2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)考點大串講（蘇科版）：菱形、正方形、三角形的中位線（解析版）

專題03菱形、正方形、三角形的中位線一．選擇題（共9小題）1．（2022春?淮陰區(qū)校級期中）下列說法錯誤的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故正確，不符合題意；B、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故錯誤，符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故正確，不符合題意；D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，正確，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．2．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長為（）A．12 B．30 C．27 D．32【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF與CF的長，再由等腰三角形的性質(zhì)求出DE的長，根據(jù)勾股定理求出EF的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F(xiàn)是AB的中點，AB＝26，∴DF＝CF=12AB∴△CDF是等腰三角形．∵點E是CD的中點，CD＝24，∴EF⊥CD，DE=1在Rt△DEF中，DE=D∴△DEF的周長為：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，熟知在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?泰州期末）如圖，矩形ABCD中，P是CD的中點，點Q為AB上的動點（不與A、B重合），過Q作QM⊥PA，垂足為M，QN⊥PB，垂足為N，BC＝3，CD＝8，MQ＝x，QN＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝4.8﹣x B．y=5x C．y＝11﹣x 【分析】連接PQ，過點P作PH⊥AB于點H，容易求出△PAB的面積為12，而S△PAB＝S△PAQ+S△PBQ，利用面積即可得出x和y的關(guān)系式．【解答】解：如圖，連接PQ，過點P作PH⊥AB于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠D＝∠C＝90°，∴AD＝BC＝PH＝3，∴S△PAB=∵QM⊥PA，QN⊥PB，MQ＝x，QN＝y(tǒng)，∴12∵點P是CD的中點，∴DP＝CP＝4，∴AP＝BP=A∴12∴y＝4.8﹣x．故選：A．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及列函數(shù)關(guān)系式，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．4．（2022春?江都區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF．若AE＝DF，則∠CDF的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．67.5° D．72°【分析】由“HL”可證Rt△ADF≌Rt△BAE，可得∠ADF＝∠BAE＝22.5°，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝22.5°，在Rt△ADF和Rt△BAE中，AD=ABDF=AE∴Rt△ADF≌Rt△BAE（HL），∴∠ADF＝∠BAE＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，故選：C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?廣饒縣期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點，若AC＝4，則AF＝（）A．85 B．43 C．1 【分析】取BF的中點H，連接DH，根據(jù)三角形中位線定理得到DH=12FC，DH∥AC，證明△AEF【解答】解：取BF的中點H，連接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH=12FC，DH∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，∠AEF=∠DEHAE=DE∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF=1∵AC＝4，∴AF=4故選：B．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?鹽都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，點P為△ABC外一點，連接AP、BP，點M、N分別為AP、BP的中點，若MN＝2，則BC的長為（）A．2 B．5 C．7 D．5【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出AB，再根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：∵點M、N分別為AP、BP的中點，∴AB＝2MN，∵MN＝2，∴AB＝4，在Rt△ABC中，BC=A故選：C．【點評】本題的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?吳中區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=2A．12 B．1 C．32【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AB，DE=12AB＝3，BE【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝25，BC＝4，由勾股定理得：AB=A∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分別為CA，CB的中點，∴DE∥AB，DE=12AB＝3，BE∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故選：B．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?灌南縣期中）如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊的中點，BD，CE交于點H，BE、AH交于點G則下列結(jié)論：①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD，③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正確的是（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正確；利用正方形性質(zhì)證△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正確．根據(jù)AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即S△BHE＝S△CHD，故③正確；由∠AHD＝∠CHD，得到鄰補角和對頂角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正確；【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE∴∠ABE＝∠HAD，∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，∴AG⊥BE，故④正確；∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即S△BHE＝S△CHD，故③正確；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故②正確；故選：D．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：①四邊相等，兩兩垂直；②四個內(nèi)角相等，都是90度；③對角線相等，相互垂直，且平分一組對角．9．（2022春?泰興市期中）如圖，邊長為10cm的正方形ABCD先向右平移6cm，再向下平移2cm得到正方形A′B′C′D′，則陰影部分的周長為（）A．16cm B．24cm C．32cm D．48cm【分析】根據(jù)平移不改變圖形的形狀和大小得到陰影部分的長和寬，即可求得周長．【解答】解：邊長為10cm的正方形ABCD先向右平移6cm，再向下平移2cm得到正方形A'B'C'D'，∴陰影長方形的長為10﹣2＝8cm，寬為10﹣6＝4cm，∴周長為（4+8）×2＝24cm，故選：B．【點評】本題考查了平移的性質(zhì)，平移不改變圖形的性質(zhì)和大?。羁疹}（共10小題）10．（2022春?寶應(yīng)縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠BOC＝120°，AB＝4cm，則矩形ABCD的周長為（8+83）cm．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC＝2AO，AO＝BO，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，由勾股定理求出BC的長，則可得出答案．【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AO＝OC，AB＝CD，BC＝AD，∴AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝4cm，∴AC＝8cm，∴BC=AC2?AB∴矩形ABCD的周長為2（AB+BC）＝2×（4+43）＝（8+83）（cm）．故答案為：（8+83）．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，熟記矩形的性質(zhì)定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊向外作等邊△CDE，則∠AEC＝45°．【分析】根據(jù)題意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝90°+60°＝150°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)可求出底角∠AED的度數(shù)，然后利用等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．故答案為：45．【點評】此題考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022春?江陰市期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∠ABD＝24°，∠BDC＝70°，則∠NMP的度數(shù)為23°．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到MP=12AB，MP∥AB，NP=12CD，NP【解答】解：∵M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∴MP為△ADB的中位線，NP為△BDC的中位線，∴MP=12AB，MP∥AB，NP=1∴∠MPD＝∠ABD＝24°，∠NPD＝180°﹣∠BDC＝110°，∴∠MPN＝134°，∵AB＝CD，∴MP＝NP，∴∠NMP=1故答案為：23°．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?沭陽縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．點M、N分別為線段BC、AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E、F分別為DM、MN的中點，則EF長度的最大值是6.5．【分析】連接DN、DB，根據(jù)三角形中位線定理得到EF=1【解答】解：連接DN、DB，∵點E、F分別為DM、MN的中點，∴EF是△MDN的中位線，∴EF=1由題意得，當(dāng)N與點B重合時，DN最大，此時EF的值最大，由勾股定理得：DB=A∴EF的最大值為6.5，故答案為：6.5．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點，若CE=7，則DF的長是7【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出AB，再根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：在ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，則AB＝2CE，∵CE=7∴AB＝27，∵D、F分別是AC、BC的中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF=12AB故答案為：7．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．15．（2022春?高新區(qū)校級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD=5，點P在AD上，點Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為41【分析】連接BP，在BA的延長線上截取AE＝AB＝3，連接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根據(jù)勾股定理可得結(jié)果．【解答】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，則PC+QD＝PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE＝AB＝3，連接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，連接CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝6，BC＝AD=5∴CE=B∴PC+PB的最小值為41．故答案為：41．【點評】本題考查的是最短線路問題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．16．（2022秋?興化市期中）如圖，在長方形ABCD中，點E是CD上的一點，過點E作EF⊥BE，交AD于點F，作點D關(guān)于EF的對稱點G，依次連接BG、EG、FG．已知AB＝16，BC＝12，且當(dāng)△BEG是以BE為腰的等腰三角形時，則CE的值為72或163【分析】①當(dāng)BE＝GE時，△BEG是以BE為腰的等腰三角形，設(shè)DE＝x，則DE＝GE＝BE＝x，CE＝16﹣x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，可列出方程求出x的值，進而可得CE的值；②當(dāng)BE＝BG時，△BEG是以BE為腰的等腰三角形，過點B做BH⊥GE，證明△CEB≌△EHB，CE＝HE，再列方程求解即可．【解答】解：①當(dāng)BE＝GE時，△BEG是以BE為腰的等腰三角形，在矩形ABCD中，∵D關(guān)于EF的對稱點G，∴DE＝GE，∵△BEG是以BE為腰的等腰三角形，∴GE＝BE，∴DE＝GE＝BC，設(shè)DE＝x，則BC＝DE＝x，CE＝16﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即：122+（16﹣x）2＝x2，解得：x=25CE＝16﹣x＝16?25∴CE的值為72②當(dāng)BE＝BG時，△BEG是以BE為腰的等腰三角形，如圖1，過點B做BH⊥GE，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠ECB＝90°，AB＝CD＝16，∴∠CEB+∠CBE＝90°，∵EF⊥BE，∴∠DEF+∠CEB＝90°，∴∠DEF＝∠CBE，∵點D關(guān)于EF的對稱點G，∴△EDF≌△EGF，∴DE＝EG，∠DEF＝∠GEF，∵EF⊥BE，HB⊥GE，∴∠GEF+∠HEB＝90°，∠HBE+∠HEB＝90°，∴∠GEF＝∠HBE，∵∠DEF＝∠CEB，∠GEF＝∠HBE，∠DEF＝∠GEF，∴∠CBE＝∠HBE，∵∠ECB＝90°，HB⊥GE，∴∠ECB＝∠EHB＝90°，在△CEB和△EHB中，∠CBE=∠HBEEB=EB∴△CEB≌△EHB（ASA），∴HB＝BC＝12，HE＝EC，設(shè)CE＝x，則DE＝CD﹣CE＝16﹣x，∵DE＝GE，BE＝BG，HB⊥GE，∴HE=12GE=12DE∵HE＝CE，∴12（16﹣x）＝x，解得：x=∴CE=16綜上所述，當(dāng)△BEG是以BE為腰的等腰三角形時，則CE的值為72或16故答案為：72或16【點評】本題考查了矩形、等腰三角形、軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理巧妙設(shè)方程求解是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度適中．17．（2022春?漣水縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN、MN的中點，則DE的最小值是3013【分析】當(dāng)CM⊥AB時，CM的值最小，此時DE的值也最小，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積求出CM，再求出答案即可．【解答】解：如圖，連接CM，∵點D、E分別為CN，MN的中點，∴DE=1當(dāng)CM⊥AB時，CM的值最小，此時DE的值也最?。晒垂啥ɡ淼茫篈B=A∵S△ABC=12?AB?CM∴CM=60∴DE=12CM故答案是：3013【點評】本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等知識點，注意：三角形的中位線等于第三邊的一半．18．（2022秋?惠山區(qū)校級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為10，點E在弧BD上，∠DEC＝135°，則△DEC的面積為20．【分析】如圖，取BC的中點T，連接AT交BE于J，連接AE，ET，延長CE交AD于P，過點D作DH⊥CP于H，首先證明∠CEB＝90°，四邊形ATCP是平行四邊形，想辦法求出DH，EC，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取BC的中點T，連接AT交BE于J，連接AE，ET，延長CE交AD于P，過點D作DH⊥CP于H，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝10，∵AB＝AE＝AD，∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∴∠BED＝∠AEB+∠AED=12（180°﹣∠BAE）+1∵∠CED＝135°，∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵BT＝CT，∴TE＝TB＝TC，∵AB＝AE，∴AT垂直平分線段BE，∵CE⊥BE，∴AT∥CP，∵AP∥CT，∴四邊形ATCP是平行四邊形，∴AP＝CT＝5，∴PD＝AP＝5，∴PC=PD2∵DH⊥PC，∴12?CD?PD=∴DH＝25，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，在△BEC和△CHD中，∠BCE=∠CDH∠BEC=∠CHD∴△BEC≌△CHD（AAS），∴EC＝DH＝25，∴S△DEC=1故答案為：20．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．19．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝45．E、F分別為邊AB、BC的中點，連接AF、DE，點N、M分別為AF、DE的中點，連接MN，則MN的長度為10．【分析】連接AM，并延長AM交CD于點G，先通過證明△AEM≌△GDM得到DM＝EM，DG＝AE后，證明MN是△AGF的中位線，可得MN=12GF，在Rt【解答】解：連接AM并延長AM交CD于點G，連接GF，如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝AB＝45，∠C＝90°，AB∥CD，∴∠AEM＝∠GDM，∵E、F分別為邊AB、BC的中點，∴AE=12AB＝25，CF=1∵M為DE的中點，∴EM＝DM，在△EAM和△DGM中，∠AEM=∠GDMDM=EM∴△EAM≌△DGM（SAS）．∴AM＝MG，DG＝AE＝25．∴M為AG的中點，∵N為AF的中點，∴MN是△AGF的中位線．∴MN=1在Rt△FCG中，CG＝DC﹣DG＝45?25=2∴GF=CG2+CF∴MN=12GF故答案為：10．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線把MN歸納到三角形中，然后證明MN是三角形的中位線．三．解答題（共11小題）20．（2022春?淮安區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，BE＝2，DE＝6，求AD的長．【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，證得AE是線段OB的垂直平分線，然后證得△OAB是等邊三角形，求得AB＝OB＝4，再利用勾股定理即可求得AD的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝2，DE＝6，∴BD＝8，∴OB＝4，∴BE＝EO＝2，∵AE⊥BD于E，∴AE是線段OB的垂直平分線，∴AB＝OA，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等邊三角形，∴AB＝OB＝4，∴AD=BD2【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，結(jié)合已知條件和等邊三角形的判定方法證明△OAB是等邊三角形是解題關(guān)鍵．21．（2022春?淮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，G為BC的中點，若AB＝8，AC＝6，求DG的值．【分析】延長CD交AB于E點，可證△ACD≌△AED得CD＝DE，所以DG是中位線，根據(jù)中位線定理求解．【解答】解：延長CD交AB于E點，∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE．又AD＝AD，∴△ACD≌△AED（ASA）．∴AE＝AC＝6，∴CD＝DE，即D是CE中點．∵G為BC的中點，∴DG為△CEB的中位線，∴DG=1【點評】此題主要考查了三角形的中位線定理及全等三角形的判定和性質(zhì)．作輔助線構(gòu)造全等三角形是難點．22．（2022春?淮安區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，點M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．（1）求證：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得∠BAN＝∠AMD，再利用BN⊥AM得到∠BNA＝∠D＝90°，然后用判定三角形全等的“AAS”求解；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AM，再由勾股定理求出AB＝5，再利用矩形面積和三角形面積求解．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD．∵BN⊥AM，∴∠BNA＝∠D＝90°．在△ABN和△MAD中，∠BAN=∠AMD∠BNA=∠D=∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD（AAS），∴BN＝AD，AN＝DM．∵AD＝3，AN＝4，∴BN＝3，DM＝4．∵BN⊥AM，∴AB2＝AN2+BN2，∴AB2＝32+42＝25＝52，∴AB＝5，∴S四邊形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△ADM＝AD?AB﹣2AD?DM＝3×5?1【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022春?虎丘區(qū)校級期中）如圖，線段AM是∠CAB的角平分線，取BC中點N，連接AN，過點C作AM的垂線段CE垂足為E．（1）求證：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的長度．【分析】（1）延長CE交AB于F，證明△CAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝EF，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解答】（1）證明：延長CE交AB于F，∵AM是∠CAB的角平分線，∴∠CAM＝∠BAM，在△CAE和△FAE中，∠CAE=∠FAEAE=AE∴△CAE≌△FAE（ASA），∴CE＝EF，∵CN＝NB，∴EN是△CFB的中位線，∴EN∥AB；（2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE，∴AF＝AC＝13，∴BF＝AB﹣AF＝24，∵EN是△CFB的中位線，∴EN=1【點評】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．24．（2022春?宿城區(qū)期中）如圖1，已知正方形ABCD，把一個直角與正方形疊合，使直角頂點與正方形的一個頂點重合，當(dāng)直角的一邊與BC相交于點E，另一邊與CD的延長線相交于點F時．（1）證明：BE＝DF；（2）如圖2，作∠EAF的平分線交CD于點G，連接EG，證明：BE+DG＝EG．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，再根據(jù)等角的余角相等得∠BAE＝∠DAF，則可根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ADF，然后根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到BE＝DF；（2）由△ABE≌△ADF得AE＝AF，再根據(jù)角平分線的定義得∠EAG＝∠FAG，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AEG≌△FAG，得到GE＝GF，由于GF＝DG+DF，所以BE+DG＝EG．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAFAB=AD∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF；（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∵∠EAF的平分線交CD于G點，∴∠EAG＝∠FAG，在△AEG和△FAG中，AE=AF∠EAG=∠FAG∴△AEG≌△AFG（SAS），∴GE＝GF，∵GF＝DG+DF，BE＝DF，∴BE＝GF﹣DG，∵GE＝GF，∴BE+DG＝EG．【點評】本題考查了正方形，熟練掌握正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022春?昆山市校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE=1（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）若菱形ABCD的邊長為3，∠BCD＝60°，求AE的長．【分析】（1）先證四邊形OCED是平行四邊形，再由∠DOC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）先證△BCD是等邊三角形，得BD＝BC＝2，再由勾股定理得OC，求得AC＝2OC，然后由矩形的性質(zhì)得CE＝OD＝1.5，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC=1∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE=1∴DE＝OC，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC=1∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝3，∴OD＝OB=3∴OC=3∴AC＝2OC＝33，由（1）得：四邊形OCED為矩形，∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=(故AE的長為：313【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形OCED為矩形是解題的關(guān)鍵．26．（2021秋?建鄴區(qū)期末）已知：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分別是AB、CD的中點．求證：MD＝MC，MN⊥CD．【分析】連接MC，MD，依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可得到MC＝MD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖所示，連接MC，MD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中點．∴Rt△ABC中，CM=1Rt△ABD中，DM=1∴MC＝MD，又∵N是CD的中點，∴MN⊥CD．綜上所述，MD＝MC，MN⊥CD．【點評】本題主要考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的運用，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．27．（2022春?濱海縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是AB，AC的中點，點F在BC的延長線上，且∠CEF＝∠A．（1）求證：DE＝CF；（2）若BC＝2，AB＝6，求四邊形DCFE的周長．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得出對邊相等得出結(jié)論．（2）由三角形的中位線定理得到DE的長度，進而解答即可．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點D是AB中點，∴CD＝AD＝BD，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠CEF＝∠A，∴∠CEF＝∠DCE，∴CD∥EF，∵點E是AC中點，∴DE∥CF，∴四邊形DCEF是平行四邊形，∴DE＝CF；（2）∵BC＝2，AB＝6，∵AD＝BD，AE＝CE，∴DE=1∵AB＝6，∴CD＝EF=1∴四邊形DCFE的周長為（1+3）×2＝8．【點評】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出由三角形的中位線定理得到DE的長度是解題的關(guān)鍵．28．（2022春?靖江市校級期中）如圖，在菱形ABCD中，BE⊥CD于點E，DF⊥BC于點F．（1）求證：BF＝DE；（2）分別延長BE、AD交于點G，若∠A＝45°，AB＝10，求線段DG的長．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知DC＝BC，再根據(jù)∠BEC＝∠DFC＝90°，∠C＝∠C，可證得△BEC≌△DFC，則有EC＝FC，問題得解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及∠A＝45°可證得△ABG是等腰直角三角形，再由勾股定理可求出AG=10【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB＝CD．∵BE⊥CD于點E，DF⊥BC于點F，∴∠BEC＝∠DFC＝90°．在△BEC與△DFC中，∠BEC=∠DFC∠C=∠C∴△BEC≌△DFC（AAS），∴EC＝FC，∴BC?CF＝CD?EC，即BF＝DE；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝10，∴∠ABG＝∠BEC＝90°．∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，∴AB＝BG＝10，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AG=2∴DG＝AG?AD=10【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．證明△BEC≌△DFC是解答本題的關(guān)鍵．29．（2022春?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD=1（1）求DN的長；（2）直接寫出△BDM的面積為18．【分析】（1）連接CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CM，根據(jù)三角形中位線定理得到MN∥BC，MN=1（2）利用三角形面積公式解答．【解答】解：（1）連接CM，在Rt△