2023年廣東省梅州市平遠縣中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

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一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．（3分）若|a|＝2，則a＝（）

A．﹣2B．C．2D．±2

2．（3分）下列四個圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

3．（3分）2023年第一季度，廣東省國民生產(chǎn)總值超過30000億元，比去年同期增長4%．將“30000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．0.3×105B．30×103C．3×104D．3×105

4．（3分）下列運算正確的是（）

A．2x2+3x3＝5x5B．（﹣2x）3＝﹣6x3

C．（x+y）2＝x2+y2D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2

5．（3分）如圖是由6個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）

A．B．C．D．1

6．（3分）如圖所示，直線a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，則∠1＝（）

A．61°B．60°C．59°D．58°

7．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）

A．

B．

C．

D．

8．（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為（）

A．B．

C．D．

9．（3分）如圖，CD是半圓O的直徑，點A，B是半圓上的兩點，已知∠ABC＝140°，CD＝4，則AC的弧長為（）

A．B．C．D．

10．（3分）若（x1，y1），（x2，y2）是拋物線y＝x2+4x+3上兩點，則以下說法正確的是（）

A．當(dāng)x1＞x2時，y1＞y2

B．若x2＝2x1，則y2＝2y1

C．y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1﹣x2+4）

D．當(dāng)x1+x2＝﹣4時，y1＝y(tǒng)2

二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11．（3分）因式分解：9a2﹣1＝．

12．（3分）若3xmy與﹣5x2yn是同類項，則m+n＝．

13．（3分）一個正n邊形的一個外角是45o，那么n＝．

14．（3分）如圖，AE是△ABC的外角∠CAD的平分線，且AB＝AC，∠ABC＝65°，則∠DAE＝°．

15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q分別為BC，CD上一點，且BP＝CQ，連接PQ，則PQ的最小值是．

三．解答題（共8小題，滿分75分）

16．（7分）計算：．

17．（8分）先化簡：÷（1﹣），然后從2，0，﹣2中選一個合適的數(shù)代入求值．

18．（8分）如圖，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7．

（1）用尺規(guī)作BC邊的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若BC邊的垂直平分線交AC于D、交BC于E；連接BD，求△ABD的周長．

19．（8分）為了解某校七年級學(xué)生每周課外閱讀平均時間的情況，隨機抽查了該校七年級m名同學(xué)，對他們每周課外閱讀平均時間進行統(tǒng)計，繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖：

（1）根據(jù)以上信息回答下列問題：

①m＝；

②扇形統(tǒng)計圖中閱讀平均時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù)為；

③補全條形統(tǒng)計圖；

（2）直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，并求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

20．（10分）為落實“雙減”政策，某校讓學(xué)生每天體育鍛煉1小時，同時購買了甲、乙兩種不同的足球．已知購買甲種足球共花費2500元，購買乙種足球共花費2000元，購買甲種足球的數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍，且購買一個乙種足球比購買一個甲種足球多花30元．

（1）求兩種足球的單價；

（2）為進一步推進課外活動，學(xué)校再次購買甲、乙兩種足球共50個，若學(xué)校此次購買兩種足球總費用不超過3000元，則學(xué)校至多購買乙種足球多少個？

21．（10分）如圖在平面直角坐標系xOy中，直線AB：y＝x﹣2與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點與x軸相交于點C，已知點A，B的坐標分別為（3n，n）和（m，﹣3）．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）請直接寫出不等式x﹣2的解集；

（3）點P為反比例函數(shù)y＝圖象的任意一點，若S△POC＝3S△AOC，求點P的坐標．

22．（12分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度數(shù)；

（2）求證：DF是⊙O的切線；

（3）若BD平分∠ADC，AD＝4，tan∠E＝2，求AB的長．

23．（12分）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點B，點P在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點D．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線上，當(dāng)△APQ是直角三角形時，直接寫出點Q的坐標．

2023年廣東省梅州市平遠縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．解：∵|2|＝2，|﹣2|＝2，|a|＝2，

∴a＝±2，

故選：D．

2．解：A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

D、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意．

故選：D．

3．解：30000＝3×104．

故選：C．

4．解：A選項，2x2與3x3不是同類項，不能合并，故該選項計算錯誤，不符合題意；

B選項，原式＝﹣8x3，故該選項計算錯誤，不符合題意；

C選項，原式＝x2+2xy+y2，故該選項計算錯誤，不符合題意；

D選項，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，故該選項計算正確，符合題意；

故選：D．

5．解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的＝，

即這個點取在陰影部分的概率是，

故選：B．

6．解：∵a∥b，

∴∠1＝∠DBC，

∵∠DBC＝∠A+∠2，

＝28°+31°

＝59°．

故選：C．

7．解：，

解不等式①得：x＜﹣2，

解等式②得：x≤﹣4，

∴不等式組的解集為：x≤﹣4，

在數(shù)軸上表示如圖：

故選：D．

8．解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為：．

故選：A．

9．解：連接AD．

∵∠ACB+∠ADB＝180°，

∵∠ACB＝140°，

∴∠ADB＝40°，

∴∠AOC＝2∠ADB＝80°，

∴AC的弧長＝＝．

故選：B．

10．解：∵y1＝+4x1+3，y2＝+4x2+3，

∴y1﹣y2＝+4x1+3﹣（+4x2+3）

＝（﹣）+4（x1﹣x2）

＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2）

＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），

A、若x1＞x2時，

∴x1﹣x2＞0，

當(dāng)（x1+x2+4）＞0時，y1＞y2，當(dāng)（x1+x2+4）＜0時，y1＜y2，故A說法錯誤，不合題意；

B、若x2＝2x1，

則y1＝+4x1+3，y2＝4+8x1+3，

∴y2≠2y1，故B說法錯誤，不合題意；

C、y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），故C說法錯誤，不合題意；

D、當(dāng)x1+x2＝﹣4時，y1﹣y2＝0，

∴y1＝y(tǒng)2，故D說法正確，符合題意．

故選：D．

二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11．解：9a2﹣1＝（3a）2﹣12＝（3a+1）（3a﹣1）

故答案為：（3a+1）（3a﹣1）．

12．解：∵3xmy與﹣5x2yn是同類項，

∴m＝2，n＝1，

∴m+n＝2+1＝3．

故答案為：3．

13．解：∵正n邊形的一個外角是45°，n邊形的外角和為360°，

∴n＝360÷45＝8．

故答案為：8．

14．解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AE平分∠CAD，

∴∠DAE＝∠CAE，

∵∠CAD＝∠B+∠C＝∠DAE+∠CAE，

∴∠DAE＝∠ABC＝65°．

故答案為：65．

15．解：設(shè)PB＝CQ＝x，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝6，

∴PC＝6﹣x，

∵PQ2＝CQ2+PC2，

∴PQ＝＝，

∴PQ的最小值是＝3．

故答案為：3．

三．解答題（共8小題，滿分75分）

16．解：

＝

＝．

17．解：÷（1﹣）

＝÷

＝÷

＝

＝x﹣2，

要使分式÷（1﹣）有意義，x+2≠0且x﹣2≠0，

所以x不能為﹣2和2，

取x＝0，

當(dāng)x＝0時，原式＝0﹣2＝﹣2．

18．解：（1）如圖，DE即為所求；

（2）∵DE是BC邊的垂直平分線，

∴BD＝DC，

∵AB＝3，AC＝7，

∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+AC＝3+7＝10．

19．解：（1）①m＝15＝60（人），

故答案為：60；

②扇形統(tǒng)計圖中閱讀平均時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù)為：360＝30°，

故答案為：30°；

③樣本中課外閱讀時間為3小時的學(xué)生人數(shù)為：60﹣10﹣15﹣10﹣5＝20（人），

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（2）樣本中學(xué)生每周課外閱讀平均時間出現(xiàn)次數(shù)最多的是3小時，共有20人，因此眾數(shù)是3；

樣本中60名學(xué)生每周課外閱讀平均時間從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)都是3小時，因此中位數(shù)是3；

學(xué)生每周課外閱讀平均時間平均數(shù)為：＝2.75（小時），

答：學(xué)生每周課外閱讀平均時間的平均數(shù)是2.75小時，中位數(shù)是3小時，眾數(shù)是3小時．

20．解：（1）設(shè)甲種足球的單價是x元，則乙種足球的單價是（x+30）元，

根據(jù)題意得：＝×2，

解得：x＝50，

經(jīng)檢驗，x＝50是所列方程的解，且符合題意，

∴x+30＝50+30＝80．

答：甲種足球的單價是50元，乙種足球的單價是80元；

（2）設(shè)學(xué)校購買乙種足球y個，則購買甲種足球（50﹣y）個，

根據(jù)題意得：50（50﹣y）+80y≤3000，

解得：y≤，

又∵y為正整數(shù)，

∴y的最大值為16．

答：學(xué)校至多購買乙種足球16個．

21．解：（1）把點A（3n，n）代入直線y＝x﹣2得：

n＝3n﹣2，

解得：n＝1，

∴點A的坐標為：（3，1），

∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點A，

∴k＝3×1＝3，

即反比例函數(shù)的解析式為y＝，

（2）把點B（m，﹣3）代入直線y＝x﹣2得，﹣3＝m﹣2，

解得m＝﹣1，

∴B（﹣1，﹣3），

觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞3時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，

∴不等式x﹣2的解集為﹣1＜x＜0或x＞3；

（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x﹣2＝0，

解得：x＝2，

即點C的坐標為：（2，0），

∴S△AOC＝2×1＝1，

∵S△POC＝3S△AOC，

∴S△POC＝OC|yP|＝3，即2×|yP|＝3，

∴|yP|＝3，

當(dāng)點P的縱坐標為3時，則3＝，解得x＝1，

當(dāng)點P的縱坐標為﹣3時，則﹣3＝，解得x＝﹣1，

∴點P的坐標為（1，3）或（﹣1，﹣3）．

22．（1）解：∵對角線AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CDE＝90°；

（2）證明：連接DO，

∵∠EDC＝90°，F(xiàn)是EC的中點，

∴DF＝FC，

∴∠FDC＝∠FCD，

∵OD＝OC，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵∠OCF＝90°，

∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，

∴DF是⊙O的切線；

（3）解：連接OB，過點B作BM⊥AD于M，

∵∠ACD+∠DCE＝90°，∠DCE+∠E＝90°，

∴∠ACD＝∠E，

∴tan∠ACD＝＝2，

∵AD＝4，

∴CD＝2，

∴AC＝＝＝2，

∵BD平分∠ADC，

∴，∠BDC＝∠ADB＝45°，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝90°，

∴AB＝AC＝．

23．解：（1）由題意得，

∴，

∴該拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，作PE∥AB交BC的延長線于E，

設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），

∵拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3，

令y＝0，得0＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），

∵C（0，3），

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，

由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，x＝m2﹣2m，

∴E（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），

∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∵PE∥AB，

∴△PDE∽△ADB，

∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時，的值最大，

當(dāng)m＝時，y＝﹣（）2+2×+3＝，

∴點P的坐標為（，）；

（3）設(shè)Q（n