數(shù)學(xué)建模案例與方法PPT完整全套教學(xué)課件

數(shù)學(xué)建模案例與方法數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模方法示例線性代數(shù)模型微分方程建模插值法與擬合方法綜合評價方法概率模型統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析方法數(shù)學(xué)建模論文寫作全套可編輯PPT課件數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模競賽第1

章數(shù)學(xué)建模1.1大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽1.2目錄CONTENTS1.1數(shù)學(xué)建模在大學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模既是一種用于培養(yǎng)大學(xué)生利用現(xiàn)有知識解決數(shù)學(xué)實際問題的手段，也是一個解決實際問題的重要策略。通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數(shù)學(xué)模型的全過程即為數(shù)學(xué)建模。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽既是全國高校中規(guī)模較大的課外科技活動之一，也是世界上建模競賽規(guī)模最大的。數(shù)學(xué)建模大賽可以培養(yǎng)大學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的意識和能力，同時也可以培養(yǎng)大學(xué)生的團結(jié)合作精神。1.1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)知識

1.1.1原型和模型的概念1.原型（prototype）和模型（model）是一對對偶體。1.1數(shù)學(xué)建模1）建筑基線的布設(shè)形式原型是指人們在現(xiàn)實世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。在科技領(lǐng)域里，原型通常使用系統(tǒng)（system）、過程（process）等詞匯，如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、生命系統(tǒng)、社會經(jīng)濟系統(tǒng)，又如鋼鐵冶煉過程、導(dǎo)彈飛行過程、化學(xué)反應(yīng)過程、污染擴散過程、生產(chǎn)銷售過程、計劃決策過程等，本書所述的現(xiàn)實對象、研究對象和實際問題等均指原型。1.1數(shù)學(xué)建模2）模型模型是指為某個特定目的將原型的某一部分信息減縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。模型是把對象實體通過適當(dāng)?shù)倪^濾，用適當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪成簡潔的模仿品。通過這個模仿品，人們可以了解所研究實體的本質(zhì)，而且在形式上便于對實體進行分析和處理。1.1數(shù)學(xué)建模模型一般是人們十分熟悉的事物，如玩具、照片及展覽會里的電站模型、火箭模型等實物模型；地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖等經(jīng)過一定抽象的符號模型；大型水箱中的艦艇模型、風(fēng)洞中的飛機模型等物理模型。每一個從客觀世界中抽象出來的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)分支，都是客觀世界中某種具體事物的數(shù)學(xué)模型。例如，自然數(shù)1就是具體的1只羊、1頭牛等的數(shù)學(xué)模型，而直線就是光線、木棍等的數(shù)學(xué)模型。1.1數(shù)學(xué)建模需要注意的是，一般人們構(gòu)造模型是有一定的目的性的。模型不是原型原封不動的復(fù)制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的那些方面和層次的特征。一個原型因為不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的，如展廳里的飛機模型（外形上逼真，但是不一定會飛）、航模競賽的模型飛機（具有良好的飛行性能，在外觀上不必苛求）。在設(shè)計、試制飛機的過程中，設(shè)計、試制人員會用大的數(shù)學(xué)模型和計算機進行模擬（要求在數(shù)量規(guī)律上真實反映飛機的飛行動態(tài)特征，絕不涉及飛機的實體）。1.1數(shù)學(xué)建模模型的分類2.用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質(zhì)模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直觀模型和物理模型，后者包括思維模型、符號模型和數(shù)學(xué)模型。1.1數(shù)學(xué)建模1）物質(zhì)模型（1）直觀模型。直觀模型是指那些供展覽用的實物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真，這類模型的效果是一目了然的。（2）物理模型。物理模型是指科技工作者為了達到一定的目的，根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來進行模擬試驗，間接地研究原型的某些規(guī)律，如風(fēng)洞中的飛機模型用來試驗飛機在氣流中的空氣動力學(xué)特性。使用這類模型時，應(yīng)該注意驗證原型與模型間的相似關(guān)系，以確定模擬試驗結(jié)果的可靠性。物理模型的優(yōu)點是可以得到具有實用價值的結(jié)果，但存在著成本高、時間長、不靈活等缺點。1.1數(shù)學(xué)建模2）理想模型（1）思維模型。思維模型是指通過人們對原型的反復(fù)認識，將獲取的知識以經(jīng)驗的形式直接存于大腦中，從而可以根據(jù)思維或直覺做出相應(yīng)的決策。通常所說的某些領(lǐng)導(dǎo)者憑經(jīng)驗做決策就是如此。思維模型易于被人們接受，通過它也可以在一定條件下獲得滿意的結(jié)果，但它往往具有模糊性、片面性、主觀性和偶然性等缺點，難以對它的假設(shè)條件進行檢驗，并且不便于人們之間的相互溝通。1.1數(shù)學(xué)建模（2）符號模型。符號模型是指在一定約束條件或假設(shè)下借助于專門的符號、線條等，按一定形式組合起來描繪原型，如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)式等。符號模型具有簡明、方便、目的性強及非量化等特點。（3）數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號組成的，用于描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。1.1數(shù)學(xué)建模

（航行問題）甲、乙兩地相距750km，船從甲地到乙地順水航行需30h，從乙地到甲地逆水航行需50h，問船速、水速各為多少？解若用x，y分別代表船速和水速，則可以得到以下方程組：

30（x+y）=75050(x-y)=750實際上，這組方程就是上述航行問題的數(shù)學(xué)模型。列出方程組后，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問題。方程的解x=20km/h和y=5km/h最終給出了航行問題的答案?！纠?-1】1.1數(shù)學(xué)建模從例1-1中，我們可以看出建立數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容，具體有如下幾點：①根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和問題的背景做出必要的簡化假設(shè)（例1-1中，假設(shè)航行中的船速和水速為常數(shù)）。②用字母表示待求的未知量（例1-1中，x，y分別代表船速和水速）。③利用相應(yīng)的物理或其他規(guī)律（例1-1中，勻速運動的距離等于速度乘時間）列出數(shù)學(xué)式子（例1-1中，列出的二元一次方程）。④求出數(shù)學(xué)上的解答（例1-1中，x=20，y=5）。⑤利用解答解釋原問題（例1-1中，船速和水速分別為20km/h和5km/h）。⑥利用實際現(xiàn)象來驗證上述結(jié)果。1.1數(shù)學(xué)建模綜上所述，可以將數(shù)學(xué)模型描述為：對于現(xiàn)實世界中的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律做出一些必需的簡化假設(shè)，運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。本課程重點不在于介紹現(xiàn)實對象的數(shù)學(xué)模型是什么樣子，而是要討論建立數(shù)學(xué)模型的全過程。建立數(shù)學(xué)模型簡稱為數(shù)學(xué)建?；蚪?。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化來建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。1.1數(shù)學(xué)建模當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。首先要通過調(diào)查和收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征及內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立反映實際問題的數(shù)量關(guān)系；然后利用數(shù)學(xué)的理論、方法去分析和解決問題。這就需要建立數(shù)學(xué)模型者具有深厚扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、敏銳的洞察力和豐富的想象力，對解決實際問題具有濃厚的興趣，同時要有廣博的知識面。1.1數(shù)學(xué)建模為了滿足科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次的科技人才，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)在大學(xué)教育中被逐步開展起來，國內(nèi)外越來越多的大學(xué)已經(jīng)開始了數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和參加開放性的數(shù)學(xué)建模競賽，將數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和競賽作為高等院校的教學(xué)改革及培養(yǎng)高層次科技人才的重要方面。目前，我國的許多院校正在將數(shù)學(xué)建模與教學(xué)改革結(jié)合起來，努力探索更有效的數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法。1.1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的一般步驟

1.1.2下面先來看一個例子，通過這個例子來了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟。1.1數(shù)學(xué)建模（崖高的估算）假如你站在崖頂，身上只帶了一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估算山崖的高度，假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢？解方法一：假定空氣阻力不計，則可以直接利用自由落體運動的公式來計算山崖的高度。例如，設(shè)t=4s，g=9.81m/s2，則可求得h≈78.5m?！纠?-2】1.1數(shù)學(xué)建模方法二：除地球引力外，對石頭下落影響最大的便是空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)的知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石頭下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得

（1-1）式（1-1）中的K與手中的石頭的形狀有關(guān)，而石頭的下落時間與所撿石頭的形狀無關(guān)（除非所撿的石頭的形狀太過特殊）。在式（1-1）的符號兩邊同時除以石頭的質(zhì)量m，并令k=K/m，則有

（1-2）1.1數(shù)學(xué)建模1.1數(shù)學(xué)建模查資料確定空氣的阻力系數(shù)，若設(shè)k=0.05，并仍設(shè)t=4s，則可求得h≈73.6m。由于考慮了空氣阻力，這一結(jié)果應(yīng)當(dāng)比方法一得到的結(jié)果更接近實際高度。細心的讀者一定會發(fā)現(xiàn)，還有一些問題需要考慮。1.1數(shù)學(xué)建模1.1數(shù)學(xué)建模問題2聽到回聲后再按計算器，計算得到的時間中將包含反應(yīng)時間。反應(yīng)時間雖然不長，但石頭落地時的速度已變得較大，所以對計算結(jié)果的影響仍然較大。如何解決這一問題呢？由于無法知道某次具體測量時的反應(yīng)時間究竟有多長，因此只好用平均反應(yīng)時間來代替反應(yīng)時間。例如，t=4s，反應(yīng)時間為0.1s，扣除反應(yīng)時間后的時間為3.9s，代入式（1-6），求得h≈69.9m。1.1數(shù)學(xué)建模問題3石頭下落的時間并不是3.9s，因為3.9s里還包括了聲音傳回來所需要的時間（回聲時間）。為此，令石頭下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間為t2，還必須解一個方程組，即

雖然已假定聲音速度為340m/s，但由于這一方程組是非線性的，因而求解起來不太容易。。例如，若h=69.9m，則t2≈0.21s，故t1≈3.69s，求得h≈62.3m，顯然，最后的結(jié)果應(yīng)當(dāng)最接近山崖的實際高度。1.1數(shù)學(xué)建模從上面的例子可以看出，建立數(shù)學(xué)模型的過程大致可分為以下幾個步驟：（1）了解問題的實際背景，明確建模目的，收集并掌握必要的數(shù)據(jù)資料。這一步驟可以看成為建立數(shù)學(xué)模型而做的前期準備工作。因為如果對實際問題沒有較為深入的了解，就無從下手建模；而對實際問題的了解，有時還需要建模者對實際問題做一番深入細致的調(diào)查研究。1.1數(shù)學(xué)建模（2）在明確建模目的、掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉和簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。本步驟是建模的關(guān)鍵所在，因為其后的所有工作和結(jié)果都是建立在這些假設(shè)的基礎(chǔ)之上的，也就是說，科學(xué)研究揭示的并非絕對真理，它揭示的是：假定提出的假設(shè)是正確的，人們可以推導(dǎo)出一些什么樣的結(jié)果。1.1數(shù)學(xué)建模（3）在所做假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻畫各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即建立數(shù)學(xué)模型。采用什么類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)工具要根據(jù)實際問題的特征來確定，并無固定的模式。對同一個實際問題，可采用不同的數(shù)學(xué)方法建立不同的數(shù)學(xué)模型。一般來講，在能夠達到預(yù)期目的的前提下，所用的數(shù)學(xué)工具越簡單越好。（4）模型求解。為了得到結(jié)果，建模者還應(yīng)對模型進行求解，根據(jù)模型的不同特點，求解可能包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等不同的方面，當(dāng)難以得出解析解時，還應(yīng)借助計算機來求出數(shù)值解。1.1數(shù)學(xué)建模（5）模型的分析與檢驗。假設(shè)是否正確或者是否基本可靠，建模者還應(yīng)用求解得到的結(jié)果進行檢驗。建立數(shù)學(xué)模型的目的是認識世界、改造世界，建模的結(jié)果應(yīng)當(dāng)能解釋已知現(xiàn)象，預(yù)測未來的結(jié)果，提供處理研究對象的最優(yōu)決策或控制方案。實踐是檢驗真理的唯一標準，只有經(jīng)得起實踐檢驗的結(jié)果才能被人們廣泛接受。由此可見，模型求解并非建模的最終目的，只有在證明了建模結(jié)果能經(jīng)得起實踐檢驗時，建模者才能認為完成了自己預(yù)定的研究任務(wù)。1.1數(shù)學(xué)建模如果檢驗結(jié)果與事實不符，只要不是在求解中存在推導(dǎo)或計算上的錯誤，那就應(yīng)該檢查和分析在假設(shè)中是否有不合理或不夠精確之處，發(fā)現(xiàn)后應(yīng)修改假設(shè)重新進行建模，直到結(jié)果令人滿意為止。綜上所述，數(shù)學(xué)建模的過程大致可以概括為圖1-1所示的流程。圖1-1數(shù)學(xué)建模的過程1.1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的意義

1.1.3作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。兩千多年以前創(chuàng)立的歐幾里得幾何、17世紀發(fā)現(xiàn)的牛頓萬有引力定律，都是科學(xué)發(fā)展史上數(shù)學(xué)建模的成功范例。隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及電子計算機的出現(xiàn)和廣泛普及，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視。我們可以從以下幾方面來看數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實世界中的重要意義：1.1數(shù)學(xué)建模（1）在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地。在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機械、電機、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然它們的基本模型是已有的，但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn)，出現(xiàn)了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計算機的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的問題（如大型水壩的應(yīng)力計算、中長期天氣預(yù)報等）迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計算機模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟、方便等優(yōu)勢大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計中的現(xiàn)場實驗、物理模擬等手段。1.1數(shù)學(xué)建模（2）在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具。無論是發(fā)展通信、航天、微電子、自動化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計算機技術(shù)支持下的建模和模擬都是被經(jīng)常使用的有效手段。數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算和計算機圖形學(xué)等相結(jié)合形成的計算機軟件已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認為是高新技術(shù)的特征之一。在這個意義上，數(shù)學(xué)不再僅僅作為一門科學(xué)，而是許多技術(shù)的基礎(chǔ)，直接走向了技術(shù)的前臺。國際上一位學(xué)者提出了“高科技在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的觀點。1.1數(shù)學(xué)建模（3）數(shù)學(xué)迅速進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地。隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、地質(zhì)等非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科（如計量經(jīng)濟學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等）應(yīng)運而生。一般來說，不存在作為支配關(guān)系的物理定律，當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時，數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學(xué)科發(fā)展與應(yīng)用的基礎(chǔ)。在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的空間。馬克思曾說過，一門科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達到了完善的地步。未來，數(shù)學(xué)必將大踏步地進入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期。1.1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

1.1.4今天，在國民經(jīng)濟和社會活動的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用：1.1數(shù)學(xué)建模分析與設(shè)計1.例如，描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速空氣流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計新的飛機翼型。1.1數(shù)學(xué)建模預(yù)報與決策2.生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標的預(yù)報、氣象預(yù)報、人口預(yù)報、經(jīng)濟增長預(yù)報等，都要有預(yù)報模型。使經(jīng)濟效益最大的價格策略、使費用最少的設(shè)備維修方案，都是決策模型的例子。1.1數(shù)學(xué)建?？刂婆c優(yōu)化3.電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制，以及零件設(shè)計中的參數(shù)優(yōu)化，都要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。1.1數(shù)學(xué)建模規(guī)劃與管理4.

生產(chǎn)計劃、資源配置、運輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊策略、物資管理，等等，都可以用運籌學(xué)模型來解決。1.1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型的分類

1.1.5基于不同角度或不同目的，數(shù)學(xué)模型可以有多種不同的分類。1.1數(shù)學(xué)建模根據(jù)人們對實際問題了解的深入程度分類1.根據(jù)人們對實際問題了解的深入程度的不同，可以將數(shù)學(xué)模型分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。假如我們把所要研究的問題比喻成一只箱子里的機關(guān)，通過輸入數(shù)據(jù)（信息）、建立數(shù)學(xué)模型（比喻成箱子）來獲取我們原先并不清楚的結(jié)果，如圖1-2所示。圖1-2數(shù)學(xué)模型示意1.1數(shù)學(xué)建模如果問題的機理比較清楚，內(nèi)在的關(guān)系較為簡單，這樣的模型就被稱為白箱模型。如果問題的機理極為復(fù)雜，人們對它的了解極其淺薄，幾乎無法進行精確的定量分析，這樣的模型就被稱為黑箱模型；而介于兩者之間的模型，則被稱為灰箱模型。當(dāng)然，這種分類方法是較為模糊的，是相對而言的；況且，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，今天的黑箱模型明天也許會成為灰箱模型，而今天的灰箱模型不久之后也可能成為白箱模型。1.1數(shù)學(xué)建模根據(jù)模型中變量的特征分類2.根據(jù)模型中變量的特征的不同，可以將數(shù)學(xué)模型分為連續(xù)型模型、離散型模型或確定型模型、隨機型模型等。1.1數(shù)學(xué)建模根據(jù)建模中所用到的數(shù)學(xué)方法分3.根據(jù)建模中所用到的數(shù)學(xué)方法的不同，可以將數(shù)學(xué)模型分為初等模型、微分方程模型、差分方程模型和優(yōu)化模型等。本書希望通過實例剖析來反映各種數(shù)學(xué)方法在建模中的應(yīng)用，故本書各章主要采用的是這種分類方法。此外，對于一些人們較為重視或?qū)θ祟惢顒佑绊戄^大的實際問題的數(shù)學(xué)模型，常常也可以按研究課題的實際范疇來分類，如人口模型、生態(tài)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、社會模型和軍事模型等。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的發(fā)展歷史

1.2.11985年，在美國出現(xiàn)了一種名為“數(shù)學(xué)建模競賽”（mathematicalcompetitionin

modeling，1988年改其全稱為mathematicalcontestinmodeling，MCM）的活動。這并不是偶然的。在1985年以前，美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽——普特南數(shù)學(xué)競賽（Thewilliamlowell

putnam

mathematialcompetition，簡稱Putman），該數(shù)學(xué)競賽由美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MathematicalAssociationofAmerica，MAA）主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進行，每年一次。數(shù)學(xué)建模競賽自創(chuàng)立以來在國際上產(chǎn)生了很大的影響，現(xiàn)已成為一項國際性的大學(xué)生的著名賽事。該競賽于每年2月或3月舉行。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽我國自1989年參加這一競賽以來，歷屆均取得優(yōu)異成績。經(jīng)過數(shù)年參加美國賽表明，中國大學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面是有競爭力和創(chuàng)新能力的。1990年12月，上海市舉辦了“上海市大學(xué)生（數(shù)學(xué)類）數(shù)學(xué)模型競賽”，這是我國省、市級首次舉辦的數(shù)學(xué)建模競賽。1992年4月，西安市舉辦了“西安市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽”。1994年起，由國家教委（現(xiàn)國家教育部）高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦這一競賽，以后每年秋季舉辦一次。該競賽開始只有本科組（A，B題），自1999年開始又增加了專科組（C，D題）。這項競賽是國家教育行政部門認可的大學(xué)生四項（另外三項是電子設(shè)計、機械設(shè)計和結(jié)構(gòu)設(shè)計）學(xué)科競賽之一。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，面向?qū)ο鬄槿珖叩仍盒５膶W(xué)生，不分專業(yè)［但競賽分本科、?？苾山M：本科組競賽，所有的大學(xué)生均可參加；專科組競賽，只有專科生（包括高職、高專學(xué)生）可以參加］。目前，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。2015年，來自全國33個省、市、自治區(qū)（包括香港和澳門特區(qū)）及新加坡和美國的1326所院校、28665個隊（其中，本科組25646隊、專科組3019隊）、近86000名大學(xué)生報名參加本項競賽。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽與通常的數(shù)學(xué)競賽不同，它的競賽題目均來自實際問題或有明確的實際背景。它的宗旨是培養(yǎng)大學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的意識和能力，整個賽事是完成一篇包括問題的闡述分析、模型的假設(shè)和建立、計算的結(jié)果及其討論的論文。通過訓(xùn)練和比賽，同學(xué)們不僅用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的意識和能力會有很大的提高，而且在團結(jié)合作發(fā)揮集體力量攻關(guān)，以及撰寫科技論文等方面也會得到十分有益的鍛煉。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的意義

1.2.2與我國高校的其他數(shù)學(xué)類課程相比，數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活、對教師和學(xué)生要求高等特點。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程的指導(dǎo)思想是：以實驗室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標來組織教學(xué)工作增強他們盡量利用計算機軟件及當(dāng)代高新科技成果的意識，能將數(shù)學(xué)、計算機有機地結(jié)合起來，以解決實際問題。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計好的問題進行啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動查閱文獻資料和學(xué)習(xí)新知識，鼓勵學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、努力進取的學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神，形成一個良好的環(huán)境和氣氛。教學(xué)過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境來誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力。提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，強調(diào)的是其獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是獲得的知識和結(jié)果。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程和參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的意義有以下幾點：1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（1）培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。（2）訓(xùn)練快速獲取信息和資料的能力。（3）鍛煉快速了解和掌握新知識的技能。（4）培養(yǎng)團隊合作意識和團隊合作精神。（5）增強寫作技能和排版技術(shù)。（6）訓(xùn)練人的邏輯思維和開放性思考方式。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的原因

1.2.3為什么要參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽？如果只能用一句話來回答，那就是：因為大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和競爭能力的極好的、具體的載體。下面分別從學(xué)校、教師和學(xué)生的角度來談?wù)劄槭裁匆獏⒓哟髮W(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽從學(xué)校的角度1.從學(xué)校的角度來看，全心全意地把學(xué)校搞好（高質(zhì)量的教學(xué)、高百分比的就業(yè)率、高水平的教師隊伍及提高知名度等）是學(xué)校追求的辦學(xué)目標。為此，學(xué)校需要考慮以下幾個問題：（1）對數(shù)學(xué)的重要性要有充分的認識。學(xué)生將來的發(fā)展和成就是與他們堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)密切相關(guān)的，但是現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)確實有許多不足之處有待改善，特別是如何做到不僅教知識，而且使所教知識能用來解決實際問題有待加強。因此，讓部分師生參與到數(shù)學(xué)建模的活動中，特別是大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中，將有利于推動教學(xué)改革。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（2）提高教師的教學(xué)水平。鼓勵教師組織學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等數(shù)學(xué)建模活動，既可以幫助教師進一步了解用數(shù)學(xué)來解決實際問題的途徑，又可以幫助數(shù)學(xué)教師了解其他專業(yè)要用到什么樣的數(shù)學(xué)知識及怎樣用這些數(shù)學(xué)知識，從而對怎樣提高自己的教學(xué)水平，怎樣使數(shù)學(xué)教學(xué)更好地為其他專業(yè)課，甚至專業(yè)課題的研究服務(wù)提出具體的想法和切實可行的措施，最終達到提高教師的專業(yè)水平和教學(xué)水平，提高學(xué)校整體教學(xué)水平的目的。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（3）組織和培訓(xùn)好參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)生?，F(xiàn)在各個高校（包括高職高專院校）越來越重視大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，無論哪個層次的院校都會有一批對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣濃厚、基礎(chǔ)知識扎實、應(yīng)用能力靈活的學(xué)生。通過培育培訓(xùn)，引導(dǎo)這些學(xué)生參與到大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中，就顯得尤為重要。這些學(xué)生的加入有助于提升大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的質(zhì)量，對大學(xué)生今后的工作與生活將產(chǎn)生深遠的影響；同時對提高各高校的辦學(xué)質(zhì)量、創(chuàng)新教學(xué)方式、培養(yǎng)具有創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)意識的應(yīng)用型人才有著極其深遠的意義。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽從教師的角度2.（1）要求教師進一步學(xué)習(xí)并刻苦鉆研數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法，思考怎樣在賽前幫助學(xué)生，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，在賽后和學(xué)生一起總結(jié)提高。這有助于提高教師的教學(xué)水平和專業(yè)水平。（2）教師對教學(xué)改革應(yīng)有具體的想法，以使自己的教學(xué)風(fēng)格和教學(xué)內(nèi)容更受學(xué)生的歡迎。（3）因為深入了解，甚至親身實踐和體驗了怎樣用數(shù)學(xué)去解決實際問題，就為和其他專業(yè)的教師進行交流切磋，甚至合作打下了很好的基礎(chǔ)，有可能大大提高教師自身的應(yīng)用數(shù)學(xué)科研水平。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽從學(xué)生的角度3.從學(xué)生的角度來看，參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽能幫助他們增強創(chuàng)新能力和競爭能力，培養(yǎng)其優(yōu)秀的品質(zhì)，從某種意義上說，可以使學(xué)生提前了解今后走向工作崗位時所需要的能力和品質(zhì)。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的流程

1.2.4賽前培訓(xùn)1.接受數(shù)學(xué)建模競賽賽前培訓(xùn)的學(xué)生大都需要學(xué)習(xí)諸如數(shù)理統(tǒng)計、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計算方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、層次分析法、模糊數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)軟件包的使用等“短課程”（或講座），用的學(xué)時不多，多數(shù)是啟發(fā)性地講一些基本的概念和方法，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，充分發(fā)揮學(xué)生的潛能。培訓(xùn)廣泛采用討論班的形式，學(xué)生自己報告、討論和辯論，教師主要起質(zhì)疑、答疑和輔導(dǎo)的作用。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽一般情況下，賽前培訓(xùn)可分為以下三個階段：（1）細水長流和集中培訓(xùn)結(jié)相合。最好是在大學(xué)二年級一開始就有一個課外活動小組或選修課，時間可以是周末的一個半天。（2）競賽培訓(xùn)內(nèi)容可以是教師啟發(fā)式地講授微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計初步及數(shù)學(xué)軟件等方面的擴充知識。該培訓(xùn)主要是要提高學(xué)生的自學(xué)能力，更重要的是用討論班的形式讓學(xué)生具體了解競賽要完成什么任務(wù)。在討論班中，教師既要盡可能地起到啟發(fā)和答疑的主導(dǎo)作用，又要用心觀察學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題。（3）舉辦2~3次模擬考試，使學(xué)生適應(yīng)實戰(zhàn)情形。這個階段的主要目的是提高學(xué)生自身的表達能力和論文寫作水平。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽三天的競賽2.這三天的競賽既能體現(xiàn)學(xué)生培訓(xùn)的成果，又能充分展現(xiàn)學(xué)生的應(yīng)變能力。在競賽過程中，主要應(yīng)該做好以下事情：（1）要有充分的時間審題，展開充分的討論，寫下曾經(jīng)討論過的所有假設(shè)的做法，作為模型需要修改時的參考。（2）首先應(yīng)針對題目的要求進行數(shù)學(xué)建模，回答題目中的問題；再做進一步的發(fā)揮。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（3）開始就要有一位隊員負責(zé)寫論文的初稿，特別要寫好摘要。寫摘要時，語句要通順，要實事求是，引用別人的成果時一定要說明，并在參考文獻中注明。要有精益求精的精神，反復(fù)仔細閱讀、檢查和修改論文。（4）因為在三天內(nèi)不可能把三個人的想法都實現(xiàn)，在交卷前記下自己曾經(jīng)有過的(不一定來得及做的)設(shè)想、解法及查到的參考文獻，以備賽后繼續(xù)階段使用。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽后繼續(xù)階段3.競賽結(jié)束并不意味著對參賽學(xué)生挑戰(zhàn)的終結(jié)，從某種意義上說，是真正收獲的開始。（1）絕大多數(shù)的同學(xué)在參賽的三天里可能有很多想法，但由于時間限制而無法一一嘗試，因而也不知道這些想法是否可行。另外，對于已經(jīng)得到的成果是否存在缺陷，也需要進行推敲、研究和總結(jié)。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（2）對于指導(dǎo)教師或其他青年教師來說，對競賽題目的深入研究往往提供了很好的科研課題。事實也確實如此，只要看一下教師或?qū)W生在相關(guān)期刊(包括國外的期刊，如Journalofmathematicalandcomputermodeling)上發(fā)表的與競賽題目有關(guān)的論文就可以知道。通過對競賽題目的深入研究，不僅可以提高教師或?qū)W生的學(xué)術(shù)水平，增強其研究能力，而且可以提高教師的教學(xué)水平。此外，這些研究成果還會產(chǎn)生很好的社會效益和經(jīng)濟效益。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的賽題題型

1.2.5賽題題型由以下三部分組成：1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽實際問題背景1.（1）涉及面寬，有社會、經(jīng)濟、管理、生活、環(huán)境、自然現(xiàn)象、工程技術(shù)、現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題。（2）一般都有一個比較確切的現(xiàn)實問題。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽若干假設(shè)條件2.假設(shè)條件有以下幾個：（1）只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)，無具體定量數(shù)據(jù)。（2）給出若干實測或統(tǒng)計數(shù)據(jù)。（3）給出若干參數(shù)或圖形。（4）蘊含著某些機動、可發(fā)揮的補充假設(shè)條件，或者參賽者可以通過自己的收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。1.2大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽要求回答的問題3.要求回答的問題往往有幾個，答案一般不是唯一的。（1）比較確定性的答案（基本答案）。（2）更細致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。感謝聆聽批評指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模案例與方法數(shù)學(xué)建模方法示例第2

章目錄CONTENTS椅子能否在不平的地面放穩(wěn)2.1賽艇比賽的成績2.2森林救火2.3車間空氣清潔問題2.4雙層玻璃的功效2.5銀行借貸2.6數(shù)學(xué)建模方法示例對于一些較為簡單的問題，只需要應(yīng)用初等數(shù)學(xué)或簡單的微積分知識即可建模加以研究；而對于一些過于復(fù)雜的黑箱模型，即使目前還沒有可能做深入細致的研究，但應(yīng)用初等方法對它先做一些粗略的分析研究也是十分有意義的。本章將結(jié)合實例介紹一些對問題做粗略分析研究時的技巧和方法。2.1椅子能否在不平的地面放穩(wěn)問題提出

2.1.1當(dāng)把一張椅子放在不平的地面上時，通常只有三只腳著地；然而只需稍微轉(zhuǎn)動一定的角度，就可以使四只腳同時著地，即放穩(wěn)了。怎樣用數(shù)學(xué)模型來描述和證明這個實際問題呢？2.1椅子能否在不平的地面放穩(wěn)模型假設(shè)

2.1.2為了能用數(shù)學(xué)語言進行描述，需要對椅子和地面做一些必要的假設(shè)。假設(shè)1對椅子的假設(shè)。椅子的四條腿一樣長，將椅腳與地面的接觸處視為一個點，則四只腳的連線呈正方形。假設(shè)2對地面的假設(shè)。地面的高度是連續(xù)變化的，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。假設(shè)3對椅子和地面關(guān)系的假設(shè)。地面是較為平坦的，使得椅子在任何時候都有三只腳同時著地。2.1椅子能否在不平的地面放穩(wěn)模型建立

2.1.3引入函數(shù)1.如圖2-1所示，以正方形ABCD的中心O為原點建立坐標系，用θ表示椅子轉(zhuǎn)動的角度，從而確定椅子的位置。椅腳著地，即椅腳與地面的距離為零，這就是椅子與地面的數(shù)量關(guān)系。而只用2個函數(shù)［設(shè)f(θ)表示椅腳A和C到地面的距離之和，設(shè)g(θ)表示椅腳B和D到地面的距離之和］即可。圖2-1建立模型2.1椅子能否在不平的地面放穩(wěn)函數(shù)的性質(zhì)2.（1）由假設(shè)2可知，函數(shù)f(θ)與g(θ)是θ的非負連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π。（2）由假設(shè)3可知，對任意θ∈［0，2π］，f(θ)g(θ)=0，不妨設(shè)f(θ)>0，g(θ)=0。（3）當(dāng)把椅子轉(zhuǎn)動π2時，AC與BD互換了位置，由假設(shè)1可知2.1椅子能否在不平的地面放穩(wěn)把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題3.椅子的四只椅腳同時著地等價于存在一點θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。因此，原問題等價于以下命題：命題

已知函數(shù)f(θ)與g(θ)是θ的非負連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π，且滿足：（1）f(θ)>0，g(θ)=0。（2）對任意θ∈［0，2π］，f(θ)g(θ)=0。（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0)。則必存在一點θ0∈［0，2π］，使f(θ0)=g(θ0)=0。2.1椅子能否在不平的地面放穩(wěn)模型求證

2.1.4（1）求證：因為f(θ)>0，g(θ)=0，所以f(π/2)=g(0)=0，g(π/2)=f(0)>0。令h(θ)=f(θ)-g(θ)，則在［0，π/2］上連續(xù)且h(θ)=f(θ)-g(θ)>0，h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)<0。由連續(xù)函數(shù)中值定理可知，必存在一點θ0（0<θ0<π/2），使h(θ0)=0，即h(θ0)=g(θ0)。因為f(θ0)與g(θ0)至少有一個為零，所以f(θ0)=g(θ0)=0。（2）模型的解的意義：在滿足三點假設(shè)的前提下，證明了通過轉(zhuǎn)動椅子，必定可使其在地面上放穩(wěn)，而且轉(zhuǎn)動（順時針或逆時針）的角度不會超過90°。2.2賽艇比賽的成績問題提出

2.2.1賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇和八人艇四種。各種艇雖然大小不同，但形狀相似。澳大利亞學(xué)者麥克曼（McMahon）比較了各種賽艇1964—1970年四次2000m比賽（包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽）的最好成績，見表2-1中的第1~6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)一致的差別，因此，他認為比賽成績與槳手數(shù)量之間存在著某種聯(lián)系，可以通過建立一個模型來解釋這種關(guān)系。2.2賽艇比賽的成績2.2賽艇比賽的成績模型分析

2.2.2賽艇前進時受到的阻力主要是賽艇浸沒部分與水之間的摩擦力。賽艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進。槳手越多，賽艇前進的動力越大。但是賽艇與槳手總重量的增加會使賽艇的浸沒面積加大，阻力增加。因此，建模的目的是尋找槳手數(shù)量與比賽成績之間的數(shù)量規(guī)律。2.2賽艇比賽的成績從表2-1中可以看出，當(dāng)槳手數(shù)n增加時，賽艇的尺寸l、b及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w

0/n變化不大。若假定l/b是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到賽艇的浸沒面積與排水體積之間的關(guān)系。若假定w0/n是常數(shù)，則可得到賽艇和槳手的總重量與槳手數(shù)n之間的關(guān)系。此外，還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面做出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。2.2賽艇比賽的成績模型假設(shè)

2.2.3假設(shè)1各種賽艇的幾何形狀相同，l/b為常數(shù)；艇重w0與槳手數(shù)n成正比。這是賽艇的靜態(tài)特征。假設(shè)2艇速v是常數(shù)，前進時受的阻力f與Sv2成正比（S是賽艇浸沒部分的面積）。這是賽艇的動態(tài)特征。假設(shè)3所有槳手的體重都相同，記作w；在比賽中每個槳手的劃槳功率p保持不變，且p與w成正比。2.2賽艇比賽的成績模型建立

2.2.4有n名槳手的賽艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即np∝fv（2-1）由假設(shè)2和假設(shè)3得f∝Sv2

p∝w

代入式（2-1）可得

（2-2）2.2賽艇比賽的成績2.2賽艇比賽的成績模型檢驗

2.2.5設(shè)t與n的關(guān)系為

t=αnβ

（2-9）式中，α和β為待定系數(shù)。對式（2-9）兩邊取對數(shù)，得到logt=α′+βlogn

（2-10）利用最小二乘法，根據(jù)所給數(shù)據(jù)擬合式（2-10），得到

t=7.21n－0.111

（2-11）可以看出式（2-8）與這個結(jié)果吻合得相當(dāng)好。2.3森林救火問題提出與問題分析

2.3.1問題提出1.

當(dāng)森林失火時，消防站應(yīng)派多少消防隊員去滅火呢？派的隊員越多，火災(zāi)損失越小，但救援開支越大。如何確定滅火隊員的人數(shù)，才能使總費用（火災(zāi)損失+救援開支）最?。?.3森林救火問題分析2.

（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積有關(guān)，而森林被燒面積又與從起火到火滅的時間有關(guān)，而這個時間又與消防隊員的人數(shù)有關(guān)。

（2）救援開支由兩部分構(gòu)成：一部分是滅火劑的消耗與消防隊員的酬金（與人數(shù)和時間有關(guān)），另一部分是運輸費（與人數(shù)有關(guān)）。

（3）在無風(fēng)的情況下，可認為火勢以失火點為圓心均勻地向四周蔓延。因為半徑與時間成正比，所以被燒面積應(yīng)與時間的平方成正比。2.3森林救火模型假設(shè)

2.3.2假設(shè)1火災(zāi)損失與森林被燒面積成正比。記開始失火的時刻為t=0，開始滅火的時刻為t=t1，火被完全撲滅的時刻為t=t2。設(shè)在時刻t時森林被燒面積為B(t)，若以C1表示單位面積被燒的損失，則總損失為C1B(t2)。2.3森林救火假設(shè)2被燒面積與時間的關(guān)系。表示單位時間被燒的面積（燃燒速度，單位：m2/min），當(dāng)t＝0和t=t2時最小，為零；當(dāng)t=t1時最大，由前面的分析可知，B(t)與t2成正比，故不妨設(shè)在區(qū)間［0，t1］與［t1，t2］上,在［0，t1］上，斜率β>0，β稱為火勢蔓延速度（燃燒速度的變化速度，單位：m2/min2），在區(qū)間［t1，t2］上，斜率β-λx<0，其中，x為消防隊員的人數(shù)，λ為隊員的平均滅火速度［控制蔓延速度的變化速度，單位：m2/（min2·人）］。2.3森林救火假設(shè)3救援開支。設(shè)x為消防隊員的人數(shù)，滅火劑消耗與消防隊員酬金的單位時間為C2，運輸費平均每人為C3，則救援開支=C3x+C2x(t2-t1)。2.3森林救火模型建立與求解

2.3.3由假設(shè)2可知，與t的關(guān)系如圖2-2所示。圖2-2

與t的關(guān)系2.3森林救火利用定積分的牛頓-萊布尼茲公式，森林被燒的最大面積為2.3森林救火從而，總費用可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，即2.3森林救火結(jié)果解釋

2.3.4從結(jié)果來看，x>β/λ表示為了能把火撲滅，派出的消防隊員的人數(shù)要大于β/λ，以保證β-λx<0，使燃燒速度趨于零；而x的第一項是綜合考慮了各種因素，使總費用最低。實際上，此模型中的參數(shù)b、β與λ是比較難測定的，因此，在實際用上相當(dāng)困難。2.4車間空氣清潔問題問題提出

2.4.1某生產(chǎn)車間內(nèi)有一臺機器不斷排出CO2，為了清潔車間里的空氣，用一臺鼓風(fēng)機通入新鮮的空氣來降低車間空氣中CO2的含量，那么，上述做法的清潔效果如何呢？這一問題是利用平衡原理來建模，即建立其微分方程模型。值得注意的是，平衡原理在建立微分方程模型時常表現(xiàn)為區(qū)間［x，x+Δx］上的微元形式，即某個量在該區(qū)間上的增加量等于該區(qū)間段內(nèi)的進入量與遷出量之差。2.4車間空氣清潔問題問題分析與假設(shè)

2.4.2清潔空氣的原理是通過鼓風(fēng)機通入新鮮的空氣（其中CO2的含量較低），新鮮的空氣與車間內(nèi)的空氣混合后再由鼓風(fēng)機排出室外，從而降低車間空氣中CO2的含量。為討論問題方便，假設(shè)通入的新鮮的空氣能與原空氣迅速均勻地混合，并以相同的風(fēng)量排出車間。2.4車間空氣清潔問題此問題中涉及的主要變量及參數(shù)如下：（1）車間體積：V（單位：m3）。（2）時間：t（單位：min）。（3）機器產(chǎn)生CO2的速度：r（單位：m3/min）。（4）鼓風(fēng)機的風(fēng)量：K（單位：m3/min）。（5）新鮮的空氣中CO2的含量：m%。（6）開始時刻車間內(nèi)空氣中CO2的含量：x%。（7）t時刻車間內(nèi)空氣中CO2的含量：x(t)%。2.4車間空氣清潔問題模型建立

2.4.3考慮時間區(qū)間［t，t+Δt］，并利用質(zhì)量守恒定律：［t，t+Δt］內(nèi)車間空氣中CO2含量的增加等于［t，t+Δt］內(nèi)通入的新鮮的空氣中CO2的量加上機器產(chǎn)生的CO2的量減去鼓風(fēng)機排出的CO2的量，即CO2增加量=新鮮的空氣中CO2的量+機器產(chǎn)生的CO2的量－鼓風(fēng)機排出的CO2的量數(shù)學(xué)上表示為2.4車間空氣清潔問題2.4車間空氣清潔問題模型求解與分析

2.4.42.4車間空氣清潔問題模型的特點及改進方向

2.4.5模型的特點1.（1）優(yōu)點。模型簡潔、易于分析和理解，不僅體現(xiàn)了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的結(jié)果與常識基本一致。（2）缺點。建立數(shù)學(xué)模型時所做出的假設(shè)過于簡單。2.4車間空氣清潔問題模型的改進方向2.（1）考慮新鮮的空氣和車間內(nèi)的空氣的混合擴散過程并重新建模。（2）若要使車間內(nèi)空氣中的CO2含量達到一定的指標，則應(yīng)確定最優(yōu)的實施方案。2.5雙層玻璃的功效問題提出

2.5.1到過我國東北地區(qū)的同學(xué)可能會發(fā)現(xiàn)，那里的大部分建筑物的窗戶都是雙層的，即窗戶上裝有兩層玻璃，且兩層玻璃的中間留有一定的空隙。據(jù)當(dāng)?shù)鼐用穹从?，安裝雙層玻璃窗的房間與同類型的只安裝單層玻璃窗的房間相比，保暖效果要好得多。僅僅是多裝了一層玻璃就會有這么好的保暖效果嗎？在本節(jié)中，我們將建立一個數(shù)學(xué)模型來描述熱量通過窗戶的流失（熱傳導(dǎo)）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗的熱量傳導(dǎo)進行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果。2.5雙層玻璃的功效雙層玻璃窗和單層玻璃窗的示意如圖2-3所示。圖2-3雙層玻璃窗和單層玻璃窗的示意2.5雙層玻璃的功效模型所需的符號見表2-3。2.5雙層玻璃的功效模型假設(shè)

2.5.2假設(shè)1熱量的傳播過程中只有傳導(dǎo)，沒有對流，即假定窗戶的密封性能很好。假設(shè)2室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2保持不變，熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿著熱傳導(dǎo)方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。假設(shè)3玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。2.5雙層玻璃的功效模型建立與求解

2.5.3在上述假設(shè)下，由熱傳導(dǎo)過程遵循的物理規(guī)律可知，單位時間內(nèi)由溫度較高的一側(cè)向溫度較低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與兩側(cè)溫差ΔT成正比，與均勻介質(zhì)的厚度d成反比，即

式中，k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，與傳導(dǎo)物質(zhì)有關(guān)。（2-24）2.5雙層玻璃的功效2.5雙層玻璃的功效顯然,Q<Q′。為了得到更具體的結(jié)果，我們需要k1和k2的數(shù)據(jù)。從有關(guān)資料可知，常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k1=4×10-3~8×10-3J/（cm·s·℃），不流通的干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2=2.5×10-4J/（cm·s·℃），于是2.5雙層玻璃的功效比值Q/Q′反映了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它只與h有關(guān)，即只與l/d有關(guān)。圖2-4給出了Q/Q′h的曲線，顯然，limh→∞f(h)=0，但考慮到h的實際意義，h不可能取無窮大，當(dāng)h由零增加時，Q/Q′迅速下降，而當(dāng)h達到一定數(shù)值（如h>4）后，Q/Q′的下降明顯變緩，可見h不宜選得過大。2.5雙層玻璃的功效圖2-4

Q/Q′-h的曲線2.5雙層玻璃的功效此模型具有一定的應(yīng)用價值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)雜、會增加一些費用，但它減少的熱量損失也是相當(dāng)可觀的。在可利用自然資源日益減少的今天，通過減少熱量損失而減少自然資源的消耗也變得愈發(fā)重要。通常，若設(shè)h=l/d≈4，按照這個模型，則Q/Q′≈3%，即雙層玻璃窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層玻璃窗節(jié)約熱量97%左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效，主要是因為層間空氣有極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2，而這要求空氣是干燥、不流通的。作為模型假設(shè)的這個條件在實際環(huán)境中當(dāng)然不可能完全滿足，所以實際上雙層玻璃窗的功效會比上述結(jié)果稍差一些。2.5雙層玻璃的功效事實上，雙層玻璃的功效不僅體現(xiàn)在節(jié)能方面，隨著科技事業(yè)的飛速發(fā)展，城市交通、城市建設(shè)等帶來的噪聲污染也變得日益嚴重，因此，雙層玻璃在減噪方面也起到了不小的作用，有興趣的同學(xué)可建立數(shù)學(xué)模型來研究一下這個問題。2.6銀行借貸問題提出

2.6.1國內(nèi)各商業(yè)銀行根據(jù)存款期限的不同，將人民幣儲蓄業(yè)務(wù)分為活期儲蓄和定期儲蓄兩大品種?；钇趦π钍侵覆淮_定存期，儲戶可隨時存取款且存取金額不受限的一種儲蓄方式。定期儲蓄是儲戶在存款時約定存期，一次或按期分次存入本金，整筆或分期、分次支取本金或利息的一種儲蓄方式。定期儲蓄按照存取方式的不同分為整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活兩便和通知存款等多種類型。2.6銀行借貸問題分析

2.6.2儲蓄存款利率由國家統(tǒng)一規(guī)定，中國人民銀行掛牌公告。利率也稱為利息率，是在一定日期內(nèi)利息與本金的比率，一般分為年利率、月利率和日利率三種。年利率以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以萬分比表示。例如，年息九厘寫為9%，即每百元存款定期一年的利息為9元；月息六厘寫為6‰，即每千元存款一月利息為6元；日息一厘五毫寫為1.5，即每萬元存款每日利息1元5角。為了計息方便，三種利率之間可以換算，其換算公式為：年利率÷12=月利率，月利率÷30=日利率，年利率÷360=日利率。2.6銀行借貸活期儲蓄是居民儲蓄存款中最基本和最重要的一種形式。銀行規(guī)定：各種儲蓄存款除活期年度結(jié)息可將利息轉(zhuǎn)入本金生息外，其他各種儲蓄不論存期如何，一律于支取時利隨本清，不計復(fù)息?；钇趦π蠲磕?月30日結(jié)算一次利息并計入本金。銀行還規(guī)定：不論閏年、平年，不論月大、月小，全年按360d，每月均按30d計算。2.6銀行借貸例如，活期儲蓄存款年利率為0.72%，按照換算公式，月利率為0.72%÷12=0.0006，日利率為0.72%÷360=0.00002（為方便起見，仍用小數(shù)來表示利率）。又如，2014年1月1日存入活期10000元，一年之后于2014年12月31日全部取出。按照年利率的定義，本金加利息應(yīng)為10000+10000×0.0072=10072元。2.6銀行借貸由于活期儲蓄每年6月30日結(jié)算一次利息并計入本金，計算利息時應(yīng)分成兩個階段：2014年1月1日至2014年6月30日和2014年7月1日至2014年12月31日。兩個階段的時間均未到一年，恰為6個月，因此計算利息時不能按照年利率來計算，而應(yīng)按月利率來計算。前一階段結(jié)束時的本金和利息共為10000+6×10000×0.0006=10036元(此處的利息為6個月利息的簡單相加）。根據(jù)銀行規(guī)定，后一階段的本金變?yōu)?0036元，而非最初的10000元，到2014年12月31日全部取出時，最終拿到的本金加利息應(yīng)為10036+6×10036×0.0006=10072.13元。2.6銀行借貸為什么會比原來計算的10072元多出0.13元呢？顯然只可能是6月30日結(jié)息一次并計入本金的原因。結(jié)息一次利息便多出0.13元，那么多結(jié)息幾次呢？銀行規(guī)定，活期儲蓄每年只在6月30日結(jié)息一次并計入本金，我們可以利用活期儲蓄隨時存取款的特性，讓銀行為我們多結(jié)息幾次并計入本金。到12月31日全部結(jié)息取出，銀行共需給我們結(jié)息12次。1月31日的本金和利息共為10000+10000×0.0006=10000×（1+0.0006）=10006元；2月28日的本金和利息共為10006+10006×0.0006=10006×（1+0.0006）=10000×（1+0.0006）2元；…；12月31日的本金和利息共為10000×（1＋0.0006）12

=10072.24元，又多了0.11元。2.6銀行借貸看來增加結(jié)息計入本金的次數(shù)確實可以增加利息。如果讓銀行每天給我們結(jié)息并計入本金，也就是說，我們每天到銀行將存款全部取出，并于當(dāng)日將本金和利息作為新的本金繼續(xù)存成活期，到12月31日，銀行一共要為我們按日利率結(jié)息365次（因為不是按年存取的，所以不受銀行每年按360d計算的限制），這樣得到的本金和利息共為10000×（1+0.00002）365=

10073.27，比按360d計算的10000×（1+0.00002）×360=10072.26元要多出1.01元。2.6銀行借貸當(dāng)然，銀行不可能讓你拿走這么多的利息的，因為銀行規(guī)定儲蓄存款利息計算，本金以“元”為起息點，元以下的角、分不計利息，利息的金額算至分位，分位以下四舍五入；并且我們也不可能每天跑到銀行去存取款，如果這樣還不如存一年的定期，到期全部取出。根據(jù)當(dāng)前定期一年的年利率1.98%計算，到期的本金和利息共為10000×（1+

0.0198）=10198元。從銀行的角度來看，雖然我們每日存取款，但我們的10000元的本金相當(dāng)于在銀行存了一年定期，銀行卻只需要給我們支付比一年定期存款的利息198元少許多的70多元。2.6銀行借貸現(xiàn)在我們來考慮一個數(shù)學(xué)問題，假設(shè)本金不論元、角、分均計息，并且可以按小時（h）、分鐘(min)、秒（s）、毫秒（ms），甚至更短的時間存取款（存取所花費的時間不計），則2014年1月1日存入活期10000元，滿一年之后于2014年12月31日全部取出，根據(jù)前述的規(guī)律，按小時存取款要比按日存取款得到的利息多，按分鐘存取款又要比按小時存取款得到的利息多，等等，即利息是存取次數(shù)的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)。問：如果可以在任意時刻存取款，同樣的10000元錢不斷地存取再存取，滿一年之后得到的利息是否會趨向于無窮大？2.6銀行借貸按照題意，我們可以在任意時刻存取款，也就是說在一年中可以存取款無窮多次。那么如何實現(xiàn)存取款無窮多次呢？我們可以對此問題做如下改進：先假設(shè)我們在一年中等間隔地（請考慮為何要等間隔）存取有限次，不妨計為n次；然后令n趨于無窮大。設(shè)按月取款的月利率=年利率÷12，如果按日取款且每年按360d計算，日利率=年利率÷360，那么我們等間隔地取款，每次的利率應(yīng)為年利率÷取款次數(shù)。2.6銀行借貸現(xiàn)在，銀行個人住房貸款的還款方式主要有兩種：一種是等本不等息遞減還款法，即每月償還貸款的本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清；另一種是等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清。假如你現(xiàn)在為購買住房必須向銀行申請個人住房貸款20萬元，并分30年還清，你會選擇哪一種還款方式呢？2.6銀行借貸模型建立與求解

2.6.3等本不等息遞減還款法1.以貸款年利率為5.04%來計算，可以算出貸款的月利率大約為4.2‰。如果按照第一種等本不等息遞減還款法來計算，每月償還的本金為200000[]30×12=555.56元，而第一個月需還的利息為200000×0.0042=840元，第一個月總還款額為1395.56元；第二個月由于已還本金555.56元，需還的利息也相應(yīng)地減少為（200000-555.56）×0.0042=837.67元，第二個月總還款額為1393.23元；依次類推。每月還款額的公式為2.6銀行借貸最后一個月還款額僅為555.56+555.56×0.0042=557.89元。按照此種還款方式，可以計算出累計還款總額為351620元，還款總利息為151620元。2.6銀行借貸等額本息還款法2.與每月平均償還貸款本金的等本不等息遞減還款法不同的是，等額本息還款法需要每月以相等的額度平均償還貸款本息，那么這個相同的額度是多少，應(yīng)當(dāng)如何計算呢？為方便計算，設(shè)貸款本金為a0，貸款月利率為r，第n個月后欠款金額為an，每月還款額度為x。顯然有

a1=a0(1+r)-x

（2-29）2.6銀行借貸即若此月月末還款金額為x，則第一個月后欠款額為欠款總額a

0(1+r)減去已還款額度x。同理，可得

a2=a1(1+r)-x

……

an-1=an-2

(1+r)-x(2-30)

an=an-1

(1+r)-x(2-31)

式（2-31）與式（2-30）相減，得

an-an-1=(an-1-an-2

)(1+r)（2-32）式（2

32）表明，數(shù)列{an-an-1}是以a1-a0為首項，1+r為公比的等比數(shù)列。由等比數(shù)列的通項公式可得2.6銀行借貸

an-an-1=(a1-a0)(1+r)n-1

an-1-an-2=(a1-a0)(1+r)n-2

……

a1-a0=(a1-a0)(1+r)0

2.6銀行借貸2.6銀行借貸將本金a0=200000、月利率r=0.0042及還款期數(shù)n=30×12=360代入式（2-34），可以得到利用等額本息還款法每月所需的還款額為1078.54元，累計還款總額為388274.4元，還款總利息為188274.4元。同樣的本金，同樣的還款期數(shù)，使用等額本息還款法還款要比使用等本不等息遞減還款法還款多付36654.4元利息。感謝聆聽批評指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模案例與方法線性代數(shù)模型第3

章目錄CONTENTS遺傳模型3.1價格彈性矩陣3.2交通網(wǎng)絡(luò)流量分析模型3.3兩個城市支付基金的流動模型3.4森林管理模型3.5投入產(chǎn)出模型3.6線性代數(shù)模型線性代數(shù)在經(jīng)濟管理科學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有著重要的應(yīng)用。在計算機廣泛應(yīng)用的今天，計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以被計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。線性代數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型的常用模型。本章將利用線性代數(shù)的相關(guān)知識來解決六個實際問題。3.1遺傳模型模型背景與問題提出

3.1.1

常染色體遺傳是指后代從每個親體的基因中各繼承一個基因從而形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和B控制的，那么就有三種可能的基因型：AA、AB和BB。例如，金魚草由兩個遺傳基因決定它開花的顏色，AA型的開紅花，AB型的開粉花，而BB型的開白花。這里的AA型和AB型表示同一外部特征(紅色)，則人們認為基因A支配基因B，也說成基因B對于基因A是隱性的。當(dāng)一個親體的基因型為AB，另一個親體的基因型為BB時，后代可從BB型中得到基因B，從AB型中得到基因A或基因B，且是等可能性地得到。3.1遺傳模型

問題：某植物園中的一種植物的基因型有AA、AB和BB?，F(xiàn)計劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，試預(yù)測若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型的分布情況。3.1遺傳模型模型假設(shè)

3.1.2假設(shè)1按問題分析，后代從上一代親體中繼承基因A或B是等可能的，即有雙親體基因型的所有可能結(jié)合使其后代形成每種基因型的概率分布情況見表3-1。3.1遺傳模型假設(shè)2以an、bn和cn分別表示第n代植物中基因型為AA、AB和BB的植物總數(shù)的百分率，以x(n)表示第n代植物的基因型分布，即有

（3-1）

特別當(dāng)n=0時，x(0)=(a0，b0，c0)T表示植物基因型的初始分布(培育開始時所選取的各種基因型分布)，所以有a0+b0+c0=1。3.1遺傳模型模型建立

3.1.3由于原問題是采用AA型與每種基因型相結(jié)合，因此這里只考慮表3-1中的前三列。首先考慮第n代中的AA型，按表3-1中所給的數(shù)據(jù)，第n代AA型所占百分率為

（3-2）即第n-1代的AA型與AA型結(jié)合全部進入第n代的AA型，第n-1代的AB型與AA型結(jié)合只有一半進入第n代的AA型，第n-1代的BB型與AA型結(jié)合沒有一個成為AA型而進入第n代的AA型，故有3.1遺傳模型3.1遺傳模型模型求解

3.1.4模型求解的關(guān)鍵是計算Mn。為計算簡便，將M對角化，即求出可逆陣P，使P－1MP=Λ，即有

M=PΛP－1（3-8）從而可計算得到

Mn=PΛnP－1

(n=1,2,…)（3-9）式中，Λ為對角陣，其對角元素為M的特征值；P為M的特征值所對應(yīng)的特征向量，即3.1遺傳模型3.1遺傳模型3.1遺傳模型模型分析

3.1.5完全類似地，可以選用AB型和BB型植物與每一個其他基因型的植物相結(jié)合，從而得出類似的結(jié)果。特別是將具有相同基因型的植物相結(jié)合，并利用表3-1中的第1、4、6列的數(shù)據(jù)，使用類似模型及解法得到以下結(jié)果：

這就是說，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情形下，后代僅具有基因AA和BB，而基因AB消失了。3.1遺傳模型

本模型巧妙地利用了矩陣來表示概率分布，從而充分利用了特征值和特征向量，通過對角化的方法解決了矩陣n次冪的計算問題。3.2價格彈性矩陣模型背景

3.2.1設(shè)有m種相關(guān)商品A1，A2，…，Am，它們的價格分別為P1，P2，…，Pm，需求量分別為Q1，Q2，…，Qm，由經(jīng)濟理論知道，需求量Q1，Q2，…，Qm隨著價格P1，P2，…，Pm的改變而變化，因而，這m種商品的需求函數(shù)為

（3-12）3.2價格彈性矩陣當(dāng)?shù)趈種商品的價格Pj變化時，會引起第i種商品需求的變化，定義為

（3-13）式中，εij為第i種商品受第j種商品價格影響的偏彈性（或交叉彈性），其經(jīng)濟含義為第j種商品價格改變1%時，第i種商品需求量變化的百分數(shù)。稱矩陣

（3-14）為商品A1，A2，…，Am的價格彈性矩陣。3.2價格彈性矩陣問題提出

3.2.2利用價格彈性矩陣可做一些經(jīng)濟決策的量化分析。某奶牛場生產(chǎn)三種產(chǎn)品:牛奶、奶粉和奶油。2015年某奶牛場產(chǎn)品的市場消費量和價格見表3-2。3.2價格彈性矩陣價格的變化會影響消費者的需求。已知這三種產(chǎn)品的價格彈性矩陣為奶牛場要制訂2016年的生產(chǎn)計劃，使銷售總收入為最大。3.2價格彈性矩陣模型建立

3.2.3由于銷量受價格影響程度的彈性矩陣已知，因而只需給出價格政策，即可確定銷量（產(chǎn)量）。設(shè)2015年三種產(chǎn)品的價格分別為p1、p2、p3，銷量分別為q1、q2、q3；又設(shè)牛奶、奶粉、奶油的價格分別比2015年增長x1、x2、x3，則2016年三種產(chǎn)品的價格分別為p′1=p11+x1

p′2=p21+x2

p′3=p31+x3

3.2價格彈性矩陣因為第j種商品價格的提高，使第i種商品的銷量產(chǎn)生變化，由于εij表示第j種商品價格提高1%使第i種產(chǎn)品銷量提高的百分數(shù)，