，c都是實數(shù)．求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.證明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， ②在①式兩邊同時加上(a2＋b2＋c2)得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2. ③在②式兩邊同時加上2(ab＋bc＋ca)得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. ④∴由③④可得a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.方法點評：利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2eq\r(ab)(a＞0，b＞0)時，關(guān)鍵是對式子進行恰當?shù)淖冃危侠順?gòu)造“和式”與“積式”的互化，必要時可多次應用．變式訓練1．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.證明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9.當且僅當a＝b＝c＝eq\f(1,3)時取等號．高考銜接（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標Ⅱ卷數(shù)學（理））（不等式選講）設a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.【解題指南】(1)將兩邊平方，化簡整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論.(2)證，也即證可分別證然后相加即得.證明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2aca2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因為eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，∴…………③∴原不等式成立當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c,時，③式等號成立.即當a＝b＝c＝時原式等號成立.(2014年遼寧卷16題)16.對于，當非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為.解法1填－2.(柯西不等式)∵，∴，由柯西不等式得，，故當|2a＋b|最大時，有，∴，代入已知得，∴，當時，取得最小值為－2.類似的，還可以這樣構(gòu)造式子：，所以，剩下的步驟和解法1相同.解法2填－2.（求解對照）∵，∴，則，當時，取到等號，即取到最大值，將代入中，解得，下面步驟與解法1步驟一樣.這種解法較為簡單，容易理解，所以推薦這種解法.解法3填－2.（判別式法）設t＝2a＋b，則b＝t－2a，代入式子中，整理可得要保證關(guān)于a的方程有解，則△＝，整理解t，，即，而只有△＝0時，等號成立，即使最大，此時，，即，又，所以，當時，上式取得最小值，解得，，所以當，，時，的最小值為－2.解法4填－2.（換元法）∵，∴，設，，則，，代入式子中，所以.當時，等號成立，即，整理得，代入到已知等式中解得，所以，當時，上式取得最小值，解得，，所以當，，時，的最小值為－2.解法5填－2.（齊次—均值不等式法）令，由已知可得，所以，設，則.當且僅當即或（舍）時，等式成立，所以，即時，取到最大值，將代入中，解得，下面步驟與其他解法步驟一樣.點評：（1）本題涉及到柯西不等式，二次函數(shù)求最值等知識點，（2）解法1涉及4個步驟：構(gòu)造式子，利用柯西不等式求最值取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法2涉及4個步驟：變形化簡，利用二次函數(shù)求最值取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法3涉及5個步驟：設，化簡整理，用△判斷方程有解的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法4涉及7個步驟：變形，設，化簡，求三角函數(shù)最值，討論等號取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法5涉及7個步驟：設，比值，化簡，用均值定理求最值，判定等號成立條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；從以上步驟過程可以看出不管用哪一個理論都是將要求的問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題.（3）可涉及到化歸與轉(zhuǎn)化思想等基本思想，考查了抽象概括能力、運算求解能力.（4）柯西不等式是非常著名的不等式，在高中不等式問題中出現(xiàn)越來越多與之有關(guān)的應用，柯西不等式往往在解決較為復雜的不等式問題上可以收到事半功倍效果.雖然在考綱和考試說明中對柯西不等式的要求僅為“