實(shí)變函數(shù)論課件1

第1講集合及其運(yùn)算

目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本運(yùn)算；熟悉一些常用集合的符號(hào)；準(zhǔn)確理解集合序列的上、下限集。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：集合序列的上、下限集。基本內(nèi)容：

一．背景

1．Cantor的樸素集合論

2．悖論

3．基于公理化的集合論

第1講集合及其運(yùn)算

目的：了解集合的表示法；掌握集合的基1集合及其運(yùn)算

集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德國數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor）創(chuàng)立的，不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)，它的一般思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門。“集合論觀點(diǎn)”與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展不可分割地聯(lián)系在一起。集合及其運(yùn)算集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德2集合及其運(yùn)算然而，任何一門學(xué)科的發(fā)展都不可能是帆風(fēng)順的，也不可能是完美無缺的，正是集合論，曾經(jīng)給數(shù)學(xué)界帶來了極大的恐慌，因?yàn)樽詮目低袪栆韵喈?dāng)隨便的方式闡述了集合論（即現(xiàn)在人們所說的相互集合論）之后，人們逐漸發(fā)現(xiàn)它存在著不可調(diào)和的矛盾。如羅素（BertrandRussell）于1918年敘述的著名“理發(fā)師”悖論，以及理查德（JulesRichard）編造的“理查德”悖論等等，都曾經(jīng)常常困擾了數(shù)學(xué)家們。集合及其運(yùn)算然而，任何一門學(xué)科的發(fā)展都不可能是帆風(fēng)順的，也不3集合及其運(yùn)算

為避免集合論中的矛盾，人們求助于將Cantor的相互集合論加以公理化，以策密羅（ErnstZermelo）為首的一批數(shù)學(xué)家建立了一套集合論公理體系，即如今的形式集合論，從而避免了這一理論內(nèi)已被發(fā)現(xiàn)的矛盾。然而，有關(guān)公理化集合論相容性尚未得到證明。龐加萊（Poincare）關(guān)于相容性問題做了一個(gè)風(fēng)趣的評(píng)論：“為了防備狼。”盡管集合論不如人們所期望的那樣無懈可擊，它在數(shù)學(xué)中的地位卻不因此而降低。它始終是我們掌握許多理論所必須的基本知識(shí)。

集合及其運(yùn)算

為避免集合論中的矛盾，人們求助于將Cantor4第1講集合及其運(yùn)算

二．集合的定義

1．集合的幾種表示法

我們?cè)谥T如《數(shù)學(xué)分析》等前期課程中已接觸過集合這個(gè)概念，所謂集合，指的是具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象的全體，通常用大寫英文字母A，B，X，Y…等表示；集合中的每個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素。一般說來，我們總用小寫字母a,b,x,y…表示集合中的元素。第1講集合及其運(yùn)算

二．集合的定義

1．集合的幾種表示法5集合及其運(yùn)算

對(duì)于集合A，某一對(duì)象x如果是A的元素，則稱x屬于A，記作；如果x不是A的元素，則稱x不屬于A，記為（或記為）。正如定義所說，集合是由具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象全體組成的，因此，在表示一個(gè)集合時(shí)，常把這一性質(zhì)寫出來，例如，A是由具有性質(zhì)P的元素全體組成時(shí)，通常記為：，其中P可以是一段文字，也可以是某個(gè)數(shù)學(xué)式子。

集合及其運(yùn)算對(duì)于集合A，某一對(duì)象x如果是A的元素，6集合及其運(yùn)算2．幾個(gè)特殊的集合及其表示：除了上述方法之外，有時(shí)也用特殊記號(hào)表示某些特殊的集合。比如，在大多數(shù)場(chǎng)合下，始終表示實(shí)數(shù)全體（或直線）C始終表示復(fù)數(shù)全體（或復(fù)平面），N、Z、Q分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)全體，以后如無特別聲明，我們也都不加解釋地使用這些符號(hào)。此外，直線上的區(qū)間也采用諸如[a,b]，（a,b）等記號(hào)，如果一個(gè)集合僅由有限個(gè)元素組成，則最方便的辦法是將其一一列出，例如，1到10的自然數(shù)全體可記作{1,2,3,…,10}，不含任何元素的集合稱為空集，記作。集合及其運(yùn)算2．幾個(gè)特殊的集合及其表示：7集合及其運(yùn)算三．集合的運(yùn)算

1.集合的子集假設(shè)A,B是兩個(gè)集合，如果A中的元素都是B中的元素，則稱A是B的子集，記作，或記作。前者讀作“A包含于B中”，后者讀著“B包含A”。顯然，空集是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要證明A是B的子集，最常用的辦法是，任取。如果A是B的子集，且存在，則稱A是B的真子集，記作。如果A是B的子集，B又是A的子集，則稱A與B相等，記作A=B。集合及其運(yùn)算三．集合的運(yùn)算

1.集合的子集8集合及其運(yùn)算2．交運(yùn)算

所有既屬于A，又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集（或通集），記作，若，則稱A與B互不相交，顯然B當(dāng)且僅當(dāng)且。對(duì)于一簇集合，可類似定義其交集，即

集合及其運(yùn)算9集合及其運(yùn)算3.并運(yùn)算

假設(shè)A，B是兩個(gè)集合，所謂A與B的并集（或和集），指的是由A與B中所有元素構(gòu)成的集合，記作，換句話說，

對(duì)于一簇集合，可類似定義其并集，即

集合及其運(yùn)算3.并運(yùn)算

10集合及其運(yùn)算4．差（余）運(yùn)算由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，稱為A減B的差集，記作A-B（A\B），也就是說，，但，應(yīng)該注意的是，此處并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，則稱A-B為B關(guān)于A的余集，記作CAB。

集合及其運(yùn)算4．差（余）運(yùn)算11集合及其運(yùn)算

應(yīng)該注意的是，此處并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，則稱A-B為B關(guān)于A的余集，記作CAB。需要指出的是，我們講某個(gè)集合的余集時(shí)，要弄清相對(duì)于哪個(gè)集合的余集，特別是涉及到多個(gè)集合時(shí)，尤其應(yīng)注意。有時(shí)，我們總是限定在某個(gè)固定集合A內(nèi)討論一些子集，在這種情況下，可以省略A，而將CAB記作CB（或BC）。集合稱為A與B的對(duì)稱差，記作。集合及其運(yùn)算應(yīng)該注意的是，此處并未要求B是A12第1講集合及其運(yùn)算四.集合的運(yùn)算問題1：回憶數(shù)的四則運(yùn)算，由此猜測(cè)集合的運(yùn)算應(yīng)該具有什么性質(zhì)。第1講集合及其運(yùn)算四.集合的運(yùn)算13集合及其運(yùn)算定理1（1）（2）（3）（4）

（5）（6）

集合及其運(yùn)算定理1（1）14集合及其運(yùn)算（7）（8）（9）（10）（11）（12）。

集合及其運(yùn)算（7）15集合及其運(yùn)算上述基本性質(zhì)都是常用的，其中（9），（10）兩式通常稱為德摩根（DeMorgan）法則，它們的證明也是容易的?，F(xiàn)在以（10）式為例進(jìn)行證明。集合及其運(yùn)算上述基本性質(zhì)都是常用的，16集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算17集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算18集合及其運(yùn)算五．集合序列的上、下限集

問題2：回憶數(shù)學(xué)分析中數(shù)列上、下極限的定義，如何定義集合序列的上、下限集？

1．上限集

問題3：集合的上限集由什么樣的元素構(gòu)成？

2．下限集

集合及其運(yùn)算五．集合序列的上、下限集

問題2：回憶數(shù)學(xué)分析中19第1講集合及其運(yùn)算

問題4：集合的下限集由什么樣的元素構(gòu)成？一．域與б-域問題5：回憶整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集的