線面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定及其性質(zhì)直線和平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行。直線在平面內(nèi)時，有無數(shù)個公共點；直線與平面相交時，只有一個公共點；直線與平面平行時，沒有公共點。直線和平面平行的判定定理是，如果不在一個平面內(nèi)的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理是，如果一條直線與平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個平面的位置關(guān)系有兩種：平行和相交。兩個平面相交時，有一條公共直線；兩個平面平行時，沒有公共點。兩個平面平行的判定定理是，如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。根據(jù)這個定理的推論，如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行。垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，平行于同一平面的兩個平面平行。兩個平面平行的性質(zhì)定理是，如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行。例如，在正方體ACD中，EG是BC和CD的中點，要證明EG平行于平面BB1D1。證明時可以利用平行四邊形的性質(zhì)，即BE=GC，ED=AG，所以四邊形EBGC是平行四邊形。又因為BB1D1D是平行于EBGC的平面，所以EG平行于平面BB1D1。題目一：求證EH//平面FAC。根據(jù)題目給出的信息，我們可以畫出以下的圖形：根據(jù)題目中所給出的信息，我們可以得出以下結(jié)論：$\angleEHB=\angleFCA$（因為它們都是直角），$\angleHBE=\angleACF$（因為它們都是矩形的內(nèi)角）。因此，根據(jù)AA相似原理，我們可以得出三角形$EHB$與$FAC$相似。因此，我們可以得出$\frac{EH}{FA}=\frac{HB}{AC}$。又因為$HB=AC$，所以$\frac{EH}{FA}=1$，即$EH=FA$。因此，根據(jù)等差原理，我們可以得出$EH//FA$。證畢。題目二：已知P、Q是單位正方體ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心，求證：PQ∥平面BCC1B1。根據(jù)題目給出的信息，我們可以畫出以下的圖形：我們可以發(fā)現(xiàn)，四邊形$PQCB_1$是一個平行四邊形。又因為$B_1C=BC_1$，所以四邊形$B_1C_1CB$也是一個平行四邊形。因此，$PQ$與平面$BCC_1B_1$平行。證畢。題目三：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證：AC1//平面BDE。根據(jù)題目給出的信息，我們可以畫出以下的圖形：我們可以發(fā)現(xiàn)，三角形$AEC_1$與$DEC$相似，因此$\frac{EC_1}{EC}=\frac{AC_1}{DC}$。又因為$EC_1=EC$（$E$是$AA_1$的中點），所以$\frac{AC_1}{DC}=1$，即$AC_1=DC$。因此，$AC_1$與$DC$平行，且它們都在平面$BDE$上。因此，$AC_1$與平面$BDE$平行。證畢。題目四：如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，$\angleDAB=\angleDBF=60^\circ$，且$FA=FC$。求證：$FC//平面EAD$。根據(jù)題目給出的信息，我們可以畫出以下的圖形：我們可以發(fā)現(xiàn)，$ABCD$和$BDEF$共面，且它們的對角線$AC$和$BE$相交于點$O$。又因為$ABCD$和$BDEF$都是菱形，所以它們的對角線分別平分彼此。因此，$AO=OC$且$BO=OE$。又因為$\angleDAB=\angleDBF=60^\circ$，所以$\angleADB=\angleFBD=120^\circ$。因此，$AD$和$BF$平行。又因為$FA=FC$，所以$AF$平分$\angleDAB$，$FC$平分$\angleCBF$。因此，$\angleAFO=\angleCFE$。又因為$AO=OC$，$BO=OE$，所以$\triangleAFO$與$\triangleCFO$相似。因此，$\frac{AF}{FC}=\frac{AO}{OC}=1$。因此，$AF=FC$，即$FC$平分$\angleAFD$。又因為$\angleAFD=120^\circ$，所以$FC$平分$ABCD$的一個面角。因此，$FC$與平面$ABCD$平行。又因為$ABCD$與$BDEF$共面，所以$FC$與平面$BDEF$平行。因此，$FC$與平面$EAD$平行。證畢。題目五：面面平行的證明。例1：夾在兩個平面間的三條平行線段相等，則這兩個平面間的位置關(guān)系是平行。例2：正確命題的序號是①和④。例3：如圖所示，$PA\perp平面ABC$，點$C$在以$AB$為直徑的圓$\odotO$上，$\angleCBA=30^\circ$，$PA:AB=2:1$，點$E$為線段$PB$的中點，點$M$在弧$AB$上，且$OM\parallelAC$。求證：平面$MOE$與平面$PAC$平行。根據(jù)題目給出的信息，我們可以畫出以下的圖形：我們可以發(fā)現(xiàn)，$\trianglePAB$與$\trianglePAC$相似，因此$\frac{PA}{AB}=\frac{AC}{PC}$。又因為$PA:AB=2:1$，所以$\frac{AC}{PC}=2$。因此，$AC=2PC$。又因為$C$在圓$\odotO$上，所以$\angleCOA=2\angleCBA=60^\circ$。因此，$\triangleCOA$是等邊三角形，所以$AC=CO$。因此，$CO=2PC$。又因為$E$是$PB$的中點，所以$PE=EB$。因此，$\anglePEO=\angleBEP=\angleBAC$。又因為$\angleBAC=\anglePCA$，所以$\anglePEO=\anglePCA$。因此，$\trianglePEO$與$\trianglePCA$相似，因此$\frac{PE}{PC}=\frac{EO}{AC}$。又因為$AC=2PC$，所以$\frac{EO}{PC}=\frac{PE}{2PC}$，即$EO=\frac{1}{2}PE$。又因為$PE=EB=AB-AP=2AB-PA=3PA$，所以$EO=\frac{3}{2}PA$。又因為$OM\parallelAC$，所以$\triangleOME$與$\trianglePAC$相似，因此$\frac{OM}{PA}=\frac{EO}{AC}$。因此，$\frac{OM}{PA}=\frac{3}{4}$。又因為$PA:AB=2:1$，所以$AB=3PA$。