大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)高職PPT完整全套教學(xué)課件

第一章

極限與連續(xù)上篇第一章極限與連續(xù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章積分及其應(yīng)用第四章多元函數(shù)的微積分第五章無窮級數(shù)中篇第六章線性代數(shù)初步第七章線性規(guī)劃初步第八章概率初步第九章數(shù)理統(tǒng)計初步下篇第十章Mathematica概述第十一章Mathematica的基本量第十二章Mathematica在初等代數(shù)中的應(yīng)用第十三章Mathematica在函數(shù)作圖中的應(yīng)用第十四章Mathematica在微積分中的應(yīng)用第十五章Mathematica在常微分方程與級數(shù)中的應(yīng)用第十六章Mathematica在線性代數(shù)與線性規(guī)劃中的應(yīng)用第十七章Mathematica在概率與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用全套可編輯PPT課件極限與連續(xù)微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而微積分的基本理論是極限.極限方法的萌芽起源于公元5世紀，到17世紀中后期牛頓-萊布尼茲對微積分的創(chuàng)立，經(jīng)歷了漫長的理論探索與問題實踐.極限理論是高等數(shù)學(xué)的基石，是微積分的基礎(chǔ).極限方法也是微積分的最基本方法.因此，掌握極限概念與極限運算是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的第一步。目錄§1.1函數(shù)§1.2函數(shù)的極限§1.3極限的運算及其在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用§1.4函數(shù)的連續(xù)性§1.5數(shù)學(xué)建模舉例§1.1函數(shù)1.1.1函數(shù)的概念定義1-1設(shè)x和y是兩個變量，D是R的非空子集，對于任意的x∈D，通過對應(yīng)關(guān)系f，變量y都有確定的值與它相對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù).記作y=f(x)x∈D其中x為自變量，y為因變量，D為函數(shù)的定義域，f為函數(shù)關(guān)系，y的取值范圍為函數(shù)的值域，記為M必須注意的是：定義域和函數(shù)關(guān)系是函數(shù)的兩個要素，當函數(shù)的兩個要素相同時，即為同一個函數(shù).1.1.1函數(shù)的概念函數(shù)關(guān)系的表示上又分為圖像法、表格法和解析式法，下面先介紹解析式函數(shù)關(guān)系的幾種常見類型.1.基本初等函數(shù)1.1.2函數(shù)關(guān)系1.基本初等函數(shù)1.1.2函數(shù)關(guān)系1.基本初等函數(shù)1.1.2函數(shù)關(guān)系1.基本初等函數(shù)1.1.2函數(shù)關(guān)系2.復(fù)合函數(shù)AB復(fù)合函數(shù)：一般地，如果函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,函數(shù)u=φ(x)的值域為Wφ，當Df與Wφ交集I為非空集時，設(shè)與I相對應(yīng)的x的取值范圍為D(顯然DDφ)，那么，對于任意x∈D，通過函數(shù)u=φ(x)有確定的u∈I與之相對應(yīng)，由于IDf，因此對于這個u，通過函數(shù)y=f(u)有確定的y值與之相對應(yīng).這樣，對于任意x∈D，通過變量u有確定的y值與之相對應(yīng)，從而得到一個以x為自變量、y為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f［φ(x)］我們知道，當動點在單位圓上以A(0，1)為起點做逆時針勻速運動時，動點在y軸上的投影的縱坐標y是角度θ的函數(shù)y=sinθ，如果角速度為ω，則角度θ是時間t的函數(shù)θ=ωt.顯然，對于大于或等于零的任意時間t，動點在y軸上的投影縱坐標y都是確定的，因此，y也是時間t的函數(shù)，即y=sin(ωt).我們把這樣一種函數(shù)關(guān)系定義如下。1.1.2函數(shù)關(guān)系1.1.2函數(shù)關(guān)系必須注意的是：(1)當且僅當Df與Wφ交集I為非空集時，兩個函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)復(fù)合才是有意義的.例如：y=f(u)=arcsinu、u=φ(x)=x2+2,這兩個函數(shù)就不能復(fù)合.因為，無論x取任何值，都有u≥2，而對于任意絕對值大于常數(shù)1的u，相應(yīng)的反正弦值都不存在；(2)如果沒有特別說明，復(fù)合函數(shù)的定義域是使復(fù)合函數(shù)有意義的自變量的取值。

例1-1分解下列復(fù)合函數(shù).例題

1.1.2函數(shù)關(guān)系例例例題

1.1.2函數(shù)關(guān)系例題3.初等函數(shù)1.1.2函數(shù)關(guān)系我們把由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成并可以用一個解析式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如，y=x2、y=2x+lnsinx、y=3arctanx2+1等都是初等函數(shù).本教材所涉及的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù).4.分段函數(shù)我們把在不同的定義域區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)解析式不同的函數(shù)統(tǒng)稱為分段函數(shù).如郵資函數(shù)、電話費用函數(shù)、個人收入所得稅函數(shù)等，還有高等數(shù)學(xué)課程中會涉及到的如下幾個分段函數(shù)：1.1.2函數(shù)關(guān)系這里符號函數(shù)和取整函數(shù)都是非初等函數(shù)，但絕對值函數(shù)y=｜x｜=x2也可以用一個解析式表示，是初等函數(shù).例1-4《中華人民共和國個人所得稅法》和《中華人民共和國個人所得稅法實施條例》自2011年9月1日起施行的個人所得稅稅率表（工資、薪金所得適用）如表1-2所示.上述表中“全月應(yīng)納稅所得額”是從月工資、薪酬收入減去3500元后的余額.求個人所得稅函數(shù)y=f(x)及當月納稅為120元時的月薪.1.1.2函數(shù)關(guān)系例1.1.2函數(shù)關(guān)系20172016函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量取值的集合。解析式函數(shù)的定義域是指解析式有意義的自變量的取值范圍。1.1.3定義域函數(shù)的幾種常用性質(zhì)對比幾何意義羅列如表1-3所示（D為函數(shù)f(x)的定義域）1.1.4函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的幾種常用性質(zhì)對比幾何意義羅列如表1-3所示（D為函數(shù)f(x)的定義域）1.1.4函數(shù)的性質(zhì)在經(jīng)濟分析中，經(jīng)常會涉及到生產(chǎn)成本C、銷售收益R、利潤L等與生產(chǎn)量Q之間的函數(shù)關(guān)系，我們把這些函數(shù)關(guān)系分別稱為成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù)；也會遇到商品的供給Q、需求Q與價格P之間的函數(shù)關(guān)系，我們把這些函數(shù)關(guān)系分別稱為供給函數(shù)、需求函數(shù)，它們的反函數(shù)就是價格函數(shù)。1.1.5經(jīng)濟分析中的函數(shù)舉例例1-6某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為100元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需增加6元成本，又知該產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=1000-100p(p表示價格），求：（1）總成本C與產(chǎn)量Q間的函數(shù)關(guān)系；（2）總收益R與產(chǎn)量Q間的函數(shù)關(guān)系；（3）利潤L與產(chǎn)量Q間的函數(shù)關(guān)系.解(1)總成本為固定成本與可變成本之和，于是C（Q）＝100＋6Q.1.1.5經(jīng)濟分析中的函數(shù)舉例§1.2函數(shù)的極限割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元3世紀)創(chuàng)造了“割圓術(shù)”，即利用圓內(nèi)接正多邊形的面積來推算圓的面積，他認為不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”對于圓的面積的計算，先從圓內(nèi)接正六邊形算起，依次將邊數(shù)加倍，如果把圓內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An,顯然，正多邊形的邊數(shù)n越大，則正多邊形的面積An就和圓的面積越接近，當n無限增大時，圓內(nèi)接正多邊形的面積就無限接近于圓的面積.1.2.1問題舉例溫的變化趨勢將一盆80℃的熱水放在室溫恒為20℃的房間里，顯然，水溫T將隨時間t的增加而逐漸降低，隨著時間t的推移，水溫會越來越接近于室溫20℃.單擺運動單擺離開垂直位置一定的距離后，在重力作用下左右擺動，如果不施加外力作用，那么，單擺在摩擦力和空氣阻力作用下，其振幅會不斷減小，時間越長，振幅也就越小，當時間無限延長時，那么單擺的振幅就無限接近于零.1.2.1問題舉例細胞分裂假設(shè)某細胞分裂的周期為1分鐘，則細胞數(shù)量y與時間t的函數(shù)關(guān)系為y=2［t］，顯然，當時間變量越大，則對應(yīng)的細胞數(shù)量就越多，當t→+∞，對應(yīng)的細胞數(shù)量也就無限增多.1.2.1問題舉例1.2.2函數(shù)的極限上述舉例反映出相同的規(guī)律，即當自變量沿著某方向變化時，對應(yīng)的函數(shù)值是否無限接近于一個確定的常數(shù).我們把函數(shù)的這種變化趨勢定義為極限.根據(jù)自變量的變化方式，我們又把函數(shù)的極限分為以下兩種類型.1.x→∞時函數(shù)的極限對于函數(shù)f(x),當自變量x的絕對值無限增大時，如果對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→∞時的極限，記作1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限當自變量x的絕對值無限增大時，如果對應(yīng)函數(shù)的絕對值f(x)無限增大，則稱極限不存在，或稱極限為無窮大，記作例如，對于函數(shù),當自變量x的絕對值無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)零，在函數(shù)圖形上表現(xiàn)為：當函數(shù)曲線向左右兩側(cè)無限延伸時，曲線和x軸無限接近,即.如圖所示.1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限特別地，當自變量x取正值方向無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→+∞時的極限，記作當自變量x取負值方向無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→－∞時的極限，記作1.2.2函數(shù)的極限例如，對于函數(shù)y=ex,當自變量x取負值無限增大時，即當x→－∞時，對應(yīng)函數(shù)值無限接近于常數(shù)零，即ex→0（x→－∞)，如圖1-2所示.對于函數(shù)y=arctanx，當x→－∞時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)－π/2，即limx→-∞arctanx=-π2；當x→+∞時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)π/2,即limx→+∞arctanx=π/2.如圖1—3所示.1.2.2函數(shù)的極限必須注意的是：對于極限limx→∞f(x)=A，自變量的變化方向包括x→－∞和x→+∞兩種方式，只有當x→－∞和x→+∞兩種方式下函數(shù)f(x)的極限都存在而且相等時，函數(shù)f(x)當x→∞時的極限存在，否則，f(x)當x→∞時的極限不存在.例如，函數(shù)y=ex、y=arctanx當x→∞時極限不存在.1.2.2函數(shù)的極限1.2.2函數(shù)的極限結(jié)論1-1如果下面，我們分析當自變量無限接近于一個確定的值時，對應(yīng)函數(shù)的變化趨勢.例如,對于函數(shù)，當x=1時函數(shù)無意義，但是，當自變量x從1的左右兩側(cè)無限接近于1時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于唯一確定的常數(shù)2，如圖1-4所示.2.x→X0時函數(shù)的極限定義1-2設(shè)函數(shù)f(x)在點X0近旁有意義，當自變量x無限接近于X0時，如果對應(yīng)函數(shù)值f(x)無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱A為當x→X0時函數(shù)f(x)的極限，記作1.2.2函數(shù)的極限必須注意的是：（1）x無限接近于X0的方式是任意的，它包括變量x從X0的左右兩側(cè)無限接近于X0；（2）反映的是在自變量x無限接近于X0的過程中對應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化趨勢，而與函數(shù)f(x)在點X0處是否有定義以及函數(shù)值的大小無關(guān).結(jié)論1-2如果1.2.2函數(shù)的極限1.無窮小AB設(shè)函數(shù)f(x)在X0近旁有意義，當x→X0(或x→∞)時，如果相應(yīng)的函數(shù)f(x)的絕對值f(x)無限增大，則稱f(x)是x→X0（或x→∞)時的無窮大（或無窮大量）.1.2.3無窮小與無窮大2.無窮大如果，則稱函數(shù)f(x)是x→x0(或x→∞)時的無窮小（或無窮小量）.無窮小量就是極限為零的變量.例如，當x→0時，ax2、sinx等均為無窮小量，當x→∞時，也是無窮小量.特別地，常數(shù)零也是無窮小量.當自變量以某種方式變化時，如果相應(yīng)的函數(shù)值無限增大，那么我們就把具備這樣一種變化趨勢的量稱為無窮大（或無窮大量）.1.2.3無窮小與無窮大1有限個無窮小之和（或差）仍為無窮小.性質(zhì)1-1有限個無窮小之積仍為無窮小.性質(zhì)1-3無窮小與有界變量之積仍為無窮小.性質(zhì)1-2LOGO3.無窮小的性質(zhì)4.無窮小與無窮大的關(guān)系1.2.3無窮小與無窮大由函數(shù)可以看出，當x→∞時（即x為無窮大量時），1x→0(即無窮大量的倒數(shù)為無窮小量）；反之，當x→0(即x為無窮小量且x≠0時），(即不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量）.在自變量的同一變化過程中，無窮大量的倒數(shù)為無窮小量；反之，不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量.定義1-3對于數(shù)列{an}，當項數(shù)n無限增大時，如果對應(yīng)的項an無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為數(shù)列{an}的極限，數(shù)列是一種整標函數(shù)，顯然，數(shù)列的極限只是函數(shù)的極限當x→+∞時的特例.1.2.4數(shù)列的極限§1.3極限的運算及其在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用1.四則運算法則1.3.1極限的運算法則1.四則運算法則1.3.1極限的運算法則1.3.1極限的運算法則1.3.1極限的運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則1.3.1極限的運算法則法則設(shè)函數(shù)y=f(u)與u=φ(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］滿足：limx→X0φ(x)=a,而復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)f(u)為初等函數(shù)，且a在函數(shù)f(u)的定義域內(nèi)，則上述運算法則同樣適用于當自變量x→∞,或x→-∞,x→+∞及在定點X0處的左右極限的情形.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則表明，當復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)是初等函數(shù)時，復(fù)合運算關(guān)系與極限運算可以交換順序.1.3.1極限的運算法則1.四則運算法則1.3.2無窮小的比較可見，當x→0時，無窮小量2x,x2及sinx等趨向于零的速度不同.為了便于描述無窮小趨向于零的速度的快慢，我們采用比值法比較如下.問題舉例當x→0時，顯然有2x→0,x2→0,sinx→0，它們趨向于零的速度如表1-4所示.1.3.2無窮小的比較(1)如果,則稱α比β高階(或說α是比β高階的無窮小量)，記作α=o(β);也說β比α低階.(2)如果(C≠0且C≠1，C為常數(shù))，則稱α與β同階(或說α是與β同階的無窮小量).LOGO無窮小量階的比較：設(shè)α和β為同一變化方式下的無窮小，(3)如果limαβ=1,則稱α與β等價，記作α～β.對于上述表中的無窮小量，有x2=o(x),x2=o(2x),x～sinx,x與2x同階.1.3.3重要極限在極限的運算過程中，我們經(jīng)常會用到下列兩個極限結(jié)論.1.3.3重要極限1.3.3重要極限上述運算過程中，相當于分子和分母同時用等價的無窮小量作了替代，即在上述型未定式中，用與分子等價的無窮小量3x替代sin3x，用與分母等價的無窮小量5x替代tan5x.事實上，對于無窮小量的積或商運算的類型，我們都可以用等價的無窮小量作替代，從而使極限運算簡便.1.3.3重要極限1.3.3重要極限1.3.3重要極限從表中我們可以發(fā)現(xiàn)，當n無限增大時，相應(yīng)的變量無限接近于一個確定的無理數(shù)e=2.7182818….事實上，可以證明必須注意的是：(1)該重要極限的類型屬于“1∞”型.其中，冪底變量為1加無窮小量α，指數(shù)為無窮小量α的倒數(shù)(無窮大量）；（2）該極限類型也可以表示為以下形式1.3.3重要極限以重要極限2為例，我們簡單列舉極限在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用，其中比較常見的是復(fù)利問題和貼現(xiàn)問題.1.3.4極限在經(jīng)濟分析中的簡單應(yīng)用例1-19（復(fù)利問題）設(shè)本金為A，銀行存款的年利率為r，如果以年為周期結(jié)算，則t年末的本利和為St=A(1+r)t.（1）如果要求一年結(jié)算n次，求t年末的本利和；（2）如果以連續(xù)復(fù)利結(jié)算，求t年末的本利和.解：（1）如果每年結(jié)算n次，則每次的利率為，于是，t年末的本利和為（2）如果以連續(xù)復(fù)利計算，即每年結(jié)算的次數(shù)n→∞(資金的周轉(zhuǎn)是連續(xù)的，計算復(fù)利也應(yīng)越細越合理），則t年末的本利和為這個公式就是國際上廣泛使用的“連續(xù)復(fù)利法”，其中，er稱連續(xù)復(fù)利系數(shù).在現(xiàn)實世界中，如物體的冷卻、生物的連續(xù)生長、人口的增長等，都可以視為這種模型.1.3.4極限在經(jīng)濟分析中的簡單應(yīng)用例1-20（貼現(xiàn)問題）設(shè)某項投資的年利率為6%，問：現(xiàn)投資多少元，10年末可得120000元？分別求每年結(jié)息1次、6次及連續(xù)復(fù)利情況下的投資額A.解與復(fù)利問題相反，現(xiàn)在已知St，求A，于是，每年結(jié)息1次、6次、連續(xù)復(fù)利下相應(yīng)的貼現(xiàn)公式分別為每年結(jié)算1次時A1=120000×1.06-10=67007.40;每年結(jié)算6次時A6＝120000×1.01-6×10=120000×1.01-60=66054.00;連續(xù)復(fù)利時A＝120000×e-0.06×10=120000×e-0.6=65857.40.§1.4函數(shù)的連續(xù)性§1.4函數(shù)的連續(xù)性自然界的很多現(xiàn)象，如生物的生長、氣溫的變化、河水的流動等，都是隨著時間的改變而連續(xù)變化的，我們把變量連續(xù)變化的性質(zhì)叫函數(shù)的連續(xù)性.為了便于描述函數(shù)的性質(zhì)，我們規(guī)定變量的增量如下：如果變量u從一個初值u1變化到終值U2,那么終值U2與初值u1的差U2-U1稱為變量u的增量（或改變量），記作ΔU,即Δu=U2-U1.對于函數(shù)y=f(x)，當自變量x由X1變化到X2時，對應(yīng)的函數(shù)增量Δy=f(x2)-f(x1).如果自變量由X0變化到x=X0+ΔX時，則函數(shù)的增量就表示為Δy=f(X0+Δx)-f(X0)=f(x)-f(X0)1.4.1函數(shù)在點X0的連續(xù)性函數(shù)在點x0處連續(xù)，在數(shù)量的變化上表現(xiàn)為不間斷變化，在圖形上的特征表現(xiàn)為該點的函數(shù)圖形和該點左右兩側(cè)的函數(shù)圖形連接在一起，如圖1-8所示.定義14設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0及近旁有定義，若limΔx→0Δy=0，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).例如，函數(shù)y＝x2在點x0及近旁有定義，當自變量由x0變由上述定義1-4，當Δx→0時，Δy→0，也即是當x→x0時，f(x)-f(x0)→0，于是有下面的定義2.1.4.1函數(shù)在點X0的連續(xù)性1.4.1函數(shù)在點X0的連續(xù)性1.4.2函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x）在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，也稱區(qū)間（a,b)為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，并且在點x=a處右連續(xù)，在點x=b處左連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù).結(jié)論1-3如果函數(shù)y=f(x)在點X0處連續(xù)，則1.連續(xù)區(qū)間1.4.2函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算在定義域區(qū)間內(nèi)也連續(xù)，所以，初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.由連續(xù)的條件可知，初等函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)某點的極限值等于該點的函數(shù)值.2.初等函數(shù)的連續(xù)性1.4.2函數(shù)的連續(xù)性2.初等函數(shù)的連續(xù)性1.4.3函數(shù)的間斷點如果函數(shù)f(x)在點X0處不連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在點X0處間斷(或不連續(xù))，也說點X0是函數(shù)f(x)的間斷點(或不連續(xù)點).當然，不滿足連續(xù)條件的點都是間斷點，因此，間斷點有以下三種情形：1.間斷點的定義1.4.3函數(shù)的間斷點1.4.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖形是一條不斷開且有端點的曲線，因而有如下幾個性質(zhì).性質(zhì)1-4(最值性)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.性質(zhì)1-5(介值性)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在區(qū)間端點處取得不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B(A≠B),那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)=C(a＜ξ＜b).如圖1-9所示.2.間斷點的分類1.4.3函數(shù)的間斷點2.間斷點的分類為方便起見，我們把間斷點分成兩大類.(1)如果函數(shù)f(x)在點x0處間斷，而f(x0-0)、f(x0+0)都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點.如例123中的(1)和(3).如果f(x0-0)=f(x0+0)，也稱x0為可去間斷點((1)即是)；如果f(x0-0)≠f(x0+0),也稱x0為跳躍間斷點((3)即是).(2)如果函數(shù)f(x)在點x0處間斷，f(x0-0)、f(x0+0)兩者之中至少有一個不存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第二類間斷點.如例1-23中的(2)，事實上，對于這種類型的間斷點我們也稱之為無窮間斷點.1.4.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1-6（零點定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，即f(a)·f(b)＜0，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個使函數(shù)f(x)為零的點，即至少存在一點ξ，使得f(ξ）=0(a＜ξ＜b).如圖1-10所示.2.間斷點的分類1.4.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例1-24證明：方程x3-4x2+1=0在開區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個根.證函數(shù)f(x)=x３-4x２+1在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且f(0)=1＞0,f(1)=-2＜0根據(jù)零點定理，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一點ξ，使得f(ξ)=0.即ξ3-4ξ2+1=0(0＜ξ＜1)因此，方程x3-4x2+1=0在開區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個根.當然，如果想找該方程在區(qū)間(0，1)內(nèi)的根，可以采用二分法，即判斷該區(qū)間中點處的函數(shù)值與哪個端點對應(yīng)的函數(shù)值異號，然后可判斷方程在該小區(qū)間內(nèi)有一個根，如此步驟多次反復(fù)，就會得到方程根的近似值.§1.5數(shù)學(xué)建模舉例§1.5數(shù)學(xué)建模舉例在生產(chǎn)和科學(xué)研究中所遇到的實際問題往往受多種因素的共同影響，把實際問題進行簡化，并用數(shù)學(xué)語言和方法作出抽象或模仿而形成一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模.1.5.1數(shù)學(xué)建模的步驟建模前要對實際問題的背景有深刻的了解，明確建模的目的；進行全面、深入、細致的觀察，收集必要的數(shù)據(jù)和有關(guān)資料；找出問題的內(nèi)在規(guī)律.在假設(shè)、簡化的基礎(chǔ)上，選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)工具建立各種因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.對錯綜復(fù)雜的各種信息進行清理，抓住主要因素，舍棄一些次要因素；對問題進行適當簡化，提出恰當、合理的假設(shè).LOGO1.模型準備1.模型準備3.模型建立1.5.1數(shù)學(xué)建模的步驟包括求解各種類型的方程、圖表、函數(shù)關(guān)系式等，必要時需利用計算機及軟件等工具.把所得的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實際問題中去.對模型和求解結(jié)果進行分析，并與實際情況進行比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇耘c使用范圍，以便修改模型的假設(shè)，使求得的數(shù)學(xué)模型不斷完善.LOGO4.模型求解5.模型分析和檢驗6.模型應(yīng)用1.5.2建模舉例在生產(chǎn)和科學(xué)研究中所遇到的實際問題往往受多種因素的共同影響，把實際問題進行簡化，并用數(shù)學(xué)語言和方法作出抽象或模仿而形成一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模.例1-２５計算某汽車公司做３０分鐘的廣告，其內(nèi)容為：一段喜劇小品、一段音樂、至少３分鐘的廣告.電視臺規(guī)定，３０分鐘節(jié)目中的廣告時間不得超過１２分鐘，且無論如何不得超過喜劇小品的時間，又喜劇小品的時間不得超過２０分鐘，其余時間演奏音樂.播放成本：喜劇小品１５０元／分鐘、音樂１００元／分鐘、廣告５０元／分鐘.由經(jīng)驗知，播一分鐘的喜劇，增加４０００觀眾，播一分鐘的音樂，增加２０００觀眾，播一分鐘的廣告，減少１０００觀眾.汽車公司希望：付出最少的成本的情況下獲得最多的觀眾.問：如何分配節(jié)目播出時間，才能滿足汽車公司的需求？1.5.2建模舉例1.5.2建模舉例解模型準備考慮觀眾人數(shù)與節(jié)目類型的關(guān)系，播出成本與節(jié)目類型與時間的關(guān)系，從而收集相關(guān)數(shù)據(jù)，如題目中給出的數(shù)據(jù).模型假設(shè)觀眾人數(shù)的變化中忽略其它媒體、社會因素或自然因素的影響；對于具體的節(jié)目類型觀眾的影響中，也忽略節(jié)目的相對差異性等.模型建立假設(shè)播放喜劇的時間為x(分鐘),播放廣告的時間為y（分鐘），播放音樂的時間為３０-x-y(分鐘），則觀眾人數(shù)N＝４０００x+2000(30-x-y)-1000y=60000+2000x-3000y.成本Ｃ＝１５０x+100(30-x-y)+50y=3000+50(x-y),1.5.2建模舉例模型求解如圖1-11所示，將約束條件反應(yīng)在多邊形中，分析成本函數(shù)可知，成本最小值３０００元在線段ＡＢ上取得.在點Ａ處,NA=57000人；在點Ｂ處，NＢ＝４８０００人.同樣的成本，在點Ａ處觀眾最多，所以，可以建議汽車公司節(jié)目播出時間安排為：喜劇與廣告各３分鐘，音樂２４分鐘，這樣，在成本最少的情況下，觀眾人數(shù)最多.模型分析與檢驗對于該模型的解決方案，由于數(shù)據(jù)的收集有限，因而，不一定是使３０分鐘廣告達到最大收益的廣告策略.如果能夠進一步收集與分析觀眾人數(shù)與產(chǎn)品銷售量之間的關(guān)系，就可以找出在現(xiàn)有條件下的最優(yōu)投入產(chǎn)出比，使汽車公司達到最大的收益.模型的應(yīng)用此模型適用于一定的廣告費用情況下如何分配節(jié)目時間，使觀眾人數(shù)最多的問題.謝謝觀看第二章

導(dǎo)數(shù)與微分極限與連續(xù)微分學(xué)的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事件之一.其基本思想源于古希臘的求積術(shù)，但直接動力卻來自17世紀的科技問題.微積分的知識在日常生活及科學(xué)技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用，微分學(xué)也是微積分學(xué)的重要組成部分.它從微觀的角度分析客觀世界中量的變化.本章將在介紹導(dǎo)數(shù)與微分概念和方法的基礎(chǔ)上，進一步介紹導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用.目錄§2.1導(dǎo)數(shù)的概念§2.2求導(dǎo)方法§2.3函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)§2.4導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用§2.5微分及其在近似計算中的應(yīng)用§2.6導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用§2.1導(dǎo)數(shù)的概念現(xiàn)實生活中的許多量的變化是非均勻變化的，量的變化快慢也稱為變化率，研究非均勻變化量的變化率問題有著廣泛的實際意義.§2.1導(dǎo)數(shù)的概念對于非均勻變化求瞬時變化率問題，我們可以舉出很多示例，例如：某時間段內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量Q＝Q（t)是非均勻變化的，求t0時刻的電流強度；某產(chǎn)品在一定時間內(nèi)的價格隨時間波動的函數(shù)為P=P(t)，求t0時刻的價格變化率；作變速直線運動v=v(t)的質(zhì)點，求t0時刻速度的變化率（加速度）等.諸如此類的問題都可歸結(jié)為非均勻變化量求變化率問題.事實上，非均勻變化對應(yīng)的函數(shù)圖象為曲線.我們不妨將上述問題歸結(jié)為曲線函數(shù)的變化率問題，即曲線在某點處的切線斜率.2.1.1問題舉例2.1.1問題舉例切線的斜率設(shè)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖21所示，求曲線在點x0處的切線斜率.分析要求曲線在點x0處的切線斜率，首先考察割線MN的斜率，其中，M（x0,f(x0)),N(x0+△x,f(x0+△x)).設(shè)割線的傾斜角為φ,切線的傾斜角為α,于是圖21顯然，當△x→0時，N→M,割線MN→切線MT，φ→α,tanφ→tanα.變速直線運動的瞬時速度某質(zhì)點作直線運動，其位移時間函數(shù)為s=s(t),求質(zhì)點在時刻t0的瞬時速度.分析對于勻速直線運動，其速度為,對于非勻速直線運動2.1.1問題舉例上述引例的實際意義雖然不同,但解決的方式都歸結(jié)為平均變化率求極限問題，我們把這種極限問題規(guī)范如下.2.1.2導(dǎo)數(shù)定義2.1.2導(dǎo)數(shù)定義如果函數(shù)y＝f(x）在開區(qū)間I內(nèi)的每一點x處都可導(dǎo)，即對于任意一點x∈I,有都存在，則f′(x)是一個關(guān)于x的函數(shù)，我們稱f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.也可記為必須注意的是：(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)表示函數(shù)f(x)在任意點x處的變化快慢；（2）導(dǎo)函數(shù)f′(x)與函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0）的關(guān)系就是函數(shù)與函數(shù)值的關(guān)系，f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x0處對應(yīng)的函數(shù)值,而不是對f(x0)求導(dǎo)數(shù).既然如此，以后無論是求導(dǎo)函數(shù)，還是求函數(shù)在定點x0處的導(dǎo)數(shù)，我們都歸結(jié)為先求導(dǎo)函數(shù).2.1.3求導(dǎo)舉例根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，要求某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以通過對平均變化率取極限解決，因此，求導(dǎo)思路為：當自變量由x變化到x+△x時，求相應(yīng)的△y;.當然，也可以直接求例2-1求常函數(shù)f(x)=C的導(dǎo)數(shù).例題2.1.3求導(dǎo)舉例例例2.1.3求導(dǎo)舉例2.1.3求導(dǎo)舉例例2-4求函數(shù)y=2x在點x=3處的導(dǎo)數(shù).例題2.1.3求導(dǎo)舉例例例2.公式求導(dǎo)例2-5求函數(shù)f(x)=tanx在點x=π/4處的導(dǎo)數(shù).1.基本初等函數(shù)2.1.3求導(dǎo)舉例由問題舉例我們可以看出，函數(shù)y=f(x）在點X0處的導(dǎo)數(shù)f′(X0),在圖形上表示該函數(shù)曲線y=f(x)在對應(yīng)點的切線斜率，即k切＝f′(X0).2.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義例2-6求曲線在點A（1，1）處的切線方程和法線方程.2.1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義例由直線的點斜式方程可得過點A（1，1）的切線方程與法線方程.切線方程：y-1=-(x-1),即x+y-2=0;法線方程：y-1=(x-1),即x-y=0.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是通過函數(shù)的曲線在某點切線的傾斜程度反映函數(shù)的變化快慢，是變量變化快慢的直觀反映.而導(dǎo)數(shù)的實際意義往往根據(jù)函數(shù)所表示意義的不同而不同.例如，位移的導(dǎo)數(shù)的實際意義表示速度；速度的導(dǎo)數(shù)的實際意義表示加速度；電量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的實際意義表示電流強度.由上述分析，非勻變速直線運動s=s(t),位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)s′(t)=v(t)是速度函數(shù)，顯然，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)v′(t)=a(t)就是加速度函數(shù)，其關(guān)系為a(t)=v′(t)=s′(t)′=s″(t).2.1.5高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)一般地，對函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y′=f′(x)求導(dǎo)數(shù)，所得的函數(shù)稱為原來函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f″(x),即f″(x)=f′(x)′.也可記作類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，…,（n-1）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù)，分別記作：f

(x),f(4)(x),…,f(n)(x).

2.1.6原函數(shù)函數(shù)在某點可導(dǎo)與函數(shù)在該點處連續(xù)是兩個不同的概念，他們之間的關(guān)系如下.1.可導(dǎo)必連續(xù)數(shù)量分析：如果函數(shù)y=f(x)在點X0處可導(dǎo)，則存在，即當△x→0時，必有△y→0,所以函數(shù)y=f(x)在點X0處連續(xù).2.1.7可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系2.1.7可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系幾何理解：導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示曲線在某點處的切線斜率，如果函數(shù)曲線在某點處無切線，或切線斜率不存在，則函數(shù)在該點處就不可導(dǎo).例如:函數(shù)在點x=0處連續(xù)，但無切線，因此不可導(dǎo)，如圖22所示；而函數(shù)在點x=0處連續(xù)，但在該點處切線斜率不存在，因此不可導(dǎo)，如圖23所示.§2.2求導(dǎo)方法由前面的知識，我們可以通過導(dǎo)數(shù)定義或?qū)?shù)公式對基本初等函數(shù)求導(dǎo)數(shù).對于實際應(yīng)用過程中涉及到的函數(shù)往往比較復(fù)雜，如果用定義求導(dǎo)則相當復(fù)雜，有些甚至不可能用定義求導(dǎo).我們首先考察初等函數(shù)的求導(dǎo)，再考慮其它類型函數(shù)的求導(dǎo)法.§2.2求導(dǎo)方法設(shè)u=u(x),v=v(x)均為可導(dǎo)函數(shù)，則（1）(u±v)′=u′±v′;（2）(uv)′=u′v+uv′;(Cu)′=Cu′;（3）uv′=u′v-uv′v2;1v′=-v′v2(v≠0).上述法則均可用導(dǎo)數(shù)定義證明.2.2.1四則運算的求導(dǎo)2.2.1四則運算的求導(dǎo)分析函數(shù)y=sin2x可以看作是y=sinu,u=2x復(fù)合而成，如果函數(shù)y對變量u求導(dǎo)數(shù)，有y′u=(sinu)′u=cosu,而變量u對自變量x求導(dǎo)數(shù)，有u′x=(2x)′x=2,因此復(fù)合函數(shù)y=sin2x對自變量x的導(dǎo)數(shù)，可以看作是復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積.必須注意的是:（1）如果變量u是x的復(fù)合函數(shù)，則再一次利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法;（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，可以將復(fù)合函數(shù)分解，將各個函數(shù)求導(dǎo)數(shù)后作乘積，便得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；也可以直接由外函數(shù)關(guān)系求導(dǎo)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如果內(nèi)函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，可以繼續(xù)使用該方法.2.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)2.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)例211求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解（1）y=2x2由y=2u,u=x2復(fù)合而成，因為y′u=2uln2,u′x=2x,所以y′x=y′u·u′x=2uln2·2x=2x·2x2ln2顯然，該復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)關(guān)系為指數(shù)式函數(shù)，即y=2u,而(2u)′u=2uln2,直接求導(dǎo)為y′x=2x2′=2(x2)ln2·(x2)′=2x·2x2ln2運算中的小括號（x2)就是中間變量u,如果不用代換u,也就無須回代，從而使運算簡潔.2.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)有了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，我們就可以解決初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)問題.2.2.3初等函數(shù)的求導(dǎo)2.2.3初等函數(shù)的求導(dǎo)例212已知某彈簧振子在阻力的作用下的運動規(guī)律為s(t)=2e-tsin2πt,求彈簧振子的速度函數(shù).分析如果直接利用復(fù)合函數(shù)商的求導(dǎo)法則，運算比較復(fù)雜.可以考慮先化簡，后求導(dǎo).2.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)如果函數(shù)y可以表示為自變量x的解析式，即y=f(x),這種函數(shù)我們稱為顯函數(shù).例如也有些函數(shù)，函數(shù)與自變量之間的關(guān)系隱藏在方程F(x,y)=0中.例如：對于方程x2+y2=R2(R＞0,y≥0),當自變量x在區(qū)間［-R,R］上取任意值時，根據(jù)方程x2+y2=R2,都有確定的y值與之相對應(yīng)，這里.我們把這種由方程確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).如果由方程能夠解得函數(shù)y為自變量的解析式，這就叫隱函數(shù)的顯化.當然，在實際應(yīng)用中，更多的隱函數(shù)是不易顯化的，如exy=x+y,我們需要分析隱函數(shù)的變化率問題，即隱函數(shù)的求導(dǎo).2.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)我們可以將該隱函數(shù)顯化后求導(dǎo)數(shù)，與上述結(jié)論相對照，從而總結(jié)出隱函數(shù)的求導(dǎo)法.必須注意的是:（1）隱函數(shù)求導(dǎo)方法：將方程兩邊同時對自變量求導(dǎo)數(shù)，從中解出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）隱函數(shù)求導(dǎo)結(jié)論中可以同時含有自變量和函數(shù)變量.例214求由方程x2+y2=R2所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′x.分析既然方程等號兩邊的變量相等，則它們相對于自變量x的變化率也相等.解方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)數(shù)(x2+y2)′x=(R2)′x,由求導(dǎo)數(shù)公式和法則得（x2)′x+(y2)′x=0,即2x+2y·y′x=0,所以2.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)2.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)例217求函數(shù)y=xsinx(x＞0)的導(dǎo)數(shù).分析此類型既非四則運算又非復(fù)合運算，不能直接求導(dǎo)數(shù)，可考察兩邊取對數(shù)求導(dǎo)法（也稱對數(shù)求導(dǎo)法）.解將等式兩邊取自然對數(shù)，得lny=lnxsinx=sinxlnx,方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)§2.3函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實生活中，變量的變化快慢我們也稱為增長率，如某產(chǎn)品生產(chǎn)總值增長率，人口增長率等；而在生產(chǎn)設(shè)計方面，常常會遇到要使生產(chǎn)成本最低，效率最高等最值問題.這里，我們分析函數(shù)的這些性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.§2.3函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)2.3.1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的圖象是連續(xù)、光滑的曲線，對于區(qū)間(a,b)內(nèi)任意兩點x1和x2，當x1＜x2時，如果f(x1)＜f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，其對應(yīng)的圖形是上升的，曲線的切線也是上升的（個別點除外），切線斜率大于零，如圖24所示，即導(dǎo)數(shù)f′(x)＞0;當x1＜x2時，如果f(x1)＞f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少，其對應(yīng)的圖形是下降的，曲線的切線也是下降的（個別點除外），切線斜率小于零，如圖25所示，即導(dǎo)數(shù)f′(x)＜0.1.函數(shù)單調(diào)性判定法設(shè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，對于開區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意點x,如果f′(x)＞0,則函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間（a,b)內(nèi)單調(diào)增加；如果f′(x)＜0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.2.3.1函數(shù)的單調(diào)性例例2-18確定函數(shù)y=X2的單調(diào)區(qū)間.分析函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間就是使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零(即f′(x)＞0)的自變量x的取值范圍；函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間就是使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零（即f′(x)＜0)的自變量x的取值范圍.解y′=(X2)′=2x.當x＞0時，y′＞0，得函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（0，＋∞);當x＜0時，y′＜0,得函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為(-∞,0).由于函數(shù)在點x=0處連續(xù)，也可將函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間表示為［0,+∞);單調(diào)減少區(qū)間表示為（－∞,0］.可見，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的分界點，就是導(dǎo)數(shù)符號正與負的分界，這種分界有兩種情況：一種是導(dǎo)數(shù)為零的點，即f′(X0)=0,我們把X0稱為該函數(shù)的駐點；另一種是不可導(dǎo)的點.2.3.1函數(shù)的單調(diào)性（1）確定函數(shù)的定義域；（3）分區(qū)間討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）求導(dǎo)數(shù)，并求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間可能的分界點（駐點和不可導(dǎo)點）；LOGO2.確定函數(shù)單調(diào)性的步驟2.3.1函數(shù)的單調(diào)性例

例219討論函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的單調(diào)性.實際應(yīng)用中許多量的變化是波動的，如圖2-6所示，各個局部波峰和波谷對應(yīng)的函數(shù)值如果能與近旁自變量對應(yīng)的函數(shù)值比較大小，我們就把這種函數(shù)值稱為極值.1.極值的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在X0及近旁有定義，對于X0近旁任意異于X0的點x,如果有f(x)＞f(X0),則稱函數(shù)y=f(x)在點X0處取得極小值;如果f(x)＜f(X0),則稱函數(shù)y=f(x)在點X0處取得極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.2.3.2函數(shù)的極值必須注意的是：極值是一個局部概念，從上圖可知，極大值可以小于極小值；函數(shù)可能取得極值的點有兩類，它們是駐點和不可導(dǎo)點.2.函數(shù)極值判別法AB例如，在上述例2-19中，分析了駐點X1=-1和X2=3左右兩側(cè)的單調(diào)性，我們就可以得出結(jié)論：函數(shù)在X1=-1處取得極大值f(-1)=6,在X2=3處取得極小值f(3)=-26.2.函數(shù)極值判別法設(shè)函數(shù)y=f(x)在點X0連續(xù),在X0近旁可導(dǎo)，如果(1)當x＜X0時，f′(x)＞0;當x＞X0時，f′(x)＜0,則函數(shù)y=f(x)在點X0處取得極大值；(2)當x＜X0時，f′(x)＜0;當x＞X0時，f′(x)＞0,則函數(shù)y=f(x)在點X0處取得極小值.顯然，極值點也是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點.極值點的判別和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判定方法相同.2.3.2函數(shù)的極值和極值不同，最值是一個整體概念，它是指自變量在某確定范圍內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)值比較大小，最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,使函數(shù)取得最值的點稱為最值點.2.3.3函數(shù)的最值1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值從上述圖形可以看出，閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的最大值和最小值只有可能在區(qū)間端點和極值點處取得.因此，我們只需要比較區(qū)間端點處與可能極值點處對應(yīng)的函數(shù)值的大小即可，其中，最大的那個值就是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的最大值，最小的那個值就是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的最小值.2.3.3函數(shù)的最值2.3.3函數(shù)的最值2.開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最值2.3.3函數(shù)的最值開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極值點就是駐點，所以，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最值點就在駐點處.在實際應(yīng)用問題中，如果可導(dǎo)圖2-7函數(shù)的最值存在，且函數(shù)在所考慮的區(qū)間內(nèi)只有一個駐點，則該駐點就是函數(shù)的最值點.定義1-3對于數(shù)列an，當項數(shù)n無限增大時，如果對應(yīng)的項an無限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為數(shù)列an的極限，記作limn→＋∞an=A或an→A(n→+∞).數(shù)列是一種整標函數(shù)，顯然，數(shù)列的極限只是函數(shù)的極限當x→+∞時的特例.2.3.3函數(shù)的最值例例2-21橫截面為矩形的梁，它的強度與矩形的長及寬的平方的乘積成正比.現(xiàn)在要把直徑為d的圓柱形木材加工成橫截面為矩形的梁，如圖2-7所示.若要使梁有最大的強度，問矩形的長與寬之比應(yīng)是多少？2.3.3函數(shù)的最值例222設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x噸時，其銷售收入為、（萬元），成本函數(shù)為（萬元），求總利潤達到最大時的產(chǎn)量x.解設(shè)總利潤函數(shù)L(x),則有令L′(x)=0得駐點為x=64,由于最大的利潤一定存在且在(0,+∞)內(nèi)，所以當產(chǎn)量x=64噸時利潤最大，此時最大利潤為L(64)=15(萬元）.2.3.4函數(shù)的凹凸性與拐點

1.函數(shù)曲線的凹凸性判定2.3.4函數(shù)的凹凸性與拐點設(shè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，對于開區(qū)間(a,b）內(nèi)任意點x，如果f″（x）＞0，則函數(shù)曲線在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是凹的；如果f″（x）＜0，則函數(shù)曲線在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是凸的.顯然：對于函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點X0，如果該點左右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)符號不同，則點X0,f(X0)即是函數(shù)曲線的拐點.2.3.4函數(shù)的凹凸性與拐點所以，函數(shù)曲線在區(qū)間（-∞，0）和（1，+∞）內(nèi)是凹的，在區(qū)間（0，1）內(nèi)是凸的，點（0，1）和（1，0）為曲線的拐點.由此我們也得出可導(dǎo)函數(shù)在駐點處是否取得極值的另一種判斷法：若函數(shù)f′(X0)=0，且函數(shù)f(x)在點X0處二階可導(dǎo)，如果f″(X0)＞0，則f(X0)為極小值；如果f″(X0)＜0，則f(X0)為極大值；如果f″(X0)=0，則此法不能確定.例如，在上述例219中，f″(x)=6x-6，在駐點X1=1處，f″(1)=0，此法不能確定；在駐點X2=3處，f″(3)=12＞0，取得極小值.§2.4導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用§2.4導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用2.4.10/0型和∞/∞型未定式羅必達法則：設(shè)函數(shù)f(x)和g(x）滿足下列條件（1）當x→X0時，f(x)→0,g(x)→0(或f(x)→+∞,g(x)→+∞);(2)在點X0近旁(X0除外)f′(x)和g′(x)都存在，并且g′(x)≠0;2.間斷點的分類2.4.10/0型和∞/∞型未定式2.4.10/0型和∞/∞型未定式2.4.10/0型和∞/∞型未定式2.4.20·∞型和∞-∞型未定式對于這兩種類型的未定式，一般情況下，應(yīng)將變量式作同解變形將其轉(zhuǎn)化為商的類型，如果可以轉(zhuǎn)化為00型或∞∞型未定式，則可考慮使用羅必達法則求極限.2.4.20·∞型和∞-∞型未定式對于這幾種類型的未定式，一般將其取自然對數(shù)，使冪指型變量轉(zhuǎn)化為積變量的類型.羅必達法則是求上述類型未定式的有效方法，但也不是萬能的，要注意羅必達法則與其他的求極限方法結(jié)合使用.§2.5微分及其在近似計算中的應(yīng)用2.5.1問題舉例在實際應(yīng)用過程中，往往需要計算當自變量有微小改變時相應(yīng)的函數(shù)增量，但函數(shù)的增量計算比較繁瑣，在更多的情況下，我們只需要求出函數(shù)增量的近似值.2.5.1問題舉例

2.5.2微分的概念1.微分的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x及近旁有定義，當自變量由x變化到x+△x時，如果相應(yīng)函數(shù)的增量△y能表示為△y=A△x+o(△x),其中A與△x無關(guān).則稱函數(shù)y=f(x)在點x處可微，并將△y的線性主部A△x稱為函數(shù)y=f(x)在點x的微分，記作dy,即dy=A△x2.5.2微分的概念必須注意的是：（1）函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算公式可以推導(dǎo)微分運算公式和法則；（2）上述等式也表明函數(shù)的微分與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，可導(dǎo)的點一定可微，可微的點也一定可導(dǎo)；(3)函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)dydx可以看作是函數(shù)的微分與自變量微分的商，所以，導(dǎo)數(shù)也叫微商；（4）對于可導(dǎo)函數(shù)而言，當自變量的增量的絕對值比較小（或△x→0）時，我們可以用函數(shù)的微分dy近似代替函數(shù)的增量△y.2.5.2微分的概念2.5.2微分的概念例2-36設(shè)函數(shù)y=x3,求當x=1，△x=-0.01時函數(shù)的微分和增量.解因為y′=(x3)′=3x2,則dy=y′dx=f′(x)dx,將x=1,△x=-0.01代入上式即得函數(shù)在該點的微分為dy=3×(-0.01)=-0.03而函數(shù)的增量為△y=(1-0.01)3-13=-0.03+0.003=-0.0297可見，當△x比較小時，dy與△y很接近.2.5.2微分的概念2.微分的幾何意義設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象是一條曲線，如圖2-9所示，對于任一自變量X0,在曲線上對應(yīng)點為M(X0,Y0)，圖2-9當自變量變化到X0+△x時，對應(yīng)曲線上的點為N（X0

+△x,Y0+△y),過點M作曲線的切線MT，傾斜角為α,由于tanα=f′(x),則f′(x)△x=dy=PQ因此，微分的幾何意義是函數(shù)曲線的切線上縱坐標的改變量.當△x很小時，我們用函數(shù)的微分近似代替函數(shù)的增量，也就是用切線段MT上縱坐標的增量代替曲線段MN上縱坐標的增量.2.5.3微分公式及運算法則根據(jù)微分定義式dy=f′(x)dx和導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)法則，可以得出以下微分公式和法則.2.5.3微分公式及運算法則1.微分的基本公式2.5.3微分公式及運算法則2.四則運算的微分法則設(shè)u=u(x),v=v(x)都是x的可微函數(shù)，則(1)d(u±v)=du±dv(2)d(uv)=vdu+udv;2.5.3微分公式及運算法則設(shè)y=f［φ(x)］,其中y=f(u),u=φ(x)均可微，則dy=y′xdx=f′(u)φ′(x)dx,由于φ′(x)dx=du,于是，復(fù)合函數(shù)的微分也可以寫成如下形式：dy=f′(u)du它表明，無論變量u是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分都是一樣的形式，即dy=f′(u)du.這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性.在求初等函數(shù)的微分時，我們可以利用微分的定義，先將函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分；也可以利用微分公式和法則直接求微分.3.復(fù)合函數(shù)的微分法則2.5.3微分公式及運算法則2.5.4微分在近似計算中的應(yīng)用

1.函數(shù)增量的近似值2.5.4微分在近似計算中的應(yīng)用對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，當自變量由x變化到x+△x時，如果△x很小，函數(shù)的增量與微分近似相等，即△y=f(x+△x)-f(x)≈dy,于是有f(x+△x)≈f(x)+f′(x)△x這說明，函數(shù)在點x近旁（x+△x)的函數(shù)值f(x+△x)近似等于函數(shù)在點x處的函數(shù)值與函數(shù)在該點處的微分之和.2.函數(shù)的近似值2.5.4微分在近似計算中的應(yīng)用2.5.4微分在近似計算中的應(yīng)用3.常用的近似計算公式2.5.5曲率2.5.5曲率1.弧微分2.5.5曲率1.弧微分2.5.5曲率2.曲率計算公式所以，圓上任一點的曲率等于圓半徑的導(dǎo)數(shù).§2.6導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用2.6.1邊際分析邊際是經(jīng)濟學(xué)中的一個重要概念，通常指經(jīng)濟變量的變化率.邊際分析是利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法，是經(jīng)濟理論中的一個重要分析方法.2.6.1邊際分析某產(chǎn)品的產(chǎn)量為x單位時所需要的總成本為C=C(x),稱C(x)為總成本函數(shù)，也簡稱為成本函數(shù).1.邊際成本經(jīng)濟意義下的邊際成本是指產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總成本，即當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所需增加的成本為C（x+1)-C(x)=△C≈C′(x).2.6.1邊際分析2.邊際收益某產(chǎn)品的銷售量為x時的總收益為R＝R（x)，稱R(x)為總收益函數(shù)，簡稱收益函數(shù)，當銷售量由x變?yōu)閤+△x時，總收益的改變量為△R=R(x+△x)-R(x)經(jīng)濟意義下的邊際收益是指銷售量增加一個單位時所增加的總收益，即當銷售量為x時，再銷售一個單位產(chǎn)品所增加的收益為R(x+1)-R(x)=△R≈R′(x).2.6.1邊際分析某產(chǎn)品的銷售量為x時的總利潤為L=L(x),稱L（x)為總利潤函數(shù)，簡稱利潤函數(shù).顯然有L（x)=R(x)-C(x),當R(x)和C(x)都可導(dǎo)時，稱L′(x)=R′(x)-C′(x)為邊際利潤，在產(chǎn)量和銷售量相等的情況下，經(jīng)濟意義下的邊際利潤表示當產(chǎn)銷量為x時，如果再增加一個單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤.3.邊際利潤2.6.1邊際分析例例2-42設(shè)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品每月的固定成本為1000元，當生產(chǎn)量為x件時的可變成本為C(x)=0.01x2+10x(元).如果產(chǎn)品的單價為30元，求邊際利潤，并分析邊際利潤的實際意義.解：每月成本函數(shù)為C（x)=0.01x2+10x+1000,收益函數(shù)為R(x)=30x,于是每月利潤函數(shù)為L(x)=R(x)-C(x)=20x-0.01x2-1000邊際利潤為L′(x)=20-0.02x=0.02(1000-x)令L′(x)=0得駐點為x=1000,即當月產(chǎn)量為1000件時，邊際利潤為零，表示當產(chǎn)量在1000左右變化時，利潤變化近似為零.當月產(chǎn)量低于1000件時，每增加一件產(chǎn)品，利潤就會增加；當月產(chǎn)量高于1000件時，每增加一件產(chǎn)品，利潤就會降低.2.6.1邊際分析例例2-43某產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(x)=x280+1100(單位：元），問：當產(chǎn)量為100（單位：件）時，從降低成本的角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否恰當？2.6.2經(jīng)營成果分析在經(jīng)濟活動中經(jīng)常會涉及使收益最大、成本最低等問題，這些問題都可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)問題.1.最大利潤在不考慮市場競爭條件下，價格影響供求關(guān)系，廠商的總收益由需求量和價格共同確定，而總收益與總成本二者之間的差就是利潤，合理的定價能使經(jīng)營者獲得最大利潤.2.6.2經(jīng)營成果分析2.6.2經(jīng)營成果分析例例2-45某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C（Q）＝15Q－6Q2＋Q3（萬元).（1）問：當產(chǎn)量為多少時，平均成本最低？（2）求出邊際成本，并驗證當平均成本達到最低時，邊際成本等于平均成本.2.6.3彈性分析彈性是經(jīng)濟學(xué)中另一個重要概念，用來定量描述一個經(jīng)濟變量變化對另一個經(jīng)濟變量的反應(yīng)程度,即相對變化率.例如，甲商品單價為5元，漲價為1元；乙商品單價為200元，漲價為1元，雖然這兩種商品的價格絕對改變量相同,但漲價幅度卻不同，甲漲幅為15＝20％，乙漲幅為1200＝0.5%，甲的漲幅是乙的40倍.2.6.3彈性分析1.函數(shù)的彈性2.6.3彈性分析2.需求價格彈性分析需求彈性εp表示商品的需求量Q對價格p變動的反應(yīng)程度.由于需求函數(shù)一般為價格p的遞減函數(shù)，故需求彈性一般為負值.這表明，當價格上漲（或下跌）1%時，其需求量減少(或增加）約εp%.在經(jīng)濟分析中，商品需求彈性大小比較是指彈性的絕對值εp的大小比較.當我們說某商品的需求彈性大時，是指其絕對值大.（1）當εp＝1（εp=-1)時，稱需求對價格是單位彈性的，此時商品需求量變動的百分比與價格變動的百分比相等；（2）當εp＞1(εp＜-1)時，稱需求對價格是富有彈性的，奢侈品多屬于這種情況；（3）當εp＜1(-1＜εp＜0)時，稱需求對價格是缺乏彈性的，生活必需品多屬于這種情況.2.6.3彈性分析3.需求彈性與企業(yè)定價由此，收益改變量與價格和需求彈性有如下關(guān)系.（1）當εp＝1（單位彈性）時，總收益的改變量△R是價格改變量△p的高階無窮小，提價與降價對總收益沒有明顯影響.（2）當εp＞1（富有彈性）時，降價（△p＜0）可使總收益增加（△R＞0)；提價（△p＞0)可使總收益減少（△R＜0).（3）當εp＜1（缺乏彈性）時，降價（△p＜0)可使總收益減少（△R＜0)；提價（△p＞0)可使總收益增加（△R＞0）.2.6.3彈性分析例例2-46已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q（p)=24-2p,問：（1）當價格p=5時的需求價格彈性，并說明它的經(jīng)濟意義.（2）如何定價才能使收益最大？2.6.3彈性分析例例2-46已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q（p)=24-2p,問：（1）當價格p=5時的需求價格彈性，并說明它的經(jīng)濟意義.（2）如何定價才能使收益最大？（2）由△R≈(1+εp)Q△p可知，當（1＋εp)＜0(εp＜-1)時，△p＜0才能使收益增加；當（1＋εp)＞0(-1＜εp＜0)時，△p＞0才能使收益增加.當定價p由0到12變化時，需求彈性εp＝pp-12為負值且單調(diào)減少,當0＜p＜6時，－1＜εp＜0，此時缺乏彈性，提價將使收益增加；當6＜p＜12時，εp＜-1,此時富有彈性，降價將使收益增加，所以，收益最大的定價應(yīng)是使εp=-1（單位彈性），此時p=6.謝謝觀看第三章

積分及其應(yīng)用極限與連續(xù)積分是微積分學(xué)的另一重要部分，它是微分運算的逆運算，包括不定積分和定積分.定積分是對連續(xù)變化過程總效果的度量.本章將由具體問題引入定積分的概念，并逐步介紹求積分方法，最后將積分法應(yīng)用于實際.目錄§3.1定積分的概念§3.2微積分學(xué)基本公式§3.3不定積分§3.4定積分的換元積分法與分部積分法§3.5定積分的應(yīng)用§3.6常微分方程簡介§3.1定積分的概念實際生活中許多變量的變化是非均勻變化的，如非勻速直線運動在某時間段內(nèi)的位移；變力使物體沿直線方向移動所作的功；非均勻線密度的細棒的質(zhì)量等.所有這些問題都可以歸結(jié)為曲邊梯形的面積問題.§3.1定積分的概念曲邊梯形的面積我們把由一條連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和三條直線x=a,x=b,y=0圍成的圖形叫曲邊梯形.如圖3-1所示.分析其面積.我們以往的知識能夠?qū)σ?guī)則圖形求面積，如果曲邊函數(shù)y=f(x)是常數(shù)，則可以用矩形的面積公式求面積.但y=f(x)≠C,顯然不能直接用以往的公式求曲邊梯形的面積.如果我們將曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，當小曲邊梯形的寬度不大時，曲邊的變化也就不大（連續(xù)函數(shù)），我們就可以將小曲邊梯形的面積用小矩形的面積近似代替，如圖3-2所示.3.1.1問題舉例對于第i個小曲邊梯形而言，面積△Ai≈f(Xi-1）（Xi-Xi-1)≈f(Xi)(Xi-Xi-1)，或者以小區(qū)間內(nèi)部任一點ξi對應(yīng)的函數(shù)值f（ξi）為小矩形的高得出小曲邊梯形面積△Ai≈f(ξi)(Xi-Xi-1).具體步驟如下.（1）分割.在區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個分點，使a=X0＜X2＜X2＜…＜Xn-1＜Xn=b把區(qū)間［a,b］分成n個小區(qū)間［Xi-1,Xi］(i=1,2,…,n),小區(qū)間的長度為△Xi=Xi-Xi-1.則大曲邊梯形被分割成n個小曲邊梯形.（2）取近似.在區(qū)間［Xi-1,Xi］上任取一點ξi∈［Xi-1,Xi］,當每個小區(qū)間的長度很小時，小曲邊梯形的面積△Ai可以用小矩形的面積近似代替，即△Ai≈f(ξi)△Xi.3.1.1問題舉例對于第i個小曲邊梯形而言，面積△Ai≈f(Xi-1）（Xi-Xi-1)≈f(Xi)(Xi-Xi-1)，或者以小區(qū)間內(nèi)部任一點ξi對應(yīng)的函數(shù)值f（ξi）為小矩形的高得出小曲邊梯形面積△Ai≈f(ξi)(Xi-Xi-1).具體步驟如下.（1）分割.在區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個分點，使a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b把區(qū)間［a,b］分成n個小區(qū)間［Xi-1,Xi］(i=1,2,…,n),小區(qū)間的長度為△xi=xi-xi-1.則大曲邊梯形被分割成n個小曲邊梯形.（2）取近似.在區(qū)間［xi-1,xi］上任取一點ξi∈［xi-1,xi］,當每個小區(qū)間的長度很小時，小曲邊梯形的面積△Ai可以用小矩形的面積近似代替，即△Ai≈f(ξi)△Xi.3.1.1問題舉例(3)求和.將所有的小曲邊梯形面積相加，就得出大曲邊梯形面積（近似值），即(4)取極限.小區(qū)間的寬度越小，近似程度就越高，當分割無限細密，每一個小區(qū)間的寬度都是無窮小量時，近似代替產(chǎn)生的誤差也是無窮小量.為了保證每一小區(qū)間的寬度都是無窮小量，取最大的一個小區(qū)間的長度為λ=max{△xi}(i=1,2,…,n),于是，當λ0時，

3.1.1問題舉例因此,曲邊梯形的面積可表示為一種特定的和式的極限，我們由此抽象出定積分的概念.1.定積分的定義3.1.2定積分的概念其中，∫稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，［a,b］稱為積分區(qū)間.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有界，用分點a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b將區(qū)間［a,b］分成n個小區(qū)間［xi-1,xi］(i=1,2,…,n),每個區(qū)間長度為△xi=xi-xi-1,其中λ=max{△xi},在每一個小區(qū)間［xi-1,xi］上任取一點ξi∈［xi-1,xi］必須注意的是：定積分的值與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號無關(guān)，與區(qū)間的分割方法及ξi的取法無關(guān).例如3.1.2定積分的概念2.幾何意義3.1.2定積分的概念2.幾何意義3.1.2定積分的概念3.1.3定積分的運算性質(zhì)3.1.3定積分的運算性質(zhì)對于性質(zhì)34，我們分析f(x)≥0，g(x)≥0的情況，其幾何理解如圖37所示，表示陰影部分的面積，總不大于以y=g（x）為曲邊的曲邊梯形的面積.其他情況可得同樣的結(jié)論.§3.2微積分學(xué)基本公式定積分定義為一種和式的極限，如果用定義直接求定積分，運算將會相當復(fù)雜，對于比較復(fù)雜的被積函數(shù)，如果用定義直接求定積分幾乎是不可能的.下面我們尋求定積分的計算方法.§3.2微積分學(xué)基本公式§3.2微積分學(xué)基本公式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，我們知道s′(t)=v（t）.即被積函數(shù)v(t)在區(qū)間［t1,t2］上的定積分等于它的一個原函數(shù)在區(qū)間［t1,t2］上的改變量.下面我們分析其普遍性.根據(jù)上一節(jié)分析我們知道，變速直線運動v(t)在時間段［t1,t2］內(nèi)的位移可以用積分來表示；另一方面，時間段［t1,t2］內(nèi)的位移也可以用位移的增量s(t2)-s(t1)來表示，即3.2.1積分上限函數(shù)定理3-1如果函數(shù)f(t)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)可導(dǎo)，且3.2.1積分上限函數(shù)3.2.1積分上限函數(shù)3.2.1積分上限函數(shù)根據(jù)上述定理，積分上限函數(shù)是被積函數(shù)的一個原函數(shù)，即,如果將變上限取定值x=b，即得微積分學(xué)基本公式：3.2.2微積分學(xué)基本公式此公式也稱為牛頓萊布尼茲公式.它