振動(dòng)理論基礎(chǔ)課程總結(jié)報(bào)告

10第一章機(jī)械振動(dòng)學(xué)根底第一節(jié)引言機(jī)械振動(dòng)學(xué)爭(zhēng)論的問(wèn)題包括以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：1..建立物理模型建立數(shù)學(xué)模型方程的求解結(jié)果的闡述其次節(jié)接卸振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念一.簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移的三角函數(shù)式xAcos(2T

t)Asin(2T

t)物體簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度和度的三角函數(shù)式vxAwcos(wt)Awsin(wt)2aAw2sin(wt)Aw2sin(wt)二.周期振動(dòng)ax(t)

0A2

sin(nwt )n三.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成〔一〕兩個(gè)同頻率振動(dòng)的合成xA1

sin(wt

) 和x1

Asinwt )2 2(Acos(AcosAcos)2(AsinAsin)21 1 2 2 1 1 2 2

AsinAsin1 21 22tan

AcosAcos1 1 2 2兩個(gè)不同頻率運(yùn)動(dòng)的合成xAsinwt 和 x Asinwt1 1 1 2 2 2合運(yùn)動(dòng)ww1

xxx1

Asinwt1 1

Asinwt2 2w

AA

wwA xAcos(2

ww1t) sin2(

1t )1 2 1 2對(duì)于A A2 1

xAsinwt1

2 21(A1(A)2Acoswt222A1A11〔二〕同頻率真懂得合成xAsinwt yBsinwtx2 y2 2xy合運(yùn)動(dòng)

A2 B2

cossin20AB不同頻率振動(dòng)的合成1

t yBsin(w2

t )合運(yùn)動(dòng)nw1

mw2

m,n=1,2,3-----第三節(jié)構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的根本元素構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的根本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。dt2

Fs

kx 阻尼力Fd

第四節(jié)自由度與廣義坐標(biāo)物體在這些約束條件下運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系3n〔x,y1 1

,z,,x1

,y,z〕n n來(lái)描述。當(dāng)有r個(gè)約束條件時(shí)，約束方程為f(x,yk 1 1

,z,,x,y,z1 n n

)0 k=1,2,---,r為了確定各質(zhì)點(diǎn)的位置，可選取N=3n-r個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)

,z) j=1,2, ,Nj j 1 1 1 n n n3n個(gè)直角坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)叫做廣義坐標(biāo)其次章單自由度系統(tǒng)第一節(jié)概述任何一個(gè)但自由度系統(tǒng)都可以用一個(gè)理論模型〔圖中所示，來(lái)描述：它是由抱負(fù)的質(zhì)量mk方向只有一個(gè)方向。爭(zhēng)論單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的意義：從物理的角度看，一個(gè)系統(tǒng)受到一個(gè)外界的鼓勵(lì)〔或輸入〕F1〔t〕時(shí)，可測(cè)得其響應(yīng)〔輸出〕為X〔。而受到輸入F2(t時(shí)，測(cè)得的響應(yīng)為X2(t。他們可表示為：1 1F(t)x2

(t)假設(shè)受到的輸入是F〔t〕=a1F1〔t〕+a2F2(t)，對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，可以推測(cè)系統(tǒng)的響應(yīng)為：〔〕=a1x〔=a2x〔。其中a，a2為任意常數(shù)。上述的公式中表示，幾個(gè)鼓勵(lì)函數(shù)共同作用的總響應(yīng)時(shí)各個(gè)響應(yīng)函數(shù)的總和。這一結(jié)果叫做疊加原理，是一個(gè)系統(tǒng)成為線(xiàn)性系統(tǒng)的必要條件。線(xiàn)性常微分方程描述，即表示為：d2x dx

a 1dt

ax01

〔t〕1

〔2.1-3〕式中a0和a1F1(t和F分別輸出響應(yīng)x〔和x〔，則有：d2x1dt2

dxa 1dt

ax01

〔t〕1

〔2。1-4〕d2x2dt2

dxa 1dt

ax02

2

〔2.1-5〕將上述兩式相加得：d2 d 〔x+xa (x+x

)a

(x+x

)F(t)+F(t) 〔2.1-6〕dt2

1 2 1dt 1 2

0 1 2 1 2說(shuō)明，系統(tǒng)對(duì)鼓勵(lì)的響應(yīng)等于兩個(gè)單鼓勵(lì)響應(yīng)之和。所以說(shuō):d對(duì)于線(xiàn)性方程。疊加原理成立；對(duì)于非線(xiàn)性方程，不成立。小結(jié)：線(xiàn)性系統(tǒng)是在肯定條件下對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的近似。微幅運(yùn)動(dòng)則是線(xiàn)性化的重要前提。其次節(jié)無(wú)阻尼自由振動(dòng)C=0，作為無(wú)阻尼系統(tǒng)爭(zhēng)論是很有效的。W=mgkst假設(shè)賜予系統(tǒng)某種擾動(dòng)，比方把彈簧再往下壓x距離，彈簧的恢復(fù)力就要增大kx，有k(st

x)Wmg系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)遭到破壞。所以，為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展?fàn)幷?，就要建立坐?biāo)〔依據(jù)圖示，簡(jiǎn)潔建立，假設(shè)在某一時(shí)刻的位移為〔。由牛頓定理：( x)st于是有 m k0這就是系統(tǒng)的無(wú)阻尼時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程。線(xiàn)性系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率k/k/mn只打算于系統(tǒng)本身參數(shù)，與初始條件無(wú)關(guān)，因而叫做系統(tǒng)的固有頻率或無(wú)阻尼固有頻率。第三節(jié)能量法當(dāng)一個(gè)無(wú)阻尼彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)中。如以下圖則彈簧會(huì)U在彈簧振動(dòng)中，即重物上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)符合能量守恒定律。但在動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化中，始終保持說(shuō)明動(dòng)能和勢(shì)能的最大值相等。這一關(guān)系式是求無(wú)阻尼系統(tǒng)固有頻率的重要準(zhǔn)則。第四節(jié)有阻尼自由振動(dòng)在實(shí)際系統(tǒng)中總存在這阻尼一．粘性阻尼對(duì)于一般系統(tǒng)。比方大氣中的飛行物。個(gè)系數(shù)就是阻尼系數(shù)。同時(shí)，也說(shuō)明白粘性阻尼的概念。二．粘性阻尼自由振動(dòng)如下圖為一個(gè)震蕩系統(tǒng)。其運(yùn)動(dòng)方程為：mckx0解上述方程的根可得：通解x(tBeatBebt1kk/m當(dāng)式中的a和b為零時(shí)，有 2m

2n 或cn0

2mknmk為臨界阻尼系數(shù)。于是可以得出下式：2 mk2 nc c 2 mk2 n0叫做阻尼比，使系統(tǒng)的實(shí)際阻尼與臨界阻尼系數(shù)的比值。而 12d n統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng)或弱阻尼系統(tǒng)。三．構(gòu)造阻尼力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力，力和摩擦之間產(chǎn)生離相位的滯后。關(guān)系，所以在數(shù)學(xué)上難于處理。四．庫(kù)倫阻尼影響。最終，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)并不肯定停留在原來(lái)的靜止位置，這是由于當(dāng)運(yùn)動(dòng)幅值為x時(shí)，恢kx比摩擦力uWx小，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)就漸漸靜止。第五節(jié)簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一．簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)F為鼓勵(lì)力振幅，w為鼓勵(lì)頻率。方程為一個(gè)非齊次方程。其通解為：h

)d上述式子用復(fù)數(shù)的方法表示:(k2m)2(k2m)22c2X0(1r2)20(1r2)2(2r)2

其中rnr=1時(shí)，假設(shè)=0M0。這就意味著，當(dāng)系統(tǒng)中不存在阻尼時(shí)，鼓勵(lì)頻率和系統(tǒng)的固有頻率全都，振幅將趨于無(wú)窮大，這種現(xiàn)象叫做共振。二．旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。頻率就是機(jī)器的角速度。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅打算于不平衡質(zhì)量m，m與旋轉(zhuǎn)中心O的偏心距離e和角速度的平方。三．根底運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)事實(shí)上，在很多狀況下，支撐或根底是運(yùn)動(dòng)的，并引起了系統(tǒng)的振動(dòng)，并且，根底運(yùn)動(dòng)可能使系統(tǒng)受到兩個(gè)作用力或幾個(gè)作用力的作用。第六節(jié)簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用一．隔振隔振有兩種：把振源與地基隔離開(kāi)來(lái)以削減它對(duì)四周的影響而實(shí)行的措施叫做樂(lè)觀(guān)隔振；為了削減外界振動(dòng)對(duì)設(shè)備的影響而實(shí)行的隔振措施叫做消極隔振。樂(lè)觀(guān)隔振：將機(jī)器安裝在合理設(shè)計(jì)的柔性支撐上消極隔振：四周的振動(dòng)經(jīng)過(guò)地基傳遞會(huì)是機(jī)器產(chǎn)生振動(dòng)。在實(shí)際工作中，機(jī)器有個(gè)啟動(dòng)過(guò)程，將通過(guò)共振區(qū)。因而，小量的阻尼是人們期望的。不過(guò)，零阻尼狀況只是在抱負(fù)狀況，實(shí)際上小阻尼總是存在的。二．振動(dòng)測(cè)試儀器振動(dòng)測(cè)試儀器有三種根本形式：測(cè)試加速度、速度和位移的儀器。它們都是依據(jù)根底運(yùn)動(dòng)引起系統(tǒng)振動(dòng)的原理工作的。第七節(jié)非簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)一．周期鼓勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一個(gè)有阻尼彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期鼓勵(lì)力F的作用，其運(yùn)動(dòng)方程為且FTt)〔t〕把該周期鼓勵(lì)展成Fourier級(jí)數(shù)，把級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)做一簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)，確定穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并把每個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加起來(lái)，就得到了系統(tǒng)對(duì)該周期鼓勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。n系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：n0x(t)=a0

a

cos(t)

a sin(nt)(ar2)(ar2)2(2r)2n n

n1k(a(ar2)2(2r)2n n二．非周期鼓勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)非周期鼓勵(lì)力作用下的系統(tǒng)響應(yīng)在很多工程問(wèn)題中，會(huì)遇到對(duì)系統(tǒng)的鼓勵(lì)不是周期的，而是任意的時(shí)間函數(shù)。脈動(dòng)就是指很短時(shí)間內(nèi)格外大的力作用時(shí)的有限沖量。非周期根底運(yùn)動(dòng)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)脈動(dòng)函數(shù)h〔t〕是系統(tǒng)特性在時(shí)域中的表現(xiàn)，頻響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)特性在頻域中的表現(xiàn)。它們?cè)诂F(xiàn)代機(jī)械機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析中，有著重要的作用概述：系統(tǒng)的自由度數(shù)就是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)需要兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來(lái)描述，那么這個(gè)系統(tǒng)就是一個(gè)兩自由度系統(tǒng)。第一節(jié) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)〔1〕凡需要要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)都是兩自由度系統(tǒng)?！? 〕兩自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式可表示為：m

k

k x

F(t)

11

12

111

12

1 1

M

K

x f(t)m m21

k21

k x F222222

(t)2 式中：常數(shù)矩陣M和2 〔3 m 0 kk

kakb

x

0該式兩個(gè)方程不能單獨(dú)求解的〕 1 1 2

11 22 1 0 J

k

kb

b2 0c 11 21 11 21狀況叫做坐標(biāo)耦合。方程通過(guò)剛度項(xiàng)相互耦合叫做靜耦合。在矩陣方程中，質(zhì)量矩陣M具有非零的對(duì)角元，兩運(yùn)動(dòng)方程通過(guò)慣性項(xiàng)而相互耦合的叫做慣性耦合‘結(jié)論：1〕.描述一個(gè)兩自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)是確定的.唯一的，就2，但描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可選擇的坐標(biāo)不是只有唯一的一組。2).假設(shè)方程中存在耦合，則各個(gè)方程不能單獨(dú)求解。1 0

2

0 q

0 1 n1 1 220 22

0 2n2

q

0主坐標(biāo)：能使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程不存在耦合，成為相互獨(dú)立方程的坐標(biāo)。其次節(jié) 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)〔1〕m

k

k x

F(t) 11 121

11 121 1 222m m22221

k k21

x

F(t)F(t)Fsint1兩自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將是與鼓勵(lì)力一樣頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)。第三節(jié)無(wú)阻尼吸振器F(t)Fsint的作用下，該系統(tǒng)發(fā)生了強(qiáng)迫振動(dòng)。為了減小其振動(dòng)強(qiáng)度，不能1承受轉(zhuǎn)變主參數(shù)m1

km和k1 2

組成的關(guān)心系統(tǒng)——吸振器。

m 0

kk

kx

F運(yùn)動(dòng)方程： 1

11 2

2

1 sint222220 m22222

k

k x

0第四節(jié) 有阻尼振動(dòng)自由振動(dòng)：對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式可表示為MCKm強(qiáng)迫振動(dòng)：

m

c

c

k

k x

F(t) 11

121

11

121

11

121 1 2 2 221 22

c c21

k21

k x 222222

(t)第五節(jié)有阻尼振動(dòng)吸振器有些設(shè)備的工作速度是在一個(gè)比較大的范圍變動(dòng)，要消退器振動(dòng)，就產(chǎn)生了有阻尼振動(dòng)吸振器。m.2彈簧k和粘性阻尼器c組成的系統(tǒng)，叫做有阻尼吸振器。2m 0

c c

kx

F運(yùn)動(dòng)方程： 1

1

11 2

2

1 sint2222220 m222222

c c

k

k x

0第六節(jié)位移方程1〕系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程表示為：MCKFtdij的大小。

i i,j=1,2……..ji引起的位移xFxj剛度影響系數(shù)：對(duì)于系統(tǒng)的剛度矩陣，其元素k 就叫做剛度影響系數(shù)。ijFk ij

i i,j=1,2……即，只在j點(diǎn)作用一單位力時(shí)，在i點(diǎn)需要施加的力的大小。j 第一節(jié)lagrange方程dlagrange方程的一般形式可表示為

DUF

i=1,2,---,ndt qi

i

i

q iiqi

n自由系統(tǒng)有nFi

沿廣義坐標(biāo)qi

〔力矩。T是系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)，U是系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)，D是系統(tǒng)的散逸函數(shù)〔對(duì)于粘性阻尼。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，系統(tǒng)的勢(shì)能U1n2

( U

i

1n2

kqqiji

或 U

12i

對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能T1n2

mqii

或T

12{

[M]{q}i1j1對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，粘性阻尼的散逸函數(shù)為D1n2

cqii

或D

12T[C]}i1j1列出了系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由lagrange方程可得n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[M]

} [ }

]{ }Ft其次節(jié)無(wú)阻尼自由振動(dòng)和特征值問(wèn)題N自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：[M]{q[K]{q{0}它表示由下面n個(gè)齊次微分方程組成的方程組nmnk

0 i=1,2,---,nij ij ji1 j1首先，寫(xiě)出系統(tǒng)的特征行列式 |K][ ]| 0解該方程得出系統(tǒng)的固有頻率ww , w 。n1 n2 nn然后，將w,w , wn1 n2

代入方程([Kr

r

求得{ur

}，{ur

叫做特征向量、固有向量或模態(tài)向量。最終，求得方程的通解qt)}nqt)}n A

sin(wt)r r r1 1[u]{Asin(wt)}n

nr r第三節(jié)特征向量的正交性和主坐標(biāo)對(duì)于一個(gè)nr階特征值r

w2nr

對(duì)應(yīng)的特征向量為{ur

s階特征值w2s

對(duì)應(yīng)特征向量為{us

，它們都滿(mǎn)足方程([K

r

{0}，因而有nr rns s經(jīng)過(guò)一些列變換得到

0 rss

0 rss r這兩個(gè)式子表示了系統(tǒng)特征向量的正交關(guān)系，是對(duì)質(zhì)量矩陣[M]，剛度矩陣[K]加權(quán)正交。方程[M]{q[K]{q}{0}義坐標(biāo){q}{q}=[u]{p}得解方程得 pr

Asin(wr

t

) r=1,2,---,nr或 {p}{Asin(wt)}nrpr

〔r=1,2,---,n〕只發(fā)生固有頻率為wwr

〔r=1,2,---,n〕的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這組廣義坐標(biāo){p}叫做主坐標(biāo)。這時(shí)對(duì)于廣義坐標(biāo){q}，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為{q(t)}[u][p][u]{Asin(wt)}n第四節(jié)對(duì)初始條件的響應(yīng)和初值問(wèn)題N自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)表達(dá)式為n

sin(wt)[u]{Asin(wt}r r

nr r n rA和r

做下面的變換rAsinr

nr

) Dr

cos nr

E siw tr nr解得 0

},{E}[wn

]1[u]1{q}0第五節(jié)半確定系統(tǒng)有一個(gè)或幾個(gè)固有頻率等于零的系統(tǒng)叫做半確定系統(tǒng)。并且具有半正定剛度矩陣[K]的系統(tǒng)是一個(gè)半確定系統(tǒng)。第六節(jié)具有等固有頻率的系統(tǒng)在微分振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為mq2kq01 1mq2kq 02 2它們有兩個(gè)相等的固有頻率，是一個(gè)退化的系統(tǒng)。線(xiàn)性代數(shù)說(shuō)明，假設(shè)質(zhì)量矩陣[M]是實(shí)對(duì)稱(chēng)的矩陣；質(zhì)量矩陣[M]是正定矩陣，無(wú)論系統(tǒng)是否